In diesem Artikel und unserem Video lernst du, wie du eine Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform in der Geometrie umwandelst.
Parameterform in Koordinatenform einfach erklärt
Du willst die Ebene E von der Parameterform in die Koordinatenform umwandeln:
1.Schritt: Bilde den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt
Zuerst musst du den Normalenvektor berechnen. Das machst du, indem du das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bestimmst.
2.Schritt: Stelle einen ersten Ansatz deiner Koordinatenform auf
Mithilfe des Normalenvektors kannst du deine Ebenengleichung in eine neue Form bringen:
3.Schritt: Setze deinen Stützvektor ein
Mit dem Ansatz deiner Koordinatenform kannst du deinen Stützvektor in deine Gleichung einsetzen. Damit bestimmst du a:
4.Schritt: Stelle die Koordinatenform auf
Nun musst du nur noch a in deinen Ansatz einsetzen und erhältst deine Koordinatenform:
Jetzt hast du mit nur 4 Schritten deine Parameterform in die Koordinatenform umgewandelt.
Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 1
Bringe die Ebene E in Koordinatenform:
Mit den 4 Schritten von oben ist das kein Problem.
Lösung:
Zuerst bildest du das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren.
Danach stellst du den Ansatz deiner Ebenengleichung neu auf und erhältst:
Wenn du deinen Stützvektor einsetzt, kannst du wieder a berechnen:
Da du a berechnet hast, kannst du deine Ebenengleichung in Koordinatenform angeben:
Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 2
Bestimme die Koordinatenform der Ebenengleichung:
Lösung:
Wieder musst du zuerst den Normalenvektor bilden. Dafür berechnest du das Kreuzprodukt der Spannvektoren:
Jetzt kannst du den ersten Ansatz deiner Ebenengleichung aufstellen:
Durch das Einsetzen des Stützvektors erhältst du wieder a:
Jetzt kannst du deine Koordinatenform aufstellen, indem du a in deinen Ansatz vom vorherigen Schritt einsetzt:
Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 3
Stelle die Koordinatenform einer Ebene auf. Über die Ebene weißt du, dass sie die Punkte P1 (2|5|5), P2 (2|4|6) und den Koordinatenursprung O (0|0|0) beinhaltet.
Lösung:
Dieses Mal kannst du die Schritte nicht direkt anwenden. Zuerst musst du die Parameterform der Ebene aufstellen. Also bestimmst du die beiden Spannvektoren und
. Dafür benötigst du nur die Ortsvektoren der Punkte P1 und P2. Die Ortsvektoren entsprechen den Streckenvektoren zwischen dem Nullpunkt und den Punkten P1 und P2 .
Jetzt kannst du die Ebene in Parameterform angeben. Dabei entsprechen und
den Spannvektoren. Deinen Stützvektor erhältst du, indem du den Ortsvektor des Ursprungs O(0|0|0) bildest.
Jetzt kannst du wieder nach den einzelnen Schritten vorgehen und die Paramterform in die Koordinatenform umwandeln :
Berechne zuerst mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren deinen Normalenvektor.
Stelle nun den neuen Ansatz deiner Ebenengleichung auf.
Jetzt musst du noch den Stützvektor einsetzen, um a zu bestimmen:
Wenn du zum Schluss noch a in deine Vorlage einsetzt, erhältst du die Koordinatenform:
Kreuzprodukt
Um die Parameterform in die Koordinatenform umzuwandeln, solltest du auch unbedingt das Kreuzprodukt draufhaben. Schaue dir doch gleich unser Video dazu an.