Mathematische Grundlagen

Wenn du noch ein bisschen Übung in der Prozentrechnung brauchst, haben wir für dich ein paar Aufgaben vorbereitet. %Schaue dir auch unser Video dazu an, um dein Wissen aufzufrischen!

Inhaltsübersicht

Prozentrechnung

Bevor du dich an die Prozentrechnung Aufgaben machst, solltest du dir noch mal alle wichtigen Formeln ins Gedächtnis rufen. Beim Prozentrechnen wird immer nach dem Grundwert%Link "Grundwert berechnen" G, dem Prozentwert%Link: "Prozentwert berechnen" W und dem Prozentsatz%Link: "Prozentsatz berechnen" p% gefragt. Du kannst alle Aufgaben mit den drei Prozentformeln lösen:

    \[ \textcolor{magenta}{p\,\%} = \frac{\textcolor{blue}{W}}{\textcolor{orange}{G}} \qquad \textcolor{blue}{W} = \textcolor{magenta}{p\,\%} \cdot \textcolor{orange}{G} \qquad \textcolor{orange}{G} = \frac{\textcolor{blue}{W}}{\textcolor{magenta}{p\,\%}} \]

Falls du das im Detail nachschauen magst, musst du dir unbedingt unser Video zur Prozentrechnung ansehen.

Einfache Aufgaben

Fange am Besten mit ein paar Kopfrechenaufgaben an, um mit der Prozentrechnung warm zu werden.

Aufgabe 1a

Wie viel ist 10% von 70?

    \[10\,\% \cdot 70 = ?\]

Wandle um: 10\,\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} und multipliziere 70 mit dem Bruch.

    \[\frac{1}{10} \cdot 70 = ?\]

70 geteilt durch 10 ergibt 7.

    \[\frac{70}{10} = 7\]

 

Aufgabe 1b

Wie viel ist 75% von 4?

    \[ 75\,\% \cdot 4 = ? \]

Wandle um: 75\,\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}. Multipliziere 4 mit dem Bruch.

    \[ \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 \]

 

Aufgabe 1c

Wie viel ist 25% von 400?

    \[ 25\,\% \cdot 400 = ? \]

Wandle um: 25\,\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}. Multipliziere danach 100 mit dem Bruch.

    \[ \frac{1}{4} \cdot 100 = 25 \]

 

Aufgabe 2

Welche der vier Rechnungen haben das gleiche Ergebnis?

  1. 40% von 200€
  2. 40% von 400€
  3. 20% von 400€
  4. 20% von 200€

Lösung:

  1. 40\,\% \cdot \SI{200}{\euro}= \frac{4\cdot\SI{200}{\euro}}{10} =  \textcolor{blue}{\SI{80}{\euro}}
  2. 40\,\% \cdot \SI{400}{\euro} = \frac{4\cdot\SI{400}{\euro}}{10} = \SI{160}{\euro}
  3. 20\,\% \cdot \SI{400}{\euro} = \frac{2\cdot\SI{400}{\euro}}{10} = \textcolor{blue}{\SI{80}{\euro}}
  4. 20\,\%\cdot\SI{200}{\euro} = \frac{2\cdot\SI{200}{\euro}}{10} = \SI{40}{\euro}%

Antwort: 1. und 3. liefern das gleiche Ergebnis.

 

Aufgabe 3a 

Wie groß ist der Grundwert%Link "Grundwert berechnen", wenn 40% 100€ entsprechen?

