Angewandte Mathematik
Zinsrechnung
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Du willst Zinssätze berechnen und verlierst den Überblick? Dann bist du hier genau richtig! Wir zeigen dir, welche Formeln du brauchst und wie du sie benutzt.% Schau dir auch unser passendes Video dazu an! 

Zinssatz Formel einfach erklärt

Wenn du Geld auf dein Sparbuch bei der Bank legst, zahlt sie dir am Ende des Jahres Geld dafür.%Haha im Moment ja eher nicht so :D Das sind die Zinsen. Wenn du dir Geld von der Bank ausleihst und einen Kredit aufnimmst, musst du die Zinsen an die Bank zahlen. Wie viel Zinsen du bekommst, hängt davon ab, wie viel Geld du auf dem Konto hast und wie groß dein Zinssatz ist. Er wird in Prozenten aufgeschrieben. Wenn du den Zinssatz ohne Prozent schreibst, nennst du es die Zinszahl. Der Zinssatz p% = 20% ist also das gleiche wie die Zinszahl p = 20.

Jahreszinssatz berechnen

    \[ \textcolor{teal}{p} = \frac{\textcolor{red}{Z}\cdot 100}{\textcolor{blue}{K}\cdot \textcolor{olive}{n}} \]

  • p: Zinszahl (in Prozent)
  • Z: Geldbetrag, den du als Zinsen erhältst
  • K: Startkapital (also das Geld, das du auf dein Sparbuch eingezahlt hast) 
  • n: Anzahl der Jahre

Natürlich kannst du auch einen Monatszins, Tageszins oder Zinseszinssatz ausrechnen. Wie das geht, zeigen wir dir hier.

Jahreszinssatz berechnen

Stelle dir vor, du vereinbarst mit deiner Bank, dass du ein Sparbuch für 5 Jahre anlegst und nach den 5 Jahren deine Zinsen ausgezahlt bekommst. Wie kannst du dir den Zinssatz ausrechnen, den du bekommen hast? Hier suchst du den Jahreszinssatz und du findest ihn mit der Formel:

    \[ \textcolor{teal}{p} = \frac{\textcolor{red}{Z}\cdot 100}{\textcolor{blue}{K}\cdot \textcolor{olive}{n}} \]

p ist deine Zinszahl, Z ist der Zinsbetrag, der dir nach den 5 Jahren ausgezahlt wird und K sind ist dein Kapital, das du am Anfang auf dein Sparbuch eingezahlt hast%hast <span style="color: #008000;">DONE</span>. n ist die Laufzeit. Also die Anzahl an Jahren, die du auf deine Zinsen warten musst.

Schaue dir das am besten an einem Beispiel an: Die Laufzeit beträgt 5 Jahre. Du zahlst 5.000 € auf dein Sparbuch ein und bekommst am Ende der Laufzeit 100 € Zinsen. Wie groß ist der Jahreszinssatz? Du kannst den Zinssatz berechnen, indem du deine Angaben in die Formel einsetzt: Die Laufzeit sind \textcolor{olive}{n=5} Jahre. Dein Kapital sind \textcolor{blue}{K=\SI{5000}{\euro}} und dein Zinsbetrag ist \textcolor{red}{Z=\SI{100}{\euro}}.

    \[ \textcolor{teal}{p} = \frac{\textcolor{red}{Z}\cdot 100}{\textcolor{blue}{K}\cdot \textcolor{olive}{n}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{100}{\euro}}\cdot 100}{\textcolor{blue}{\SI{5000}{\euro}}\cdot \textcolor{olive}{5}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{100}{\euro}} }{\SI{50}{\euro}\cdot \textcolor{olive}{5}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{100}{\euro}} }{\SI{250}{\euro}} = \textcolor{teal}{0,4} \]

Du hast also einen Zinssatz von 0,4 % auf dein Kapital bekommen. Aber wie sieht es aus, wenn du dein Geld nur für ein paar Monate angelegt hast? Dann brauchst du den Monatszinssatz.

Monatszinssatz berechnen

Du kannst den Monatszinssatz berechnen, wie du den Jahreszinssatz ausgerechnet hast. Es gibt nur den kleinen Unterschied, dass du die Laufzeit in Monaten (m) einsetzen musst. Um die Anzahl der Monate m einsetzen zu können, schreibst du mal 12 in den Zähler.

    \[ \textcolor{teal}{p} = \frac{\textcolor{red}{Z}\cdot 100 \cdot 12}{\textcolor{blue}{K}\cdot \textcolor{olive}{m}} \]

Mit einem Beispiel lässt sich das immer einfacher verstehen: Angenommen, du legst wieder 5.000 € bei deiner Bank an. Diesmal aber nur für 6 Monate. Am Ende der 6 Monate bekommst du 75 € Zinsen. Berechne den Monatszinssatz! Dein Kapital sind wieder \textcolor{blue}{K=\SI{5000}{\euro}} und deine Laufzeit beträgt \textcolor{olive}{m = 6} Monate. Der Zinsbetrag ist \textcolor{red}{Z = \SI{75}{\euro}}.

    \[ \textcolor{teal}{p} = \frac{\textcolor{red}{Z}\cdot 100 \cdot 12}{\textcolor{blue}{K}\cdot \textcolor{olive}{m}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{75}{\euro}}\cdot 100 \cdot 12}{\textcolor{blue}{\SI{5000}{\euro}}\cdot \textcolor{olive}{6}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{75}{\euro}} \cdot 2}{\SI{50}{\euro}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{75}{\euro}}}{\SI{25}{\euro}} = \textcolor{teal}{3}  \]

Für die 6 Monate zahlt dir die Bank 3 % Zinsen. Das ist kein schlechtes Angebot!

