Mathematische Grundlagen

In diesem Beitrag zeigen wir dir verschiedene Zinsrechnung-Aufgaben mit Lösungen, damit du genau weißt, wie du dabei vorgehen musst. %Wir rechnen  Aufgaben auch in unserem Video durch. Schau es dir an! 

Inhaltsübersicht

Wie berechnet man Zinsen? 

Mit der Zinsformel berechnest du zum Beispiel, wie viele Zinsen du bekommst, wenn du dein Geld für ein Jahr bei einer Bank anlegst. 

Z = \frac{K\ \cdot \ p}{100}

Falls du nicht mehr genau weißt, was die Buchstaben bedeuten und wie du die Zinsformel umstellst, schau dir einfach unser Video zum Thema Zinsrechnung an! 

Alles klar? Dann lass uns ein paar Zinsrechnung-Aufgaben lösen, mit denen du die Zinsrechnung üben kannst!

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Zinsrechnung Aufgabe 1 – Zinsen berechnen 

Du willst dein Erspartes von 2.500 € anlegen und bekommst ein Angebot von der Bank, die dir 10 Prozent Zinsen bietet. Wie hoch sind die Zinsen, wenn du dein Geld für

  1. zwei Jahre,
  2. 9 Monate oder
  3. genau 237 Tage (bis zu deinem nächsten Geburtstag) 

 anlegst?

a) Jahreszins: Z = \frac{K\ \cdot \ p}{100}

Bei 2 Jahren Zinszeitraum berechnest du zuerst den einfachen Jahreszins mit K = 2500 \ \text{Euro} und p=10

1 Jahr: Z =  \frac{2500 \ \text{Euro}\ \cdot \ 10}{100} = 250 \ \text{Euro}

Jetzt nimmst du den Zins für ein Jahr mal zwei, weil du das Geld für 2 Jahre anlegst.

2 Jahre: Z =2 \cdot  \frac{2500 \ \text{Euro}\ \cdot \ 10}{100} = \textbf{\textcolor{olive}{500 Euro}}

Als Lösung bekommst du heraus, dass du über die zwei Jahre 500 € Zinsen bekommst.

b) Monatszins: Z = \frac{K\ \cdot \ p}{100} \cdot \frac{m}{12}}

Du setzt wieder die angegeben Werte und m = 9 ein.

9 Monate: Z = \frac{K\ \cdot \ p}{100} \cdot \frac{m}{12}} = \frac{2500 \ \text{Euro}\ \cdot \ 10}{100} \cdot \frac{9}{12}} = \textbf{\textcolor{olive}{187{,}5  Euro}}

Bei 9 Monaten, in denen du das Geld anlegst, erhältst du also einen Zinsbetrag von 187,50 €.

c) Tageszins: Z = \frac{K\ \cdot \ p }{100} \cdot  \frac{t}{360}

Für die genaue Berechnung abhängig von den Tagen setzt du t = 237 in die Tageszins-Formel ein.

237 Tage: Z = \frac{K\ \cdot \ p }{100} \cdot  \frac{t}{360} = \frac{2500 \ \text{Euro}\ \cdot \ 10 }{100} \cdot  \frac{237}{360} = \textbf{\textcolor{olive}{164{,}58 Euro}}

Wenn du das Geld bis zu deinem Geburtstag anlegst, bekommst du 164,58 € Zinsen. Damit löst du die Zinsrechnung-Aufgabe – super!

Zinsrechnung Aufgabe 2 – Endkapital berechnen

Stell dir vor, du fängst an, dein Geld anzulegen, damit du deinen nächsten Urlaub damit bezahlen kannst. Du willst an einem ganz bestimmten Tag wegfliegen – der ist in einem Jahr, 3 Monaten und 9 Tagen. Du legst also 1.000 € an und bekommst von der Bank dafür einen Zins von vier Prozent. Wie viel Geld (Endkapital) hast du dann nach diesem Zeitraum?

Verzinsungszeitraum: Banken rechnen standardmäßig mit 360 Tagen im Jahr und 30 Tagen im Monat, also entspricht 1 Jahr, 3 Monate, 9 Tage dem Wert t = \textcolor{red}{1 \cdot 360} + \textcolor{blue}{3 \cdot 30} + \textcolor{teal}{9} = 459

Du setzt also die Anzahl der Tage t = 459, das Kapital K = 1000\  \text{Euro} und den Zinssatz p = 4 in die Tageszins-Formel ein.

