Angewandte Mathematik
Zinsrechnung
 – Video

Zinsen findest du nicht nur in Mathe, sondern viel häufiger bei Sparbüchern oder Krediten. Hier zeigen wir dir, wie die Zinsformel funktioniert und wie du sie umstellst. Schaue dir auch unser passendes Video an!

Allgemeine Zinsformel einfach erklärt

Wie bei der Prozentrechnung, gibt es auch für die Zinsrechnung eine Formel, mit der du bestimmen kannst, wie viele Zinsen du in einem Zeitraum erhältst. 

Formel Zinsrechnung

Für ein Kapital K bekommst du über einen Zeitraum von t Tagen und einen Zinssatz von p Prozent einen Zinsbetrag Z von:

    \[ \textcolor{red}{Z} = \underbrace{ \textcolor{blue}{K} \cdot \frac{\textcolor{teal}{p}}{100} }_\text{Jahreszins} \cdot \underbrace{  \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} }_\text{Zeit} \]

Wichtig: p wird immer in Prozent angegeben, aber das Prozentzeichen musst du weglassen, wenn du es in die Formel einsetzt!

Banken verwenden dabei die „kaufmännische Zinsmethode“, bei der sie mit 30 Tagen pro Monat und 360 Tagen  pro Jahr rechnen. 

Formel Zinsbetrag

Wie funktioniert das Zinsen-Berechnen%Komisch, aber Schlüsselwort? Wie du die Zinsformel verwendest, verstehst du am besten an einem Beispiel. Schaue dir zuerst den Zinsbetrag an. 

Zinsbetrag Formel

    \[ \textcolor{red}{Z} = \textcolor{blue}{K} \cdot \frac{\textcolor{teal}{p}}{100} \cdot  \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} \]

Beispiel:

Stelle dir vor, du nimmst einen Kredit von 2.500€ auf und musst 20% Zinsen bezahlen. Der Kredit läuft über 6 Monate. Wie viele Euro musst du also als Zinsen bezahlen? Oder anders formuliert: Wie groß ist der Zinsbetrag?

Um das auszurechnen, musst du wissen, wie groß dein Kapital (\textcolor{blue}{ K=\SI{2500}{\euro} }) und dein Zinssatz (\textcolor{red}{p=20}) sind. Bei der Laufzeit musst du aufpassen: Banken rechnen immer mit 30 Tagen im Monat. Das heißt, deine Laufzeit von 6 Monaten ist 6 mal 30 Tage (\textcolor{olive}{t=6\cdot 30=180}). Setze deine Angaben in die Formel ein:

    \[ \textcolor{red}{Z} = \textcolor{blue}{K} \cdot \frac{\textcolor{teal}{p}}{100} \cdot  \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} = \textcolor{blue}{ \SI{2500}{\euro} } \cdot \frac{\textcolor{teal}{20}}{100} \cdot  \frac{\textcolor{olive}{180}}{360} = \textcolor{blue}{ \SI{2500}{\euro} } \cdot \frac{2}{10} \cdot  \frac{1}{2} = \textcolor{red}{ \SI{250}{\euro} } \]

Am Ende der 6 Monate musst du also nicht nur den Kredit von 2.500€, sondern auch 250€ Zinsen an die Bank bezahlen.

Zinssatz-Formel

Die Zinsformel kennst du jetzt. Aber was ist, wenn du den Zinssatz vergessen hast und ihn noch mal schnell berechnen möchtest? Dafür brauchst du die Zinssatz-Formel.

Zinssatz Formel

    \[ \textcolor{teal}{p} = \frac{\textcolor{red}{Z} \cdot 100 \cdot 360 }{\textcolor{blue}{K} \cdot \textcolor{olive}{t}} \]

Beispiel:

Wie du die Zinssatz-Formel benutzt, zeigen wir dir an einem Beispiel: Angenommen du hast 20.000€ auf deinem Sparbuch liegen und bekommst nach 20 Tagen 100€ Zinsen. Welchen Zinssatz gibt dir deine Bank?

