Was bedeutet Wurzel ziehen mathematisch, und warum ist das das Gegenteil von Quadrieren?

Wurzel ziehen heißt: Du suchst die Zahl, deren Quadrat wieder den Radikanden (Zahl unter der Wurzel) ergibt. Konkret gilt: , weil . Deshalb ist Wurzelziehen das Gegenteil von Quadrieren, weil du damit das Potenzieren mit rückgängig machst.

Wie berechne ich die Quadratwurzel aus einer großen Zahl mit Primfaktorzerlegung?

Eine Quadratwurzel über Primfaktorzerlegung berechnest du, indem du den Radikanden in Primfaktoren zerlegst und gleiche Faktoren als Potenzen schreibst. Danach halbierst du die Exponenten. Zum Beispiel: , also .

Warum kann ich aus einer negativen Zahl keine Quadratwurzel ziehen?

Aus einer negativen Zahl kannst du in den reellen Zahlen keine Quadratwurzel ziehen, weil beim Quadrieren nie etwas Negatives entsteht. Jede reelle Zahl erfüllt . Deshalb hat die Gleichung keine reelle Lösung, also gibt es keine reelle Zahl mit .

Wie berechne ich eine Wurzel mit Wurzelexponent 3 Schritt für Schritt?

Eine dritte Wurzel berechnest du, indem du den Radikanden in Primfaktoren zerlegst und Dreiergruppen bildest. Zum Beispiel: . Danach schreibst du als Potenz: .

Wie ziehe ich eine Wurzel mit Wurzelexponent 3, wenn im Radikanden auch Variablen stehen, zum Beispiel 27 mal (x minus 1) hoch 3?

Bei zerlegst du zuerst und nutzt Potenzen. Konkret: , also . Dann trennst du: .

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Wurzel ziehen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was bedeutet Wurzelziehen?

(00:12)

Vorgehensweise Wurzelberechnung

(00:58)

Höhere Wurzel berechnen

(02:25)

Wurzel ziehen mit Variablen

(03:08)

Hier erfährst du, wie das Wurzel ziehen in Mathe funktioniert. Wir erklären dir Schritt für Schritt, wie du eine Wurzel einfach berechnen kannst. In unserem Video erklären wir dir anhand von vielen Beispielen, wie du beim Wurzel ziehen vorgehst.

Inhaltsübersicht

Was bedeutet Wurzelziehen?

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(00:12)

Eine Wurzel besteht aus folgenden Bausteinen.

Wurzelziehen, Wurzelexponent, Wurzelwert, Wurzelzeichen, Wurzel, Wurzelbegriffe, Radikand, Wurzel aus x, Wurzel aus 4 — Bezeichnungen Wurzel

Beim Wurzelziehen mit dem Wurzelexponenten 2 machst du im Prinzip einfach das Quadrieren rückgängig. Wenn du die Zahl 2 quadrierst, erhältst du 4.

2² = 2 ⋅ 2 = 4

Ziehst du die Wurzel aus 4, dann erhältst du wieder die 2.

$\sqrt{\textcolor{red}{4}} = \textcolor{orange}{2}$

Hinweis: Bei der Quadratwurzel wird meistens der Wurzelexponent 2 nicht mit aufgeschrieben ( $\sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{4}}=\sqrt{\textcolor{red}{4}}$ ). Das Wurzelziehen nennt man auch Radizieren.

Wurzelberechnung Quadratwurzel

Wurzel ziehen geht oft ganz einfach im Kopf. Schauen wir uns die Wurzelberechnung einmal an einem Beispiel an.

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Beispiel 1

Du sollst die Wurzel aus 16 ziehen.

$\sqrt{16}$

Dazu überlegst du dir, welche Zahl du mit sich selbst malnehmen kannst, sodass 16 herauskommt. Wenn dir die Zahl nicht direkt einfällt, kannst du auch einfach ein paar Zahlen ausprobieren.

2² = 2 ⋅ 2 = 4 ≠ 16

3² = 3 ⋅ 3 = 9 ≠ 16

4² = 4 ⋅ 4 = 16

Da 4 im Quadrat 16 ergibt, ist die Wurzel aus 16 die Zahl 4.

