Produktregel
Du möchtest wissen, was die Produktregel in der Mathematik besagt und wie sie angewandt werden kann? Im folgenden Artikel erklären wir dir die allgemeine Form der Produktregel und zeigen dir mehrere Beispiele dazu.
Du willst den Inhalt dieses Artikels in audiovisueller Form sehen? Dann schau dir gerne unser Video zur Produktregel an.
Produktregel einfach erklärt
Die Produktregel ist eine Methode der Differentialrechnung. Du verwendest sie, wenn du ein Produkt ableiten möchtest.
Dabei ist es wichtig, dass das Produkt aus zwei Funktionen mit jeweils der Variable besteht, hier
und
, und es sich um differenzierbare Funktionen handelt.
Da die Produktregel von dem deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz aufgestellt wurde, kannst du sie auch als Leibnizregel bezeichnen.
Produktregel Aufgaben
Um das Vorgehen in der Praxis anwenden zu können, betrachten wir nun zwei Beispiele.
Einfaches Beispiel
Berechne die Ableitung der folgenden Funktion:
Bei dieser Aufgabe kannst du die Produktregel anwenden. Es ist nützlich, wenn du zuerst die Ableitungen der beiden Teilfunktionen und
berechnest.
Um die Ableitung einer Potenzfunktion zu bilden, musst du die sogenannte Potenzregel anwenden. Sie liefert dir:
und
Diese Ergebnisse kannst du nun in die Formel der Produktregel einsetzen:
Schließlich kannst du es noch folgendermaßen vereinfachen:
In diesem Fall hättest du die Produktregel umgehen können, indem du zuvor zu
zusammenfasst und im Anschluss die Potenzregel anwendest.
Produktregel e Funktion
Jetzt noch ein Beispiel für die Anwendung der Produktregel mit einer e Funktion:
Berechne die Ableitung der Funktion :
Dafür berechnest du mit der Potenzregel
die Ableitung der Funktion Zudem musst du mit der Kettenregel
die e Funktion ableiten
können. Hast du das getan, erhältst du:
und
Nun setzt du für die Ableitung deine Ergebnisse in die Formel der Produktregel ein:
Produktregel bei 3 oder mehr Termen
Wenn du einen Term ableiten möchtest, der aus drei oder mehr Produkten besteht, kannst du die Produktregel wie folgt anwenden:
Du kannst dir merken, dass du die Regel für jeden Faktor einfach fortsetzen musst.
Produktregel Herleitung
Wir wollen im Folgenden die Produktregel herleiten. Dafür verwenden wir die h Methode, um die Steigung der Funktion
zu berechnen. Sie lautet:
In diese Formel setzt du nun deine Funktion ein. Das ergibt:
Für den nächsten Schritt ist eine Ergänzung um den Term notwendig:
Danach werden die Terme und
ausgeklammert:
Dieser Ausdruck lässt sich wie folgt umschreiben:
Wenn sich nun null annähert, ergibt sich folgende Form:
Weitere Ableitungsregeln
Die Produktregel ist eine von vielen Ableitungsregeln der Differentialrechnung. Weitere wichtige Ableitungsregeln sind:
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Quotientenregel | ![]() |
![]() |
Summenregel | ![]() |
![]() |
Differenzregel | ![]() |
![]() |
Kettenregel | ![]() |
![]() |
Potenzregel | ![]() |
![]() |
Faktorregel | ![]() |
![]() |