Mathematische Grundlagen

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie die Zinsrechnung funktioniert und wofür du sie benutzen kannst. %Lehn dich einfach zurück und schau dir unser kurzes Video dazu an! Da erklären wir dir das Thema in unter fünf Minuten.

Inhaltsübersicht

Zinsrechnung einfach erklärt 

Bei der Zinsrechnung geht es darum, wie viel Geld (Zinsen) du von einer Bank bekommst, wenn du dein Erspartes bei ihr anlegst. Genauso kannst du auch berechnen, wieviel Geld (Kreditzinsen) du an die Bank zahlen musst, wenn du dir bei ihr Geld geliehen hast. Aber wie berechnet man Zinsen?

Zinsrechnung Formel

Die Formel der Zinsrechnung lautet: 

\textbf{Z} = \frac{ \textbf{\textcolor{red}{K}} \ \cdot \ \textbf{\textcolor{blue}{p}}}{\textbf{100}}

  • \textbf{Z}: Geldmenge, die du als Zinsen erhältst
  • \textbf{\textcolor{red}{K}}: Startkapital vor der Verzinsung
  • \textbf{\textcolor{blue}{p}}: Zinssatz (in Prozent)

Die Zinsrechnung ist eine Art der Prozentrechnung%Verweis. In der Zinsformel entspricht das Kapital K dabei dem Grundwert G, der Zinssatz p% dem Prozentsatz p% und die Zinsen Z dem Prozentwert W.

Jahreszins berechnen

Schauen wir uns mal  an, wie du die Zinsrechnung durchführst. Damit kannst du nämlich den Jahreszins berechnen. Das ist der Zins, den du bei einem Anlagezeitraum von einem Jahr bekommst.

Beispiel:

Stell dir vor, du legst dein Erspartes von 5.000 € für ein Jahr bei der Bank an und bekommst dafür fünf Prozent Zinsen. Wie viel Geld hast du dann am Ende des Jahres? Schreib dazu die Zinsrechnung-Formel nochmal hin.

\textbf{Z} = \frac{ \textbf{\textcolor{red}{K}} \ \cdot \ \textbf{\textcolor{blue}{p}}}{\textbf{100}}

Das Kapital K und der Zinssatz p sind hier die 5.000 € (\textbf{\textcolor{red}{K = 5000\ \text{Euro}}}) und die fünf Prozent Zinsen pro Jahr (\textbf{\textcolor{blue}{p = 5}})! Setze das in die Formel ein. 

Z = \frac{ \textcolor{red}{5000\ \text{Euro}} \ \cdot \ \textcolor{blue}{5}}{100}= \frac{25000\ \text{Euro}}{100}= 250\ \text{Euro}

Du bekommst 250 € Zinsen. Gesucht ist aber das Geld, das du am Ende des Jahres hast! Das berechnest du so:

K_{\text{neu}} = \textbf{\textcolor{red}{K}} + \textbf{Z}

K_{\text{neu}} = \textcolor{red}{5000\ \text{Euro}} + 250\ \text{Euro} = 5250\ \text{Euro} 

Nach der Verzinsung über ein Jahr hast du also 5.250 €. 

Monatliche Zinsen berechnen

Du musst dein Geld nicht gleich für ein Jahr anlegen, sondern auch nur für ein paar Monate. Dann musst du allerdings eine andere Zinsrechnung-Formel verwenden, welche die Monate berücksichtigt. Sie lautet:

\textbf{Z} = \frac{ \textbf{\textcolor{red}{K}} \ \cdot \ \textbf{\textcolor{blue}{p}}}{\textbf{100}} \cdot \frac{\textbf{\textcolor{orange}{m}}}{\textbf{12}}

Du musst dabei die normale Zinsrechnung-Formel mit einem Faktor multiplizieren. Mit ihm stellst du das Verhältnis von den Monaten \textbf{\textcolor{orange}{m}} zu einem Jahr mit 12 Monaten dar. 

Beispiel

Jetzt stell dir mal vor, du legst 10.000 € für ein halbes Jahr an und bekommst dabei 2,5 Prozent Zinsen. Was ist dann dein Monatszins?

Aus der Angabe entnimmst du \textbf{\textcolor{red}{K = 10000\ \text{Euro}}}}, \textbf{\textcolor{blue}{p = 2{,}5}} und \textbf{\textcolor{orange}{m = 6}} („halbes Jahr“ = 6 Monate). Setze das in die Formel ein.

Z = \frac{ \textcolor{red}{10000 \ \text{Euro}} \ \cdot \ \textcolor{blue}{2{,}5}}{100} \cdot \frac{\textcolor{orange}{6}}{12}

Z = 125\ \text{Euro}

Über das halbe Jahr bekommst du also 125 € Zinsen.

