Analysis
Ableitungsregeln
 – Video
Wichtige Inhalte in diesem Video

Wie rechnest du nach dem Funktionenmultiplizieren die Ableitung aus? Dafür gibt es eine spezielle Ableitungsregel. Hier zeigen wir dir, wie du die Produktregel benutzen kannst. Schaue dir auch unser passendes Video an!

Ableitung Produktregel

Die Produktregel brauchst du bei der Ableitung von Funktionen, die aus einem Produkt bestehen. Dafür zerlegst du deine Funktion f(x) in zwei Teilfunktionen u(x) und v(x). u und v kannst du mit den anderen Ableitungsregeln ableiten (u‘ und v‘) und in deine Produktregel einsetzen.

    \[ f(x) = \textcolor{blue}{u(x)} \cdot \textcolor{red}{v(x)} \quad\text{Beispiel: } f(x) = \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\cos(x)}\]

Produktregel Formel

Ist deine Funktion f(x) ein Produkt aus den Funktionen u(x) und v(x), dann leitest du die Teilfunktionen unabhängig voneinander ab, um insgesamt die Ableitung der gesamten Funktion zu erhalten:

    \[ f(x) = \textcolor{blue}{u(x)}\cdot \textcolor{red}{v(x)}  \;\Longrightarrow\; f'(x) = \textcolor{blue}{u(x)}\cdot \textcolor{orange}{v'(x)} + \textcolor{teal}{u'(x)}\cdot \textcolor{red}{v(x)} \]

Ableitung Multiplikation in der Kurzschreibweise:

    \[ f = \textcolor{blue}{u}\cdot \textcolor{red}{v} \Rightarrow f' = \textcolor{blue}{u}\cdot \textcolor{orange}{v'} + \textcolor{teal}{u'}\cdot \textcolor{red}{v} \]

Produktregel Beispiele

Schaue dir das am besten an ein paar Beispielen an:

Beispiel 1: Ganzrationale Funktionen

Leite die Funktion f(x) = (5x^2 + 3x)\cdot 4x ab! Deine Teilfunktionen lauten:

    \begin{gather*} \textcolor{blue}{u(x) = 5x^2+3x} \\ \textcolor{red}{v(x) = 4x} \end{gather*}

Du kannst die Teilfunktionen wie ganzrationale Funktionen mit der Potenzregel und der Summenregel ableiten.

    \begin{gather*} \textcolor{teal}{u'(x) = 10x+3}\\ \textcolor{orange}{v'(x)=4} \end{gather*}

Setze u, v, u‘ und v‘ in deine Ableitungsregel ein! Danach musst du nur noch ausklammern und vereinfachen.

    \begin{align*} f'(x) &= \textcolor{blue}{u(x)}\cdot \textcolor{orange}{v'(x)} + \textcolor{teal}{u'(x)}\cdot \textcolor{red}{v(x)} \\ &= \textcolor{blue}{(5x^2+3x)}\cdot \textcolor{orange}{4} + \textcolor{teal}{(10x+3)}\cdot \textcolor{red}{4x}\\ &= 20x^2 +12x + 40x^2+12x \\ f'(x) &= 60x^2+24x \end{align*}

Die Ableitung von f ist also 60x2+24x. Gar nicht so schwer, oder?

Beispiel 2: Sinus und Exponentialfunktion

Schauen wir uns noch ein schwierigeres Beispiel an. Häufig musst du mit der Produktregel auch die Kettenregel anwenden. Berechne deshalb die Ableitung von Funktionen mit trigonometrischen und Exponentialfunktionen!

    \[ f(x) = \sin(2x) \cdot \mathrm{e}^{4x^3} \]

Zuerst schreibst du dir wieder deine Teilfunktionen u und v heraus.

    \begin{gather*} \textcolor{blue}{u = \sin(2x)} \\ \textcolor{red}{v = \mathrm{e}^{4x^3}} \end{gather*}

Danach musst du die Teilfunktionen ableiten. Fange mit der Teilfunktion u an. Die Ableitung Sinus ist der Cosinus, aber was ist die Ableitung von sin(2x)? Dafür brauchst du die Kettenregel .  Sie lautet: [ g(h(x)) ]' = g'(h(x)) \cdot h'(x).  Wenn Du mit der Kettenregel ableiten musst, berechnest Du zuerst die Ableitung der äußeren Funktion g'(x) und multiplizierst sie mit der Ableitung der inneren Funktion h'(x).

Hier ist die Ableitung der äußeren Funktion cos(x) und die Ableitung der inneren Funktion 2x ist gleich 2.

    \[ \textcolor{teal}{u' = [\sin(2x)]' = \cos(2x) \cdot 2} \]

Für die Teilfunktion v leitest du zuerst die e-Funktion ab. Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion selbst. Danach musst du das mit der Ableitung der inneren Funktion 4x3 multiplizieren. Die Ableitung der inneren Funktion ist 12x2.

    \[ \textcolor{orange}{v' = \left[ \mathrm{e}^{4x^3}\right]' = \mathrm{e}^{4x^3} \cdot 12x^2} \]

Setze u, v, u‘ und v‘ in die Produktregel ein!

    \begin{align*} f'(x) &=\textcolor{blue}{u(x)}\cdot \textcolor{orange}{v'(x)} + \textcolor{teal}{u'(x)}\cdot \textcolor{red}{v(x)} \\ &= \textcolor{blue}{ \sin(2x)}\cdot \textcolor{orange}{\mathrm{e}^{4x^3} \cdot 12x^2} + \textcolor{teal}{\cos(2x) \cdot 2}\cdot \textcolor{red}{\mathrm{e}^{4x^3}} \end{align*}

Wenn du Exponentialfunktionen ableitest, macht Ausklammern deine Ableitung viel leserlicher.

    \begin{align*} f'(x) &= 6x^2\sin(2x)\cdot 2\mathrm{e}^{4x^3} + \cos(2x) \cdot 2\mathrm{e}^{4x^3} \\ f'(x) &= [6x^2\sin(2x) + \cos(2x)] \cdot 2\mathrm{e}^{4x^3} \end{align*}

Quotientenregel Ableitung

Jetzt kannst du Produkte ableiten, aber wie gehst du mit gebrochen-rationalen Funktionen um? Bei Ableitungen von Funktionen mit Brüchen brauchst du die Quotientenregel.

    \[ f = \frac{\textcolor{blue}{u}}{\textcolor{red}{v}} \;\Longrightarrow\; f' = \frac{\textcolor{red}{v}\cdot\textcolor{teal}{u'} - \textcolor{orange}{v'}\cdot\textcolor{blue}{u} }{ \textcolor{red}{v}^2 } \]

Schaue dir das am besten unser Video dazu an!

Zum Video: Quotientenregel
Zum Video: Quotientenregel

Weitere Ableitungsregeln

Die Produktregel ist eine von vielen Ableitungsregeln der Differentialrechnung. Weitere wichtige Ableitungsregeln sind: 

 

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.