Angewandte Mathematik
Prozentrechnung
 – Video

Für das Vergleichen von zwei Zahlen und das Berechnen von Rabatten oder Zinsen kannst du die Prozentrechnung benutzen. Was das genau ist und wie sie funktioniert, erfährst du hier. Schau Dir auch unser Video dazu an!

Prozentrechnung einfach erklärt

Stelle dir vor, du hast einen Sack mit 100 Kartoffeln und nimmst eine heraus. Dann ist diese Kartoffel 1 von 100. Mathematisch kannst du dann auch sagen, dass der Anteil der einzelnen Kartoffel an allen 100 Kartoffeln 1 Prozent (1%) ist. 1 Prozent (1%) bedeutet dabei das Gleiche wie 1 : 100.

Zum Prozentrechnen brauchst du nur drei Größen:

  • Der Grundwert G  ist das Ganze, von dem du den Anteil berechnest. Er entspricht immer 100%. Im Falle des Kartoffelsacks wären das die 100 Kartoffeln.
  • Dagegen ist der Prozentwert W ein Anteil des Grundwerts. Anders als zu erwarten, wird er nicht mit Prozent geschrieben. Das entspricht in dem Beispiel der einzelnen Kartoffel.
  • Der Prozentsatz p% sagt dir, wie groß der Prozentwert im Vergleich zum Grundwert ist. Er wird in Prozent aufgeschrieben und wäre in unserem Beispiel hier 1%.

Den Prozentsatz p% kannst du auch ohne das Prozentzeichen schreiben. Dann nennst du ihn aber die Prozentzahl p. \textcolor{magenta}{p\,\%}=40\,\% kannst du also auch als \textcolor{red}{p}=40 schreiben.

Grundwert berechnen

Stelle dir vor, du fragst dich, wie groß deine Klasse ist. Du weißt 5 Schüler entsprechen 25% deiner Klasse. Die Antwort auf diese Frage ist der Grundwert. Hier kannst du den Grundwert berechnen, indem du die Formel benutzt:

    \[ \textcolor{orange}{G} = \frac{\textcolor{blue}{W} \cdot 100}{ \textcolor{red}{p} }\]

Die 25% sind der Prozentsatz und du kannst deshalb für p 25 einsetzen.  Dann müssen die 5 Schüler der Prozentwert sein. Ersetze deshalb W durch 5 und die Aufgabe ist so gut wie gelöst.

    \[ \textcolor{orange}{G} = \frac{\textcolor{blue}{W} \cdot 100}{\textcolor{red}{p}} = \frac{\textcolor{blue}{5} \cdot 100}{\textcolor{red}{25}} \]

100 kannst du leicht durch 25 teilen und bekommst 4. Es bleibt dann nur noch 5 mal 4 stehen und das sind 20. Der Grundwert, den du suchst, muss also 20 sein.

    \[ G = 5 \cdot 4 = 20 \]

Und schon weißt du, dass deine Klasse im Ganzen aus 20 Schülern besteht. Der Grundwert ist doch gar nicht schwer! 

Grundwert Textaufgaben

Hier sind noch ein paar Beispiele, wie du die Grundwertformel in Fragen erkennst:

  • Du kaufst eine reduzierte Hose für 75€. Weil die Hose reduziert ist, musst du nur 75% des ursprünglichen Preises bezahlen. Wie viel hat die Hose ohne Rabatt gekostet? (G=100\,\euro{})
  • Du verkaufst dein Fahrrad für 60% des Geldes, für das du es gekauft hattest. Dein Käufer zahlt dir 90€. Zu welchem Preis hast du dein Fahrrad damals gekauft? (G=150\,\euro{})

Prozentwert berechnen

Den Prozentwert findest du, wenn du zum Beispiel fragst: Wie viel sind 20 Prozent von 50 Euro? Du suchst also einen Anteil an einem Ganzen. Das Ganze sind hier die 50 Euro und deinen Anteil kannst du mit folgender Formel ausrechnen:

    \[ \textcolor{blue}{W} = \frac{\textcolor{red}{p} \cdot \textcolor{orange}{G}}{100} \]

Benutze für deine 20% die Zahl 20 in der Formel und benutze anstelle von G deine 50€!

    \[ \textcolor{blue}{W} = \frac{\textcolor{red}{p} \cdot \textcolor{orange}{G}}{100}= \frac{\textcolor{red}{20} \cdot \textcolor{orange}{\SI{50}{\euro{}}}}{100} \]

Weil 50 die Hälfte von 100 ist, kannst du sie ganz leicht durcheinander teilen (\nicefrac{50}{100} = \nicefrac{1}{2}). Du musst dann nur noch 20 durch 2 dividieren.

    \[ W = \frac{ \SI{20}{\euro{}}}{2}  = 10\,\euro{}\]

Der Prozentwert ist gleich 10 Euro. Du weißt jetzt, dass 20 Prozent von 50 Euro genau 10 Euro sind. War doch ganz leicht, oder?

