Angewandte Mathematik
Zinsrechnung
 – Video

Eine besondere Form der Zinsrechnung sind die Zinseszinsen. Wie du sie berechnen kannst, erklären wir dir in diesem Beitrag. Dazu haben wir auch noch ein Video für dich!

Zinseszins berechnen

Was sind Zinseszinsen? Wie du wahrscheinlich schon vermutest, hängen Zinseszinsen eng mit der Zinsrechnung zusammen. Bei der normalen Zinsrechnung berechnest du anfallende Zinsen nach einem Jahr, ein paar Monaten oder wenigen Tagen. Wenn du dein Geld aber länger als ein Jahr bei der Bank anlegst, bekommst du von der Bank nicht nur Zinsen auf dein ursprünglich angelegtes Geld (Experten sagen auch Startkapital), sondern auch auf die Zinsen, die du schon erhalten hast – das nennst du dann Zinseszinseffekt.

Zinseszins-Formel

Die Zinseszins-Formel, mit der du deine Zinseszinsen berechnen kannst, lautet:

    \[ \textcolor{red}{K_n}} = \textcolor{blue}{K_0} \cdot \left( 1 + \frac{\textcolor{teal}{p}}{100}\right)^\textcolor{olive}{n} \]

  • Startkapital \textcolor{blue}{K_0}
  • Zinssatz \textcolor{teal}{p} 
  • Verzinsungszeitraum \textcolor{olive}{n} (in Jahren)
  • Endkapital \textcolor{red}{K_n}}

Schauen wir uns am besten mal ein Beispiel dazu an, wie sich Zinseszinsen auf das Investieren auswirken.

Zinseszinsrechnung

Stell dir vor, du hast 2.500 € angespart und willst sie bei einer Bank anlegen. Dort bieten sie dir einen Zinssatz von fünf Prozent pro Jahr und sagen, dass deine Zinsen auch noch verzinst werden. Die Bank macht dir also ein Angebot mit Zinseszinsen. Das Geld legst du für 10 Jahre an – wie viel Geld bekommst du dann am Ende der 10 Jahre ausgezahlt? 

Du suchst das Endkapital \textcolor{red}{K_{10}}}, also schreibst du dir erstmal die Zinseszins-Formel auf.

    \[ \textcolor{red}{K_n}} = \textcolor{blue}{K_0} \cdot \left( 1 + \frac{\textcolor{teal}{p}}{100}\right)^\textcolor{olive}{n} \]

In der Angabe siehst du, dass du mit 2.500 € anfängst, also ist dein Anfangskapital \textcolor{blue}{K_0 = 2500\ \text{Euro}}. Das wird mit einem Zinssatz von \textcolor{teal}{p = 5 } Prozent auf einen Zeitraum \textcolor{olive}{n = 10 } Jahre verzinst. Die Werte setzt du dann in die Zinseszins-Formel ein. 

    \[ \textcolor{red}{K_{10}}} = \textcolor{blue}{2500\ \text{Euro}} \cdot \left( 1 + \frac{\textcolor{teal}{5}}{100}\right)^\textcolor{olive}{10} \]

Das gibst du in deinen Taschenrechner ein und ermittelst so dein Endkapital.

\textcolor{red}{K_{10}}} \approx \textcolor{red}{4072 \ \text{Euro} }

Dein Geld hat sich durch die Zinseszinsen nach den 10 Jahren also von 2.500 € auf 4.072 € erhöht. Toll!

Startkapital berechnen

Stell dir jetzt vor, du erbst ein Sparbuch, auf dem jetzt 55.000 € liegen. Die Bank weiß leider nicht mehr genau, wie viel Geld ursprünglich auf dem Sparbuch war. Sie kann dir aber sagen, dass es 30 Jahre lang zu einem Zinssatz von zehn Prozent verzinst worden ist – mit Zinseszinsen. Wie viel Geld war dann ursprünglich auf dem Sparbuch? 

Aus der Zinseszins-Formel kannst du das Startkapital ermitteln, indem du sie nach \textcolor{blue}{K_0} umstellst

Startkapital berechnen

    \[ \textcolor{blue}{K_0} = \frac{\textcolor{red}{K_n}}{\left( 1 + \frac{\textcolor{teal}{p}}{100}\right)^\textcolor{olive}{n}} \]

In die umgestellte Zinseszins-Formel setzt du das vererbte Endkapital \textcolor{red}{K_{30}} = 55000 \ \text{Euro}}, die vergangenen Jahre \textcolor{olive}{n = 30} und den damaligen Zinssatz \textcolor{teal}{p = 10} Prozent ein.

    \[ \textcolor{blue}{K_0} = \frac{\textcolor{red}{55000 \ \text{Euro}}}{\left( 1 + \frac{\textcolor{teal}{10}}{100}\right)^\textcolor{olive}{30}} \]

Die Lösung findest du wieder mit deinem Taschenrechner.

