Analysis

Exponentielles Wachstum

In diesem Beitrag erfährst du, was exponentielles Wachstum ist und welche wichtigen Formeln es dazu gibt. Zusätzlich wirst du viele kleine Beispiele und Aufgaben finden.

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Inhaltsübersicht

Exponentielles Wachstum einfach erklärt

Exponentielles Wachstum beschreibt, wie alle anderen Wachstumsprozesse%Verlinkung auch, die Entwicklung einer Population mit der Zeit. Unter der Population kannst du dir zum Beispiel die Anzahl an Bakterien oder die Dicke eines Papiers vorstellen.

Die definierende Eigenschaft für exponentielles Wachstum ist folgende

Exponentielles Wachstum

Unterscheiden sich die Werte der Population zwischen zwei benachbarten Zeitpunkten immer um den gleichen Faktor, dann liegt exponentielles Wachstum vor. Insbesondere ist exponentielles Wachstum nicht beschränkt. Die Population kann demnach beliebig große oder beliebig kleine Werte annehmen.

In der Realität sind aber viele Prozesse in der Tat beschränkt. Wachstumsmodelle, die eine solche Beschränktheit berücksichtigen, sind das beschränkte Wachstum und logistische Wachstum%beide verlinken, sobald die Beiträge veröffentlicht wurden.

Einfaches Beispiel

Lass uns zu Beginn ein einfaches Beispiel anschauen. Nimm ein Blatt Papier zur Hand und falte es einmal zur Hälfte. Wie dick wird das Papier nach dem ersten Falten sein? Es wird zweimal so dick sein wie das Papier am Anfang. Nun faltest du das Papier ein zweites Mal in der Mitte. Wie dick ist es jetzt? Wieder ist es doppelt so dick wie vor dem zweiten Falten, denn beim Falten hast du zwei Schichten des Papiers über die anderen zwei Schichten gelegt. Im Vergleich zum Papier am Anfang, ist das zweimal gefaltete Papier jetzt viermal so dick. 

Erkennst du hier ein Muster? Nach jedem Falten verdoppelt sich die Dicke. Die Dicke des Papiers beim Falten ist also ein klassisches Beispiel für exponentielles Wachstum. Bezeichnen wir die Dicke des Papiers am Anfang willkürlich mit 1, so könnte eine Tabelle mit den Werten für die Dicke nach jedem Falten folgendermaßen aussehen

Anzahl Faltungen 0 1 2 3 4 5 6 7
Dicke 1 2 4 8 16 32 64 128

Um von einem Wert der Dicke zum benachbarten Wert zu kommen, multiplizieren wir die Startdicke mit dem Faktor 2 und erhalten die Enddicke. Wenn du also zum Bespiel von der Dicke nach 3 Faltungen zur Dicke nach 4 Faltungen kommen möchtest, dann rechnest du 

2 mal Dicke bei 3 Faltungen = 2 \cdot 8 = 16 = Dicke bei 4 Faltungen.

Du merkst also, dass die Dicke des Papiers ziemlich schnell wächst und zwar immer um denselben Faktor von einer Faltung zur nächsten.

Exponentielles Wachstum Beispiel, Papierdicke, Papier
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Exponentielles Wachstum der Papierdicke.

Fun Fact: Ein typisches Blatt Papier ist in etwa 0,1 mm dick. Bereits nach nur 30 Faltungen würde das Papier in den Weltraum reichen. Nach 42 Faltungen erreicht das Papier den Mond.

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Exponentielles Wachstum Darstellungsformen

Exponentielles Wachstum kann aber nicht nur die Papierdicke darstellen. Weitere Beispiele, die wir im Verlauf des Beitrags ausführlicher behandeln werden, sind der Zinseszins und die Anzahl an Bakterien. In diesem Abschnitt stellen wir dir zwei Formeln für exponentielles Wachstum vor, wie du von der einen Formel zur anderen übergehen kannst und wie die rekursive Darstellung des exponentiellen Wachstums aussieht.

Exponentialfunktion und Wachstumsfaktor

Der Name „exponentielles Wachstum“ könnte dir vielleicht schon einen ersten Hinweis darauf geben, wie die Gleichung dafür aussehen wird. Exponentielles Wachstum wird durch sogenannte Exponentialfunktionen modelliert. Eine Exponentialfunktion sieht allgemein so aus

f(x) = a \cdot b^x.

Dabei ist a der Anfangsbestand zum Zeitpunkt t=0 und b der Wachstumsfaktor. Die Bezeichnung „Exponentialfunktion“ kommt daher zustande, dass die Variable x im Exponenten steht.

