Geometrie
Ebenen
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In diesem Artikel%und unserem Video lernst du, wie du eine Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform in der Geometrie umwandelst.

Parameterform in Koordinatenform einfach erklärt

Du willst die Ebene E von der Parameterform in die Koordinatenform umwandeln:

    \begin{align*}\text{E:}&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\6\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\0\\7\end{array}\right)}\end{align*}

1.Schritt: Bilde den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt

Zuerst musst du den Normalenvektor berechnen. Das machst du, indem du das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bestimmst.

    \[\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\6\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\0\\7\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}5\cdot7-6\cdot0\\6\cdot3-2\cdot7\\2\cdot0-5\cdot3\end{array}\right)\)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}35\\4\\-15\end{array}\right)}\]

2.Schritt: Stelle einen ersten Ansatz deiner Koordinatenform auf

Mithilfe des Normalenvektors kannst du deine Ebenengleichung in eine neue Form bringen:

    \begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{35}x_{1}+\textcolor{red}{4}x_{2}\textcolor{red}{-15}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}

3.Schritt: Setze deinen Stützvektor ein 

Mit dem Ansatz deiner Koordinatenform kannst du deinen Stützvektor in deine Gleichung einsetzen. Damit bestimmst du a:

    \begin{align*}\textcolor{red}{35}\cdot\textcolor{olive}{2}+\textcolor{red}{4}\cdot\textcolor{olive}{5}\textcolor{red}{-15}\cdot\textcolor{olive}{6}=\textbf{a}\end{align*}

    \begin{align*}0=\textbf{a}\end{align*}

4.Schritt: Stelle die Koordinatenform auf

Nun musst du nur noch a in deinen Ansatz einsetzen und erhältst deine Koordinatenform:

    \begin{align*} \text{E:}\;& 35x_{1}+5x_{2}-15x_{3}=0 \end{align*}

Jetzt hast du mit nur 4 Schritten deine Parameterform in die Koordinatenform umgewandelt.

Parameterform in Koordinatenform: Aufgaben 

Wie du siehst, ist es gar nicht so schwer, die Parametergleichung in die Koordinatengleichung zu bringen. Mit diesen Aufgaben kannst du die einzelnen Schritte nochmal üben.

Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 1

Bringe die Ebene E in Koordinatenform:

    \begin{align*}\text{E:}\;&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\1\\0\end{array}\right)}\end{align*}

Mit den 4 Schritten von oben ist das kein Problem.

Lösung:

Zuerst bildest du das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren

    \[\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\1\\0\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}0\cdot0-1\cdot0\\0\cdot3-0\cdot2\\2\cdot1-3\cdot0\end{array}\right)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)}\]

Danach stellst du den Ansatz deiner Ebenengleichung neu auf und erhältst:

    \begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{0}x_{1}+\textcolor{red}{0}x_{2}+\textcolor{red}{2}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}

Wenn du deinen Stützvektor einsetzt, kannst du wieder a berechnen:

    \begin{align*}0\cdot\textcolor{olive}{1}+0\cdot\textcolor{olive}{0}+2\cdot\textcolor{olive}{0}=\textbf{a}\end{align*}

    \begin{align*}0=\textbf{a}\end{align*}

Da du a berechnet hast, kannst du deine Ebenengleichung in Koordinatenform angeben:

    \begin{align*}\text{E:}\;&2x_{3}=0\end{align*}

Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 2

Bestimme die Koordinatenform der  Ebenengleichung: 

    \begin{align*}\text{E:}\;&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}3\\2\\3\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)}\end{align*}

Lösung: 

Wieder musst du zuerst den Normalenvektor bilden. Dafür berechnest du das Kreuzprodukt der Spannvektoren:

    \[\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}-1\\2\\-1\end{array}\right)}\]

Jetzt kannst du den ersten Ansatz deiner Ebenengleichung aufstellen:

    \begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{-1}x_{1}+\textcolor{red}{2}x_{2}\textcolor{red}{-1}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}

Durch das Einsetzen des Stützvektors erhältst du wieder a:

    \begin{align*}\text{E:}\;&-1\cdot\textcolor{olive}{3}+2\cdot\textcolor{olive}{2}-1\cdot\textcolor{olive}{3}=\textbf{a}\end{align*}

    \begin{align*}2=\textbf{a}\end{align*}

Jetzt kannst du deine Koordinatenform aufstellen, indem du a in deinen Ansatz vom vorherigen Schritt einsetzt:

    \begin{align*}\text{E:}\;&-x_{1}+2x_{2}-x_{3}=2\end{align*}

Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 3

Stelle die Koordinatenform einer Ebene auf. Über die Ebene weißt du, dass sie die Punkte P1 (2|5|5), P2 (2|4|6) und den Koordinatenursprung O (0|0|0) beinhaltet.

Lösung:

Dieses Mal kannst du die Schritte nicht direkt anwenden. Zuerst musst du die Parameterform der Ebene aufstellen. Also bestimmst du die beiden Spannvektoren \overrightarrow{v}und \overrightarrow{u}. Dafür benötigst du nur die Ortsvektoren der Punkte Pund P2. Die Ortsvektoren entsprechen den Streckenvektoren zwischen dem Nullpunkt und den Punkten Pund P.

    \[\overrightarrow{v}=\overrightarrow{P_{1}}-\overrightarrow{O}=\textcolor{blue}\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)}\]

    \[\overrightarrow{u}=\overrightarrow{P_{2}}-\overrightarrow{O}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}\right)}\]

Jetzt kannst du die Ebene in Parameterform angeben. Dabei entsprechen \overrightarrow{v}und \overrightarrow{u} den Spannvektoren. Deinen Stützvektor erhältst du, indem du den Ortsvektor des Ursprungs O(0|0|0) bildest.

    \begin{align*}\text{E:};&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}\right)}\end{align*}

Jetzt kannst du wieder nach den einzelnen Schritten vorgehen und die Paramterform in die Koordinatenform umwandeln :

Berechne zuerst mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren deinen Normalenvektor.

    \[\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}\right)}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}10\\-2\\-2\end{array}\right)}\]

Stelle nun den neuen Ansatz deiner Ebenengleichung auf.

    \begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{10}x_{1}\textcolor{red}{-2}x_{2}\textcolor{red}{-2}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}

Jetzt musst du noch den Stützvektor einsetzen, um a zu bestimmen:

    \[10\cdot\textcolor{olive}{0}-2\cdot\textcolor{olive}{0}-2\cdot\textcolor{olive}{0}=\textbf{a}\]

    \[0=\textbf{a}\]

Wenn du zum Schluss noch a in deine Vorlage einsetzt, erhältst du die Koordinatenform:

    \begin{align*}\text{E:}\;&10x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=0\end{align*}

Kreuzprodukt

Um die Parameterform in die Koordinatenform umzuwandeln, solltest du auch unbedingt das Kreuzprodukt draufhaben. Schaue dir doch gleich unser Video dazu an.

%Thumbnail Videoverweis"Vektorprodukt"

%Bitte im Titel-Tag mit %Titel% arbeiten - dann steht zwar das Gleiche da, ist aber für Google ein bisschen besser. (hab' ich eingefügt) Außerdem bitte noch die Haken einfügen. Vgl. dazu z.B. Den Artikel Kurvendiskussion

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