Prozentwert Textaufgaben

Damit du die Prozentwertformel auch in Textaufgaben erkennst, sind hier noch zwei Beispiele:

  • Du bekommst auf ein Shirt 15% Rabatt, das normalerweise  20€ kostet. Wie viel Geld sparst du mit dem Rabatt? (W=\SI{3}{\euro})
  • Stelle dir vor, 20% deiner Klasse spielt nicht gerne Fußball. Wie viele Schüler sind das, wenn deine Klasse 25 Mitschüler hat? (W=5)

Prozentsatz berechnen

Wenn du dich fragst „Wie viel Prozent sind …?“, dann bist du auf der Suche nach dem Prozentsatz. Die Prozentsatz Formel zeigt dir, wie du ihn ausrechnest, indem du den Prozentwert durch den Grundwert teilst. Schauen wir uns die Prozentrechnung an einem weiteren Beispiel an: In einer Eierpackung fehlen 3 von 10 Eiern. Wieviel %Rechtschreibfehler, weil SchlüsselwortProzent sind noch da?

    \[ \textcolor{magenta}{p\,\%} = \frac{\textcolor{blue}{W}}{\textcolor{orange}{G}} \]

Das Prozent ausrechnen%Absichtlich falsch geschrieben. Schlüsselwort ist ganz leicht. Du hast noch 7 Eier – das ist dein Prozentwert. Insgesamt waren es 10 Eier – das ist dein Grundwert. Die beiden Zahlen brauchst du jetzt nur in die richtige Prozentrechnung-Formel einsetzen.

    \[ \textcolor{magenta}{p\,\%} = \frac{\textcolor{blue}{W}}{\textcolor{orange}{G}} = \frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{orange}{10}} \]

Aber wie kannst du das in Prozent ausrechnen? Du musst den Bruch so erweitern, dass unter dem Bruchstrich eine 100 steht. In unserem Beispiel sind 10 \cdot 10 = 100. Multipliziere also die 7 über und die 10 unter dem Bruchstrich mit 10 und du bekommst deinen Prozentsatz in Prozent.

    \[ p\,\% = \frac{7 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{70}{100} = 70\,\% \]

In der Packung sind also noch 70% der Eier.

Prozentsatz Textaufgaben

Hier sind noch zwei Beispiele zur Prozentsatzformel:

  • Ein Rucksack kostet im Laden 80€, aber der Verkäufer bietet ihn dir für 60€ an. Wie viel Prozent des eigentlichen Preises musst du bezahlen? (p\,\%=\SI{75}{\percent})
  • Stelle dir vor, du hast 16€ für ein Shirt ausgegeben. Ein Freund hat für dasselbe Shirt 20€ bezahlt. Wie viel Prozent hast du im Vergleich zu deinem Freund bezahlt? (p\,\% =\SI{80}{\percent})

Prozentrechnung Dreieck

Wenn du dir nicht alle Prozentrechnung-Formeln merken willst, gibt es eine schöne Eselsbrücke. Schreibe dazu Prozentwert, Prozentsatz und den Grundwert in ein Dreieck, wie du es im Bild siehst. Aber wie funktioniert es? Ignoriere die Größe, die du suchst, und der Rest im Dreieck ist die Formel, die du brauchst. So kannst du dir zum Beispiel die Prozentsatz Formel \textcolor{magenta}{p\,\%} = \nicefrac{\textcolor{blue}{W}}{\textcolor{orange}{G}} ganz einfach merken.

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Eselsbrücke Prozentrechnung

Prozentrechnung Aufgabe

Mache dich gleich an unsere Aufgaben zur Prozentrechnung , damit du nicht vergisst, wie es geht!

Zum Video: Prozentrechnung Aufgaben
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