Explizite Darstellung

Bei Wachstumsprozessen interessierst du dich, wie sich eine Population mit der Zeit ändert. Der Begriff Population ist sehr allgemein. Du könntest dir zum Beispiel die Anzahl an Bakterien, die Menge an Geld auf deinem Bankkonto oder die Papierdicke vorstellen. Für die Zeit wird der Buchstabe t einheitlich verwendet. Für die Population findest du oft die Abkürzung B. Daher triffst du für exponentielles Wachstum auf die Formel

Exponentielles Wachstum Formel (explizit)

B(t) = A \cdot b^t

Hier ist

  • A der Anfangsbestand, das heißt, wie viel es von der Population zum Zeitpunkt t = 0 gibt und
  • b der Wachstumsfaktor

Wenn wir statt b die Zahl \lambda = \ln(b) verwenden, erhalten wir eine andere Formel für exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum Formel (explizit)

B(t) = A \cdot e^{\lambda t}

Hier ist \ln der natürliche Logarithmus und e die Eulersche Zahl. 

Manchmal wird mit „Exponentialfunktion“ eine Funktion der Form

f(x) = e^x

bezeichnet. Korrekterweise sollte das aber Exponentialfunktion zur Basis e heißen. Welche Formel du letztendlich verwendest, ist dir überlassen. Die zweite Darstellung mit der Eulerschen Zahl findest du aber häufig im Zusammenhang mit Differentialgleichungen in der Physik.

Hinweis: Ob jetzt für die Variable der Zeit der Buchstabe t, x oder irgendein anderer verwendet wird, ist egal. Ebenso ist die Abkürzung für die Population (ob B, f oder irgendwas anderes), sowie für den Anfangsbestand oder den Wachstumsfaktor unwichtig. Was wirklich für exponentielles Wachstum zählt, ist, dass die Variable im Exponenten steht.

Wenn ich dir also folgende Formel gebe

\mathsf{Bananen(Sonne)} = \mathsf{Bananen_0} \cdot (\mathsf{Sommer})^{\mathsf{Sonne}}

und dich frage, ob das nun exponentielles Wachstum ist oder nicht, wie lautet dann deine Antwort? Die Antwort ist Ja, denn die Variable „Sonne“ steht im Exponenten. 

Beispiel: Exponentielles Wachstum Biologie

Lass uns ein Beispiel aus der Biologie betrachten. Hierzu nehmen wir an, dass wir eine Bakterienkultur untersuchen, die zu Beginn 150 Bakterien enthält. Die Bakterienanzahl verdoppelt sich alle drei Stunden. Die Vermehrung der Bakterien soll durch exponentielles Wachstum modelliert werden. Die Formel dazu lautet

B(t) = 150 \cdot 1,26^t.

Den Anfangsbestand zu bestimmen ist leicht. Wir haben zu Beginn 150 Bakterien, daher ist A = 150. Aber wie wird der Wachstumsfaktor bestimmt? Das schauen wir uns weiter unten in Form einer Aufgabe genauer an. Wenn wir diese Funktion zeichnen lassen, erhalten wir den folgenden Graphen.

Exponentielles Wachstum einer Bakterienkultur, Bakterien
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Exponentielles Wachstum einer Bakterienkultur.

Der Graph verläuft wie gewünscht: Er beginnt bei 150, nach 3 Stunden verdoppelt sich die Bakterienanzahl auf 300, nach weiteren 3 Stunden verdoppelt sie sich auf 600 und so weiter.

Rekursive Darstellung

Gehen wir zurück zu unserem Beispiel mit der Papierdicke. Wie konnten wir noch einmal die Papierdicke nach einer Faltung bestimmen, wenn wir die Papierdicke vor der Faltung wussten? Wir nahmen die Papierdicke vor der Faltung und multiplizierten diese mit dem Faktor 2. Es gilt also

Papierdicke nach der Faltung = 2 mal Papierdicke vor der Faltung.

Diese Vorgehensweise, dass man einen „späteren“ Wert durch einen „vorherigen“ Wert bestimmt, heißt rekursiv

Wenn wir jetzt statt die Anzahl an Faltungen wieder die Zeit t als Variable betrachten, dann gilt formal

Exponentielles Wachstum Formel (rekursiv)

B(t+1) = b \cdot B(t)

In Worten gefasst, besagt die Formel

Nimm die Population zu einem bestimmten Zeitpunkt t, multipliziere sie mit einem Faktor b und du erhältst die Population zu einem späteren Zeitpunkt t + 1.

Wenn du zum Beispiel die Population zum Zeitpunkt 3 wissen möchtest, dann nimmst du die Population zum Zeitpunkt 2 und multiplizierst sie mit dem Faktor b. Der Faktor b ändert sich nicht mit der Zeit.