Tageszinssatz berechnen

Die Laufzeit kannst du auch in Tagen angeben. Dann musst du die Tageszinsen berechnen. Wie beim Monatszins setzt du hier die Anzahl der Tage (t) ein und musst wieder mit einer Zahl multiplizieren, damit du das richtige Ergebnis bekommst. Weil Banken immer mit 360 Tagen in einem Jahr rechnen, multiplizierst du deine Zinsformel mit 360, um die Tageszinsen berechnen zu können.

    \[ \textcolor{teal}{p} = \frac{\textcolor{red}{Z}\cdot 100 \cdot 360}{\textcolor{blue}{K}\cdot \textcolor{olive}{t}} \]

Rechnen wir auch hier ein Beispiel durch: Wenn du bei der Bank einen Kredit aufnimmst, musst du Zinsen an die Bank zahlen. Für einen Kredit in Höhe von 2.500 € zahlst du bei einer Laufzeit von 300 Tagen 50 € Zinsen. Wie groß ist der Tageszinssatz? Dein Kapital ist wieder \textcolor{blue}{K=\SI{2500}{\euro}} und die Laufzeit beträgt \textcolor{olive}{n=300} Tage. Dein Zinsbetrag ist \textcolor{red}{Z=\SI{50}{\euro}}

    \[ \textcolor{teal}{p} = \frac{\textcolor{red}{Z}\cdot 100 \cdot 360}{\textcolor{blue}{K}\cdot \textcolor{olive}{t}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{50}{\euro}}\cdot 100 \cdot 360}{\textcolor{blue}{\SI{2500}{\euro}}\cdot \textcolor{olive}{300}} = \frac{\textcolor{red}{\SI{50}{\euro}} \cdot 6}{\SI{25}{\euro}\cdot 5} = \frac{\textcolor{red}{\SI{300}{\euro}}}{\SI{125}{\euro}} = \textcolor{teal}{2,4} \]

Du musst auf deinen Kredit 2,4 % Zinsen bezahlen.

Zinseszinssatz berechnen

Normalerweise zahlt die Bank die Zinsen nicht nur einmal auf dein Sparbuch, sondern jedes Jahr. Dein Kapital wird dann durch die Zinsen mit jedem Jahr größer.%Erklärung etwas sperrig; Vorschlag: Normalerweise zahlt die Bank die Zinsen jedes Jahr auf dein Sparbuch. Dadurch ist dein K im nächsten Jahr größer, was dir dann mehr Zinsen bringt/Auch darauf zahlt die Bank Zinsen. <span style="color: #808000;">DONE</span> Wenn dir deine Bank auch auf deine Zinsen Zinsen gibt, nennst du das den Zinseszins .

Die Formel sieht ein kleines bisschen anders aus. Du hast immer noch%immer noch DONE n, das%das <span style="color: #808000;">DONE</span> dir sagt, wie viele Jahre dein Geld auf der Bank liegt. K0 ist dein Kapital bevor du Zinsen bekommen hast und Kn ist das Geld auf deinem Konto mit den Zinsen, die du nach n Jahren hast. Wie vorher auch ist p deine Zinszahl.

    \[ \textcolor{teal}{p} = 100 \cdot \left(  \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{ \frac{\textcolor{red}{K_n} }{\textcolor{blue}{K_0} } } -1 \right) \]

Versuche dich gleich an einem Beispiel! Wie groß ist dein Zinssatz, wenn du nach 5 Jahren 4.000 € auf dem Konto hast? Eingezahlt hattest du aber nur 1.000 €.  Was musst du in deine Formel einsetzen? Dein Anfangskapital ist \textcolor{blue}{K_0 = \SI{1000}{\euro}} und deine Laufzeit sind \textcolor{olive}{n=5} Jahre. Dein Endkapital sind \textcolor{red}{K_n = \SI{4000}{\euro}}.

    \[ \textcolor{teal}{p} = 100 \cdot \left(  \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{ \frac{\textcolor{red}{K_n} }{\textcolor{blue}{K_0} } } -1 \right) = 100 \cdot \left(  \sqrt[\textcolor{olive}{5}]{ \frac{\textcolor{red}{\SI{4000}{\euro}} }{\textcolor{blue}{ \SI{1000}{\euro}} } } -1 \right) = 100 \cdot \left(  \sqrt[\textcolor{olive}{5}]{ 4 } -1 \right) = 100 \cdot \left( 1,319508 -1 \right) \approx 31,95 \]

Du bekommst also einen Zinsatz von 31,95 %. Gar nicht übel, oder?

Zinsrechnung Aufgaben

Jetzt kennst du alle wichtigen Formeln und kannst jede Aufgabe lösen. Aber Übung macht bekanntlich den Meister. Schaue dir deshalb gleich unsere Übungsserie zur Zinsrechnung an. Bis gleich!

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