\textcolor{blue}{K_0} \approx \textcolor{blue}{3152 \ \text{Euro}}

Das Sparbuch wurde also damals mit nur circa 3.152 € angelegt — und heute hast du 55.000 €! 

Zinseszins Zinssatz berechnen

Nehmen wir als nächstes an, dass du 1.200 € angespart hast und möchtest, dass sich dein Geld in fünf Jahren verdoppelt. Das heißt, du wünscht dir nach der Verzinsung ein Guthaben von 2.400 €. Welchen Zinssatz müsste dir jetzt eine Bank anbieten, damit du dein gewünschtes Zinsgeld nach dem Investieren bekommst?

Den Zinssatz kannst du auch aus der Zinseszins-Formel ermitteln. Dazu musst du die Zinseszins-Formel nach \textcolor{teal}{p} auflösen.

Zinssatz berechnen

    \[ \textcolor{teal}{p} = \left(\sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\frac{\textcolor{red}{K_{n}}}{\textcolor{blue}{K_{0}}}} - 1\right) \cdot 100 \]

In die Zinssatz-Formel, die du aus der Zinseszinsformel hergeleitet hast, kannst du aus der Angabe \textcolor{blue}{K_0 = 1200 \ \text{Euro}}, \textcolor{red}{K_5 = 2400 \ \text{Euro}} und \textcolor{olive}{n = 5} Jahre einsetzen.

    \[ \textcolor{teal}{p} = (\sqrt[\textcolor{olive}{5}]{\frac{\textcolor{red}{2500 \ \text{Euro}}}{\textcolor{blue}{1200 \ \text{Euro}}}} - 1) \cdot 100 \]

Und wieder gibst du das Ganze in deinen Taschenrechner ein, um den Zinssatz zu bekommen.

\textcolor{teal}{p} \approx \textcolor{teal}{15{,}8}

Die Bank müsste dir also ungefähr einen Zinssatz von 15,8 % anbieten, damit du deine gewünschten Zinsen bekommst.

Zinseszinsdauer berechnen

Zuletzt macht dir die Bank ein Angebot, dass sie dein Erspartes von 3.000 € zu einem Zinssatz von zwei Prozent anlegt. Du willst am Ende 5.000 € auf deinem Sparkonto haben. Wie lang musst du das Geld dann anlegen?

Und wieder willst du die Zinseszins-Formel umstellen, um dir diesmal den Verzinsungszeitraum \textcolor{olive}{n} herzuleiten.

Zinszeitraum berechnen

    \[ \textcolor{olive}{n} &= \frac{\ln \left(\frac{\textcolor{red}{K_n}}{\textcolor{blue}{K_0}}\right)}{\ln \left( 1 + \frac{\textcolor{teal}{p}}{100}\right)} \]

In diese Formel setzt du wieder deine Werte ein. Deine Anlage von 3.000 € bildet das Startkapital \textcolor{blue}{K_0 = 3000 \ \text{Euro}}, das mit dem Zinssatz \textcolor{teal}{p = 2} auf das Endkapital \textcolor{red}{K_n = 5000 \ \text{Euro}} steigen soll. 

    \[ \textcolor{olive}{n} &= \frac{\ln \left(\frac{\textcolor{red}{5000 \ \text{Euro}}}{\textcolor{blue}{3000 \ \text{Euro}}}\right)}{\text{ln} \ \left( 1 + \frac{\textcolor{teal}{2}}{100}\right)} \]

Mit deinem Taschenrechner berechnest du den Verzinsungszeitraum.

\textcolor{olive}{n} \approx \textcolor{olive}{26}

Du müsstest deine 3.000 € also ungefähr 26 Jahre lang anlegen, bis du bei dem Zinssatz auf deine gewünschten 5.000 € kommst. Ganz schön lang, oder?

Zinsrechnung Aufgaben

Neben der Formel für den Zinseszins gibt es auch noch andere Arten der Zinsrechnung, die du beherrschen solltest. Schau dir deshalb unbedingt unser Video zu den Zinsrechnung Aufgaben an!

Zum Video: Zinsrechnung Aufgaben
Zum Video: Zinsrechnung Aufgaben

 

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