Beispiel: Zinseszins

Nehmen wir an, dass du am Anfang des Monats ein Taschengeld von 50€ bekommen hast. Mit dem Taschengeld, das du dir bisher verdient hast, hast du bereits alles gekauft, was du jemals besitzen wolltest. Daher legst du die 50€ an. 

Dabei erinnerst du dich an deinen sehr großzügigen Verwandten, der dir bereits schon einmal angeboten hatte, dein Geld für dich anzulegen. Jeden Monat würdest du 10% mehr Geld bekommen als du am Anfang des Monats hattest. Du weißt nicht viel von Geldanlagen, aber du kennst die rekursive Darstellung für exponentielles Wachstum. Bevor du also deinem Verwandten zusagst, rechnest du aus, wie viel du am Ende des Jahres besitzen würdest. 

Erstmal überlegst du dir, um welchen Faktor dein Geld jeden Monat steigt. Du weißt, dass 10% gerade 0,1 sind. Da du 10% mehr bekommst, berechnest du den Faktor zu 1 + 0,1 = 1,1. Jetzt kennst du den Wachstumsfaktor b und beginnst eine Tabelle aufzunehmen. Zum Zeitpunkt t = 0 hast du 50€. Zum späteren Zeitpunkt t + 1 = 0 + 1 = 1 hast du 

B(t + 1) = B(1) = b \cdot B(0) = 1,1 \cdot 50 = 55€.

Am Ende des nächsten Monats hast du

B(t + 1) = B(2) = 1,1 \cdot B(1) = 1,1 \cdot 55 = 60,5€.

Du führst diesen Prozess immer weiter und füllst deine Tabelle aus:

Monat 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Geld 50€ 55€ 60,5€ 66,55€ 73,21€ 80,53€ 88,58€ 97,44€ 107,18€ 117,9€ 129,69€ 142,66€

Am Ende des Jahres hast du also 142,66€. Dir gefällt diese Summe und daher sagst du dem Angebot deines Verwandten zu.

Die Änderungsrate des exponentiellen Wachstums

Wenn du die Population zum Zeitpunkt t + 1 nimmst und von ihr die Population zum Zeitpunkt t abziehst, erhältst du eine Größe, die sich absolute Änderungsrate \Delta B(t) nennt. Es gilt also

\Delta B(t) = B(t+1) - B(t) = b \cdot B(t) - B(t) = (b - 1) \cdot B(t).

Wichtig ist zu erkennen, dass die absolute Änderungsrate direkt proportional zur Population selbst ist. Das ist eine wichtige Eigenschaft für exponentielles Wachstum. Das konnten wir beim Beispiel der Bakterienkultur erkennen: Je mehr Bakterien vorhanden sind, umso stärker wächst ihre Anzahl von einem Zeitpunkt zu einem späteren Zeitpunkt. Bei der ersten Verdopplung beispielsweise kamen nur 150 Bakterien hinzu, während es bei der zweiten Verdopplung bereits 300 waren.

Nimmst du die absolute Änderungsrate und dividierst sie durch die Population, erhältst du die sogenannte relative Änderungsrate

\frac{\Delta B(t)}{B(t)} = b -1.

Im Gegensatz zur absoluten Änderungsrate ist die relative Änderungsrate bei exponentiellem Wachstum konstant.

Exponentieller Zerfall

Bisher haben wir den Wachstumsfaktor nur als Parameter kurz erwähnt. In diesem Abschnitt wollen wir uns seine Bedeutung etwas näher ansehen.

Wenn der Wachstumsfaktor b größer als 1 ist, dann wächst die Population mit der Zeit. Die Bezeichnung „Wachstumsfaktor“ beschreibt daher recht anschaulich diese Situation. Je größer der Wachstumsfaktor ist, umso schneller wächst die Population. Graphisch spiegelt sich das in Form einer steileren Kurve wieder. Diese Beobachtung soll das folgende Bild illustrieren. Für alle vier Funktionen wurde die Gleichung

B(t) = 1 \cdot b^t 

verwendet, wobei der Wachstumsfaktor b die im Bild dargestellten Werte annimmt.

Wachstumsfaktor Einfluss
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Exponentielles Wachstum für unterschiedliche Werte des Wachstumsfaktors.

Wenn der Wachstumsfaktor aber zwischen 0 und 1 liegt, dann werden die Werte immer kleiner. Die Bezeichnung „Wachstumsfaktor“ passt in dieser Situation der exponentiellen Abnahme beziehungsweise des exponentiellen Zerfalls nicht mehr. Daher findest du oft stattdessen die Bezeichnung Abnahmefaktor. Die folgende Grafik soll das veranschaulichen.

Exponentielle Abnahme
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Exponentielle Abnahme für unterschiedliche Werte des Abnahmefaktors.