$\textcolor{teal}{4}^{\textcolor{blue}{2}} = 16$

$\sqrt{16} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{16} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{4\cdot 4} = \textcolor{teal}{4}$

Weitere Beispiele

$\sqrt{25} = \sqrt{5\cdot 5} = 5$
$\sqrt{36} = \sqrt{6 \cdot 6} = 6$
$\sqrt{49} = \sqrt{7 \cdot 7} = 7$

Vorgehensweise Wurzelberechnung

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(00:58)

Wir zeigen dir die Wurzelberechnung nun Schritt für Schritt, sodass du auch bei großen Zahlen die Wurzel ziehen kannst.

Primfaktorzerlegung berechnen
Fasse gleiche Faktoren in Potenzen zusammen
Schreibe jeden Faktor unter eine eigene Wurzel
Schreibe die Wurzel in eine Potenz um
Ergebnis der Wurzel berechnen

Beispiel 2

Du sollst die Wurzel aus 196 ziehen.

$\sqrt{\textcolor{red}{196}}$

1.Zerlege den Radikanden 196 in Primfaktoren

$\begin{align*} \sqrt{196} &= \sqrt{2 \cdot 98} \\ &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 49} \\ &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7} \\ \end{align*}$

2. Fasse gleiche Faktoren in Potenzen zusammen

$\sqrt{196} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{2^{2}\cdot 7^{2}}$

3. Schreibe jeden Faktor unter eine eigene Wurzel

$\sqrt{2^{2}\cdot 7^{2}} = \sqrt{2^{\textcolor{teal}{2}}} \cdot \sqrt{7^{\textcolor{teal}{2}}}$

4. Schreibe die Wurzeln als Potenz

$\sqrt[\textcolor{blue}{2}]{2^{\textcolor{teal}{2}}} = 2^{\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{2}}} = 2^{1} = 2$

$\sqrt[\textcolor{blue}{2}]{7^{\textcolor{teal}{2}}}= 7^{\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{2}}} = 7^{1} = 7$

→ $\sqrt[2]{2^{2}} \cdot \sqrt[2]{7^{2}} = 2 \cdot 7$

5. Ergebnis der Wurzel berechnen

$\sqrt{196} = 2 \cdot 7 = 14$

Weitere Beispiele

$\sqrt{256} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{2^{\textcolor{teal}{8}}} = 2^{\frac{\textcolor{teal}{8}}{\textcolor{blue}{2}}} = 2^{\frac{4}{1}} = 2^{4} = 16$

$\sqrt{144} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{2^{\textcolor{teal}{4}} \cdot 3^{\textcolor{teal}{2}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{2^{\textcolor{teal}{4}}} \cdot \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{3^{\textcolor{teal}{2}}} = 2^{\frac{\textcolor{teal}{4}}{\textcolor{blue}{2}}} \cdot 3^{\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{2}}} = 2^{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$

Achtung: Bei der Wurzelberechnung kannst du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen.

Höhere Wurzel berechnen

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(02:25)

Neben den Quadratwurzeln kannst du auch eine Wurzel mit höheren Wurzelexponenten ziehen. Schauen wir uns an Beispielen an, wie du dabei vorgehst.

Beispiel 1

Du sollst die dritte Wurzel aus 8 ziehen.

$\sqrt[3]{8}$

1.Zerlege die Zahl unter der Wurzel in Primfaktoren

$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2 \cdot 4}$

$=\sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2}$

2. Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen

$\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^{3}}$

3. Schreibe jeden Faktor unter eine eigene Wurzel: Da du hier nur den Faktor 2 hast, kann der Schritt ausgelassen werden.

4. Schreibe die Wurzel in eine Potenz um

$\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{2^{\textcolor{teal}{3}}} = 2^{\frac{\textcolor{teal}{3}}{\textcolor{blue}{3}}}$

5. Ergebnis der Wurzel berechnen

$\sqrt[3]{8}=2^{\frac{\textcolor{teal}{3}}{\textcolor{blue}{3}}} = 2^{1} = 2$

Beispiel 2

Du sollst die vierte Wurzel aus 625 berechnen.

$\sqrt[4]{\textcolor{red}{625}}$

1.Zerlege den Radikanden 625 in Primfaktoren

$\begin{align*} \sqrt[4]{625} &= \sqrt[4]{ 5\cdot 125} \\ &= \sqrt[4]{5 \cdot 5 \cdot 25} \\ &= \sqrt[4]{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} \end{align*}$

2. Fasse gleiche Faktoren in Potenzen zusammen

$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt[4]{5^4}$

3. Schreibe jeden Faktor unter eine eigene Wurzel: Da du hier nur den Faktor 5 hast, kann der Schritt ausgelassen werden.