Zinsen berechnen Tage 

Du kannst deine Zinsen auch in Abhängigkeit von Tagen berechnen. Das brauchst du, wenn du wissen willst, wie viel Geld du über einen genauen Anlegezeitraum bekommst. Dazu baust du durch Multiplizieren wieder einen Zeitfaktor in die Zinsrechnung-Formel ein. Dabei ist wichtig: Banken rechnen mit 360 Tagen in einem Jahr. Die Zinsrechnung-Formel für Tage lautet dann:

\textbf{Z} = \frac{ \textbf{\textcolor{red}{K}} \ \cdot \ \textbf{\textcolor{blue}{p}}}{\textbf{100}} \cdot \frac{\textbf{\textcolor{violet}{t}}}{\textbf{360}}

Die Variable \textbf{\textcolor{violet}{t}} gibt dir die Anzahl der Tage an. Wie wendest du die Formel jetzt konkret an?

Beispiel:

Nimm mal an, du willst dein Erspartes für 50 Tage an der Bank anlegen. Die Bank bietet dir für deine 500 € einen Zinssatz von 3,25 Prozent. Wie viel Zinsgeld bekommst du nach den 50 Tagen? 

Setze \textbf{\textcolor{red}{K = 500\ \text{Euro}}}, \textbf{\textcolor{blue}{p = 3{,}25}}, \textbf{\textcolor{violet}{t = 50}} in die Formel:

Z = \frac{ \textcolor{red}{500 \ \text{Euro}} \ \cdot \ \textcolor{blue}{3{,}25}}{100} \cdot \frac{\textcolor{violet}{50}}{360}

Z = 2{,}26\ \text{Euro}

Wenn du dein Geld für 50 Tage anlegst, bekommst du also 2,26 € Zinsen.

Zinsformel umstellen

Du solltest auch wissen, wie du Zinssatz, Startkapital und Verzinsungszeitraum aus den Formeln für das Zinsrechnen herleiten kannst. Dazu musst du die Formeln umstellen . %Verweis

Jahreszinsen:

Zinssatz-Formel: \textcolor{blue}{p} = \frac{\textbf{Z} \ \cdot \ 100}{\textcolor{red}{K}}

Startkapital: \textcolor{red}{K} = \frac{ \textbf{Z} \ \cdot \ 100}{\textcolor{blue}{p}}

Monatszinsen:

Zinssatz-Formel: \textcolor{blue}{p} = \frac{\textbf{Z} \ \cdot \ 100 \ \cdot \ 12}{\textcolor{red}{K} \ \cdot \ \textcolor{orange}{m} }

Startkapital : \textcolor{red}{K} = \frac{ \textbf{Z} \ \cdot \ 100 \ \cdot \ 12}{\textcolor{blue}{p} \ \cdot \ \textcolor{orange}{m}}

Zeitraum: \textcolor{orange}{m} = \frac{\textbf{Z} \ \cdot \ 100 \ \cdot \ 12}{\textcolor{red}{K} \ \cdot \ \textcolor{blue}{p}}

Tageszinsen:

Zinssatz-Formel: \textcolor{blue}{p} = \frac{\textbf{Z} \ \cdot \ 100 \ \cdot \ 360}{\textcolor{red}{K} \ \cdot \ \textcolor{violet}{t} }

Startkapital: \textcolor{red}{K} = \frac{ \textbf{Z} \ \cdot \ 100 \ \cdot \ 360}{\textcolor{blue}{p} \ \cdot \ \textcolor{violet}{t}}

Zeitraum: \textcolor{violet}{t} = \frac{\textbf{Z} \ \cdot \ 100 \ \cdot \ 360}{\textcolor{red}{K} \ \cdot \ \textcolor{blue}{p}}

Zinseszinsformel

Zinseszins bedeutet, dass das Geld, welches du als Zinsen erhältst, im nächsten Jahr wieder verzinst wird. Dein Kapital nach {\text{n}} Jahren kannst du mit dieser Formel ausrechnen:

K_{\text{n}} = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^\text{n}

%Wenn du genau wissen möchtest, wie schnell sich dein Geld mit Zinseszinsen vermehren kann, schau dir unbedingt unser Video dazu an!

Zinsrechnung Aufgaben

Jetzt hast du also verstanden, was bei der Zinsrechnung zu tun ist. Aber du weißt ja: Übung macht den Meister! Schau dir deshalb unbedingt auch noch unser Video mit Zinsrechnung Aufgaben an. Dann beherrscht du die Zinsrechnung wirklich!  %Verweis, Thumbnail

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