Dein Kapital ist \textcolor{blue}{K=\SI{20000}{\euro}} und deine Laufzeit sind \textcolor{olive}{t=20} Tage. Am Ende der Laufzeit zahlt dir die Bank einen Zinsbetrag von \textcolor{red}{Z=\SI{100}{\euro}}. Setze deine Angaben in die Zinssatz-Formel ein und du bist so gut wie fertig!

    \[ \textcolor{teal}{p} =\frac{\textcolor{red}{Z} \cdot 100 \cdot 360 }{\textcolor{blue}{K} \cdot \textcolor{olive}{t}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{100}{\euro}} \cdot 100 \cdot 360 }{\textcolor{blue}{\SI{20000}{\euro}} \cdot \textcolor{olive}{20}}  = \frac{ \SI{1}{\euro} \cdot 1 \cdot 36 }{\SI{2}{\euro}\cdot 2} = \frac{36}{4} = \textcolor{teal}{9} \]

Du bekommst auf dein Sparbuch 9% Zinsen. Das ist kein schlechtes Angebot!

Zinsformel umstellen

Wie kommst du auf die Zinssatz-Formel? Löse die Zinsformel nach p auf:

    \begin{align*} \textcolor{red}{Z} &= \textcolor{blue}{K} \cdot \frac{\textcolor{teal}{p}}{100} \cdot  \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} &&\left|\, \cdot \frac{1}{\textcolor{blue}{K}}\right \\ \frac{\textcolor{red}{Z}}{\textcolor{blue}{K}} &= \frac{\textcolor{teal}{p}}{100} \cdot  \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} &&\left|\, \cdot \frac{360}{\textcolor{olive}{t}} \right \\ \frac{\textcolor{red}{Z}}{\textcolor{blue}{K}} \cdot \frac{360}{\textcolor{olive}{t}} &= \frac{\textcolor{teal}{p}}{100} &&\left|\, \cdot 100 \right \\  \frac{\textcolor{red}{Z}}{\textcolor{blue}{K}} \cdot \frac{360}{\textcolor{olive}{t}} \cdot 100 &= \textcolor{teal}{p} \end{align*}

Formel für Laufzeit

Natürlich kannst bei Zinsrechnungen auch die Laufzeit ermitteln:

Laufzeit Formel

    \[  \textcolor{olive}{t} = \frac{\textcolor{red}{Z} \cdot 100 \cdot 360 }{\textcolor{blue}{K} \cdot \textcolor{teal}{p}} \]

Beispiel:

Mit der Laufzeit-Formel kannst du Zinsrechnungsaufgaben wie diese lösen: Du hast einen Kredit von 5.000€ mit 15% Zinsen aufgenommen. Jetzt musst du 100€ Zinsen bezahlen. Wie lange war die Laufzeit des Kredits?

Dein Kapital war hier \textcolor{blue}{K=\SI{5000}{\euro}} und du hast einen Zinssatz von \textcolor{teal}{p=15}. Der Zinsbetrag ist \textcolor{red}{Z=\SI{100}{\euro}}. Wenn du die Angaben in die umgestellte Formel einsetzt, kannst du die Laufzeit ausrechnen.

    \[  \textcolor{olive}{t} = \frac{\textcolor{red}{Z} \cdot 100 \cdot 360 }{\textcolor{blue}{K} \cdot \textcolor{teal}{p}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{100}{\euro}} \cdot 100 \cdot 360 }{\textcolor{blue}{\SI{5000}{\euro}} \cdot \textcolor{teal}{15}}  = \frac{\SI{1}{\euro} \cdot 10 \cdot 360 }{\SI{5}{\euro} \cdot \textcolor{teal}{15}} = \frac{3600}{75} = \textcolor{olive}{48} \]

Die Laufzeit beträgt 48 Tage. Du hast deinen Kredit also vor 48 Tagen aufgenommen. Häufig werden die Zinsen nicht wie hier als Tageszins, sondern als Monatszins oder sogar als Jahreszins berechnet. Wie der Name schon sagt, setzt du dann anstelle der Tage, die Laufzeit in Monaten oder Jahren in deine Formel ein. Wie das genau funktioniert, findest du in unserem Video zur Zinsrechnung  heraus!