4. Wurzel in Potenz umschreiben

$\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{5^\textcolor{teal}{4}} = 5^{\frac{\textcolor{teal}{4}}{\textcolor{blue}{4}}}$

5. Ergebnis der Wurzel berechnen

$5^{\frac{4}{4}} = 5^1 = 5$

Wurzel ziehen mit Variablen

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(03:08)

Das Wurzelziehen mit Variablen funktioniert nach dem gleichen Prinzip, wie die Wurzelberechnung mit Zahlen. Schauen wir es uns an!

Beispiel

Du sollst folgende Wurzel berechnen.

$\sqrt[3]{27(x-1)^{3}}$

1.Zerlege den Radikanden in Primfaktoren:

$\sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (x-1)^{3}}$

2. Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen

$\sqrt[3]{3^{3} \cdot (x-1)^{3}}$

3. Schreibe jeden Faktor unter eine eigene Wurzel

$\sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{(x-1)^{3}}$

4. Wurzel in Potenz umschreiben

$\sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{(x-1)^{3}} = 3^{\frac{3}{3}} \cdot (x-1)^{\frac{3}{3}}$

5. Ergebnis der Wurzel berechnen

$3^{\frac{3}{3}} \cdot (x-1)^{\frac{3}{3}} = 3 \cdot (x-1) = 3x - 3$

Wurzel ziehen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeutet Wurzel ziehen mathematisch, und warum ist das das Gegenteil von Quadrieren?

Wurzel ziehen heißt: Du suchst die Zahl, deren Quadrat wieder den Radikanden (Zahl unter der Wurzel) ergibt. Konkret gilt: $\sqrt{4} = 2$ , weil . Deshalb ist Wurzelziehen das Gegenteil von Quadrieren, weil du damit das Potenzieren mit rückgängig machst.
Wie berechne ich die Quadratwurzel aus einer großen Zahl mit Primfaktorzerlegung?

Eine Quadratwurzel über Primfaktorzerlegung berechnest du, indem du den Radikanden in Primfaktoren zerlegst und gleiche Faktoren als Potenzen schreibst. Danach halbierst du die Exponenten. Zum Beispiel: $196 = 2^2 \cdot 7^2$ , also $\sqrt{196} = 2^{\frac{2}{2}} \cdot 7^{\frac{2}{2}} = 2 \cdot 7 = 14$ .
Warum kann ich aus einer negativen Zahl keine Quadratwurzel ziehen?

Aus einer negativen Zahl kannst du in den reellen Zahlen keine Quadratwurzel ziehen, weil beim Quadrieren nie etwas Negatives entsteht. Jede reelle Zahl erfüllt $x^2 \ge 0$ . Deshalb hat die Gleichung keine reelle Lösung, also gibt es keine reelle Zahl mit $\sqrt{-9}$ .
Wie berechne ich eine Wurzel mit Wurzelexponent 3 Schritt für Schritt?

Eine dritte Wurzel berechnest du, indem du den Radikanden in Primfaktoren zerlegst und Dreiergruppen bildest. Zum Beispiel: $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3}$ . Danach schreibst du als Potenz: $\sqrt[3]{2^3} = 2^{\frac{3}{3}} = 2$ .
Wie ziehe ich eine Wurzel mit Wurzelexponent 3, wenn im Radikanden auch Variablen stehen, zum Beispiel 27 mal (x minus 1) hoch 3?

Bei $\sqrt[3]{27(x-1)^3}$ zerlegst du zuerst und nutzt Potenzen. Konkret: , also $\sqrt[3]{27(x-1)^3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot (x-1)^3}$ . Dann trennst du: $\sqrt[3]{3^3}\cdot\sqrt[3]{(x-1)^3} = 3 \cdot (x-1) = 3x - 3$ .

Wurzelberechnung und Wurzelgesetze

Um deine Prüfung zu bestehen, musst du dir unbedingt noch unser Video zu den Wurzelgesetzen anschauen. Dort erfährst du, wie das Wurzel rechnen mit den Grundrechenarten funktioniert. Schau es dir direkt an!