Tageszins: Z = \frac{K\ \cdot \ p }{100} \cdot  \frac{t}{360} = \frac{1000 \ \text{Euro} \ \cdot \ 4 }{100} \cdot  \frac{459}{360} = 51

Du erhältst also 51 € als Zinsen – jetzt musst du nur noch das Endkapital berechnen, indem du dein angelegtes Geld und die Zinsen zusammenzählst.

Endkapital: K_{\text{neu}} = K +Z = 1000 \ \text{Euro} + 51 \ \text{Euro} = \textbf{\textcolor{olive}{1051 Euro}}

Am Ende erhältst du als Lösung, dass du  1.051 € hast, um deinen Urlaub zu bezahlen. 

Zinsrechnung Aufgabe 3 – Zinssatz berechnen

Stell dir jetzt vor, du willst dein Erspartes bei einer Bank anlegen. Du hast 11.000 € und möchtest, dass du nach einem Anlegezeitraum von einem Jahr 12.000 € hast. Welchen Zinssatz muss dir die Bank bieten?

Zinsen: Als erstes findest du heraus, wie viel Zinsen pro Jahr du bekommen musst. Das geht ganz einfach: du ziehst dein Starkapital von deinem Endkapital ab.

Z = K_{\text{neu}} - K = 12000 \ \text{Euro} - 11000 \ \text{Euro} = 1000 \ \text{Euro}

Die Bank muss dir also nach einem Jahr 1.000 € als Zinsbetrag gutgeschrieben haben. Darüber kannst du den Zinssatz berechnen, indem du die Zinsformel nach p umstellst.

Zinsformel Umstellen

\begin{alignat*}{2} &\  &&\textcolor{red}{Z} = \frac{\textcolor{blue}{K}\ \cdot \ \textcolor{teal}{p}}{100} \\ & \quad &&\textcolor{red}{Z} \cdot 100 = \textcolor{blue}{K}\cdot \textcolor{teal}{p} \\ & \quad  &&\textcolor{teal}{p} = \frac{ \textcolor{red}{Z} \ \cdot \ 100}{\textcolor{blue}{K}} \\  \end{align*}

Wenn dir das zu schnell ging, schau dir am besten gleich unser Video zum Thema Formel umstellen an – dort erklären wir dir die einzelnen Schritte ausführlich.

Dann setzt du Z = 1000 \ \text{Euro} und K = 11000 \ \text{Euro} ein.

Zinssatz: p = \frac{ Z \ \cdot \ 100}{K} = \frac{1000 \ \text{Euro} \ \cdot \ 100}{11000 \ \text{Euro}} \approx \textbf{\textcolor{olive}{9{,}1}}

Die Bank müsste dir also einen Zinssatz von ungefähr 9,1% anbieten, damit du dein gewünschtes Endkapital erreichst. 

Zinsrechnung Aufgabe 4 – Zinsdauer berechnen

Du willst dir ein Auto kaufen und nimmst dafür einen Kredit von 8.500 € auf, für den die Bank von dir 5,5% Zinsen erhält. Am Ende hast du 600 € an Zinsen für den Kredit gezahlt. Wie viele Monate lang musstest du den Kredit abzahlen?

Monatszins: Z = \frac{K\ \cdot \ p}{100} \cdot \frac{m}{12}}

Bei einem Kredit bekommst du Geld von der Bank geliehen und musst dafür Zinsen zahlen – er ist also das Gegenteil von dem Fall, bei dem du dein Geld bei der Bank anlegst. An den Formeln ändert das nichts!

Du suchst die Kreditlaufzeit m, also kannst du die Monatszins-Formel danach umstellen. 

Monatszins-Formel umstellen: Z = \frac{K\ \cdot \ p}{100} \cdot \frac{m}{12}\ \longrightarrow \ m= \frac{Z \ \cdot \ 100 \ \cdot \ 12}{K \ \cdot \ p} 

In die umgestellte Formel kannst du jetzt Z = 600 \ \text{Euro}, K = 8500 \ \text{Euro} und p = 5{,5} einsetzen.