Zum Video: Zinsrechnung
Zum Video: Zinsrechnung

Zinsformel umstellen

Auch die Laufzeit-Formel ist nur eine umgestellte Zinsformel. Löse die Formel nach t auf:

    \begin{align*} \textcolor{red}{Z} &= \textcolor{blue}{K} \cdot \frac{\textcolor{teal}{p}}{100} \cdot  \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} &&\left|\, \cdot \frac{1}{\textcolor{blue}{K}}\right \\ \frac{\textcolor{red}{Z}}{\textcolor{blue}{K}} &= \frac{\textcolor{teal}{p}}{100} \cdot  \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} &&\left|\, \cdot \frac{100}{\textcolor{teal}{p}} \right \\ \frac{\textcolor{red}{Z}}{\textcolor{blue}{K}} \cdot \frac{100}{\textcolor{teal}{p}} &= \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} &&\left|\, \cdot 360 \right \\ \frac{\textcolor{red}{Z}}{\textcolor{blue}{K}} \cdot \frac{100}{\textcolor{teal}{p}} \cdot 360 &= \textcolor{olive}{t} \end{align*}

Formel für Kapital

Zuletzt gibt es noch eine eigene Formel für das Kapital.

Kapital Formel

    \[ \textcolor{blue}{K} = \frac{ \textcolor{red}{Z} \cdot 100 \cdot 360 }{ \textcolor{teal}{p} \cdot \textcolor{olive}{t} } \]

Beispiel:

Ein Beispiel zeigt dir, wie du die Formel benutzen kannst: Du hast nach 3 Monaten 100€ Zinsen auf dein Sparbuch bekommen. Mit der Bank hast du einen Zinssatz von 2,5% ausgemacht. Wie viel Geld war am Anfang der 3 Monate auf deinem Sparbuch?

Auch hier musst du beachten, dass Banken Monate immer mit 30 Tagen zählen. Deine Laufzeit ist also \textcolor{olive}{t=3\cdot 30= 90} Tage. Dein Zinssatz beträgt \textcolor{teal}{p=2,5} und der Zinsbetrag ist \textcolor{red}{Z=\SI{100}{\euro}}. Setze deine Angaben in die Formel ein!

    \[ \textcolor{blue}{K} = \frac{ \textcolor{red}{Z} \cdot 100 \cdot 360 }{ \textcolor{teal}{p} \cdot \textcolor{olive}{t} } = \frac{ \textcolor{red}{\SI{100}{\euro}} \cdot 100 \cdot 360 }{ \textcolor{teal}{2,5} \cdot \textcolor{olive}{90} } = \frac{ \SI{3600000}{\euro} }{ 225 } = \textcolor{blue}{\SI{16000}{\euro}} \]

Du musst also 16.000€ auf deinem Sparbuch gehabt haben %warum nicht nur "haben"? <span style="color: #008000;">Weil jetzt auf dem Konto 16.000€ plus die Zinsen sind.</span>, damit du nach 3 Monaten 100€ Zinsen bekommen kannst.

% Ich glaub ich würde hier auch nochmal eine Zwischenüberschrift einbauen mit "Umformung" / "Formel umstellen" oder so, damit es noch strukturierter wird <span style="color: #008000;">DONE</span> 

Zinsformel umstellen

Wie alle anderen Zinsformeln, findest du die Kapital-Formel durch Umstellen der Zinsformel heraus. Löse nach K auf:

    \begin{align*} \textcolor{red}{Z} &= \textcolor{blue}{K} \cdot \frac{\textcolor{teal}{p}}{100} \cdot  \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} &&\left|\, \cdot \frac{100}{\textcolor{teal}{p}}\right \\ \textcolor{red}{Z} \cdot \frac{100}{\textcolor{teal}{p}} &= \textcolor{blue}{K} \cdot  \frac{\textcolor{olive}{t}}{360} &&\left|\, \cdot \frac{360}{\textcolor{olive}{t}}\right \\ \textcolor{red}{Z} \cdot \frac{100}{\textcolor{teal}{p}} \cdot \frac{360}{\textcolor{olive}{t}} &= \textcolor{blue}{K} \end{align*}

Zinsrechnung Aufgaben

Zinsrechnung ist doch gar nicht so kompliziert, oder? Damit du nichts vergisst, haben wir dir auch eine Übungsserie zusammengestellt. Denn Übung macht den Meister! Schaue dir also auch die Aufgaben zur Zinsrechnung an. 

Zum Video: Zinsrechnung Aufgaben
Zum Video: Zinsrechnung Aufgaben

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