Exponentielles Wachstum Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam drei Aufgaben aus. In der ersten Aufgabe werden wir den Wachstumsfaktor bestimmen, in der Zweiten ermitteln wir, ob eine gegebene Population exponentiellem Wachstum gehorcht und in der dritten Aufgabe haben wir das Modell für exponentielles Wachstum gegeben und interessieren uns für bestimmte Kenngrößen.

Aufgabe 1: Berechnung des Wachstumsfaktors

Du untersuchst eine Bakterienkultur. Am Anfang sind 150 Bakterien enthalten. Alle 3 Stunden soll sich die Bakterienanzahl verdoppeln. Bestimme den Wachstumsfaktor und schreibe die vollständige Funktion für exponentielles Wachstum auf.

Lösung: Aufgabe 1

Wir wissen, dass zu Beginn 150 Bakterien vorhanden sind. Es gilt also A = 150. Nach 3 Stunden hat sich die Anzahl verdoppelt. Wir haben also

B(3) = 300 = 150 \cdot b^3.

Diese Gleichung müssen wir nach b umstellen. Dafür teilen wir zunächst beide Seiten durch 150 und erhalten

b^3 = 2.

Wenden wir nun auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an und verwenden die Rechenregel \ln(x^a) = a \cdot \ln(x), so bekommen wir

3 \cdot \ln(b) = \ln(2).

Beide Seiten dividiert durch 3 und anwenden der e-Funktion liefert uns

b = e^{\frac{\ln(2)}{3}} = 1,26.

Damit haben wir alle Parameter bestimmt und die Funktion für exponentielles Wachstum lautet

B(t) = 150 \cdot 1,26^t.

Aufgabe 2: Ermitteln, ob exponentielles Wachstum vorliegt

Du hast folgende Tabelle gegeben, welche das Wachstum einer Population mit der Zeit t darstellen soll

Zeit t Population B(t)
0 125
1 168,75
2 227,81
3 307,55
4 415,19
5 560,50

(a) Bestimme, ob sich diese Population durch exponentielles Wachstum modellieren lässt.

(b) Falls exponentielles Wachstum vorliegt, bestimme alle Parameter und schreibe die Funktion auf.

Lösung: Aufgabe 2

(a) Für exponentielles Wachstum ist es charakteristisch, dass zwischen zwei Populationswerten zu zwei benachbarten Zeitpunkten immer der gleiche Faktor herrscht. Um das für die gegebene Population zu überprüfen, füllen wir folgende Tabelle aus

Zeitpunkte \frac{B(t+1)}{B(t)}
t = 0 und 1 1,35
t = 1 und 2 1,35
t = 2 und 3 1,35
t = 3 und 4 1,35
t = 4 und 5 1,35

Wir erkennen, dass zwischen zwei benachbarten Zeitpunkten immer der gleiche Faktor vorliegt. Daher lässt sich die Population durch exponentielles Wachstum modellieren.

(b) Die Parameter lassen sich leicht bestimmen. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Population 125. Somit ist A = 125. Der Wachstumsfaktor entspricht 1,35. Die Funktion für exponentielles Wachstum lautet daher

B(t) = 125 \cdot 1,35^t.

Aufgabe 3: Berechnen bestimmter Kenngrößen

Die folgende Funktion ist gegeben

f(x) = 35 \cdot (5,5 - 1,5)^x.

(a) Handelt es sich hierbei um eine Funktion, die exponentielles Wachstum modelliert?

(b) Falls exponentielles Wachstum vorliegt, bestimme die Parameter A und b der allgemeinen Gleichung.

(c) Falls exponentielles Wachstum vorliegt, bestimme den Zeitpunkt x_{\mathsf{2}} zu dem sich die Population verdoppelt hat.

Lösung: Aufgabe 3

(a) Die gegebene Funktion stellt exponentielles Wachstum dar, da die Variable x im Exponenten vorkommt und die Basis größer als 1 ist.

(b) Der Anfangsbestand A gibt die Population zum Zeitpunkt Null an. Es gilt also

A = f(0) = 35 \cdot (5,5 - 1,5)^0 = 35.

Der Wachstumsfaktor b entspricht gerade der Basis der Exponentialfunktion. Damit ist b = 5,5 - 1,5 = 4.

(c) Zum Zeitpunkt x_{\mathsf{2}} gilt

f(x_{\mathsf{2}}) = 2 \cdot 35 = 70 = 35 \cdot 4^{x_{\mathsf{2}}}.

Diese Gleichung muss nach x_{\mathsf{2}} umgestellt werden. Dazu teilen wir beide Seiten durch 35 und wenden den natürlichen Logarithmus an

\ln(2) = x_{\mathsf{2}} \cdot \ln(4).

Aufgelöst nach x_{\mathsf{2}} erhalten wir

x_{\mathsf{2}} = \frac{\ln(2)}{\ln(4)}.

 

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