Kreditlaufzeit: m = \frac{Z \ \cdot \ 100 \ \cdot \ 12}{K \ \cdot \ p} = \frac{600 \ \text{Euro} \ \cdot \ 100 \ \cdot \ 12}{8500 \ \text{Euro}\ \cdot \ 5{,5}} \approx \textbf{\textcolor{olive}{15,4}}

Du hast also ungefähr 16 Monate gebraucht, bis du den Kredit komplett abbezahlt hast.

Zinsrechnung Aufgabe 5 – Startkapital berechnen

Du bekommst ein Sparbuch vererbt, das vor 20 Jahren zu einem jährlichen Zins von 7 Prozent angelegt worden ist. Heute sind auf dem Sparbuch 60.000 €. Jetzt fragst du dich: Wie viel Geld war denn ursprünglich auf dem Sparbuch (Startkapital)?

Endkapital: K_{\text{neu}} = K + Z = 60000 \ \text{Euro}

Du suchst also das Startkapital K. Das Kapital nach der Verzinsung K_{\text{neu}} = 60000 \ \text{Euro} kennst du. Also musst du jetzt noch die Zinsen über 20 Jahre berechnen. Dazu setzt p = 7 ein und nimmst du den Jahreszins mal 20.

Jahreszins (20 Jahre): Z = 20 \cdot  \frac{K\ \cdot \ 7}{100} = 1{,}4K 

Damit weißt du, dass Z = 1{,}4K ist; das setzt du in die Formel für das Endkapital ein und löst nach dem Startkapital auf.

Startkapital: 60000 \ \text{Euro} = K + 1{,}4K =2{,}4K \longrightarrow K = \frac{60000 \ \text{Euro}}{2{,}4} = \textbf{\textcolor{olive}{25000 Euro}}

So berechnest du also, dass damals 25.000 € angelegt worden sind. 

Zinsrechnung Aufgabe 6 – Zinsen mit Dreisatz

Du kannst auch den Dreisatz verwenden, wenn Zinsen in einer Übung vorkommen. Stell dir vor, du hast dein Konto mit 4.580 € überzogen, wofür deine Bank einen Jahreszins von 15 Prozent verlangt. Du schaffst es aber, das überzogene Geld schon nach einem Monat und 12 Tagen zurückzuzahlen. Welchen Zinsbetrag hast du bis dahin bezahlt? 

Jahreszinsen über Dreisatz: 

    \begin{align*} 100 \% \ &\widehat{=} \ 4580 \ \text{Euro} \\ 1 \% \ &\widehat{=} \ \frac{ 4580 \ \text{Euro}}{100} = 45{,}80\ \text{Euro} \\ 15 \% \ &\widehat{=} \ 45{,}80\ \text{Euro} \cdot 15 = 687\ \text{Euro} \\ \end{align*}

So weißt du schon mal, dass du für ein ganzes Jahr 687 € an Zinsen zahlen müsstest. Damit kannst du dann auch die Zinsen für einen Monat und 12 Tage berechnen. 

Zinszeitraum: 1\ \text{Monat} + 12\ \text{Tage} = 30 \ \text{Tage} + 12 \ \text{Tage} = 42 \ \text{Tage}

Du zahlst dein Geld also nach 42 Tagen zurück.

Zinsen über Dreisatz:

    \begin{align*} 360\ \text{Tage} \ &\widehat{=} \ 687 \ \text{Euro} \\ 1 \ \text{Tag} \ &\widehat{=} \ \frac{ 687 \ \text{Euro}}{360} \approx 1{,}91\ \text{Euro} \\ 42\ \text{Tage} \ &\widehat{=} \ 1{,}91\ \text{Euro} \cdot 42 = \textbf{\textcolor{olive}{80{,}22\ \text{Euro}}} \\ \end{align*}

Als Lösung für diese Zinsrechnung Aufgabe hast du über den Dreisatz ermittelt, dass sich dein Zinsbetrag für das überzogene Konto auf 80,22 € beläuft.

Zinseszinsen berechnen

Durch die Zinsrechnung Aufgaben weißt du jetzt also ganz genau, wie du normale Zinsen berechnen kannst. Es gibt aber noch eine kompliziertere Art von Zinsen: die Zinseszinsen. Schau dir noch unser Video zum Thema Zinseszinsen an, damit du das auch ohne Probleme berechnen kannst. Bis gleich! %Verweis, Thumbnail

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