Lösung:

  • Was ist gegeben? Du weißt den Prozentsatz p\,\%=\SI{40}{\percent} und den Prozentwert W=\SI{100}{\euro}.
  • Was ist gesucht? Gesucht ist der Grundwert G=\frac{W}{p\,\%}.
  • Setze den Prozentsatz und Prozentwert in die richtige Formel ein.
  • Rechenweg:

    \[ G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{\SI{100}{\euro}}{\SI{40}{\percent}} \]

  • Wandle die Prozentzahl um: \SI{40}{\percent} = \frac{40}{100} = \frac{4}{10}.
  •     \[  G = \frac{\SI{100}{\euro}}{\frac{4}{10}} = \frac{\SI{100}{\euro} \cdot 10}{4} = \SI{250}{\euro} \]

Alternativer Rechenweg mit dem Dreisatz%Link "Dreisatz Prozent":

  • Schreibe auf, was du weißt: \SI{40}{\percent} \hat{=} \SI{100}{\euro}
  • Dividiere beide Seiten durch 40: \SI{1}{\percent} \hat{=} \frac{\SI{25}{\euro}}{10}
  • Multipliziere beide Seiten mit 100: \SI{100}{\percent} \hat{=} \SI{250}{\euro}

Antwort: 100% entsprechen 250€. Der Grundwert muss also 250€ betragen.

 

Aufgabe 3b

Wie groß ist der Grundwert, wenn 30% 600g entspricht?

Lösung:

  • Was ist gegeben? Du weißt den Prozentsatz p\,\% = \SI{30}{\percent} und den Prozentwert W = \SI{600}{\gram}.
  • Was ist gesucht? Der Grundwert G=\frac{W}{p\,\%} ist gesucht.
  • Setze den Prozentsatz und Prozentwert in die richtige Formel ein.
  • Rechenweg:

    \[ G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{\SI{600}{\gram}}{\SI{30}{\percent}} \]

  • Wandle die Prozentzahl um: \SI{30}{\percent} = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}.

    \[ G = \frac{\SI{600}{\gram}}{\frac{3}{10}} = \frac{\SI{600}{\gram}\cdot 10}{3} = \SI{2000}{\gram} = \SI{2}{\kilo\gram} \]

 

Aufgabe 3c

Wie groß ist der Grundwert, wenn 120% 600€ entsprechen?

Lösung:

  • Was ist gegeben? Du weißt den Prozentsatz p\,\% = \SI{120}{\percent} und den Prozentwert W = \SI{600}{\euro}.
  • Was ist gesucht? Der Grundwert G=\frac{W}{p\,\%} ist gesucht.
  • Setze den Prozentsatz und den Prozentwert in die Formel ein. Lass dich nicht durch den hohen Prozentsatz irritieren. Die Rechnungen mit Prozentsätzen größer als 100% funktionieren wie alle anderen Aufgaben.
  • Rechenweg:

    \[ G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{\SI{600}{\euro}}{\SI{120}{\percent}} \]

  • Wandle die Prozentzahl um: \SI{120}{\percent} = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}.

    \[ G = \frac{ \SI{600}{\euro} }{ \frac{6}{5} } = \frac{ \SI{600}{\euro}\cdot 5 }{6} = \SI{500}{\euro} \]

 

Aufgabe 4a

Wieviel sind 15% von 40?

Lösung:

  • Was ist gegeben? Du weißt den Prozentsatz p\,\% = \SI{15}{\percent} und den Grundwert G=40.
  • Was ist gesucht? Gesucht ist der Prozentwert%Link: "Prozentwert berechnen" W=G\cdot p\,\%.
  • Setze deine Angabe in die Prozentformel ein.
  • Rechenweg:

    \[ W = G\cdot p\,\% = 40 \cdot \SI{15}{\percent} \]

  • Wandle um: \SI{15}{\percent} = \frac{15}{100}.

    \[ W = 40 \cdot \SI{15}{\percent} = 40 \cdot \frac{15}{100} = \frac{4\cdot 15}{10} = 6 \]

 

Aufgabe 4b

Wie viel sind 20% von 50€?

Lösung:

  • Was ist gegeben? Du weißt den Prozentsatz p\,\% = \SI{20}{\percent} und den Grundwert G = \SI{50}{\euro}.
  • Was ist gesucht? Gesucht ist der Prozentwert W=G\cdot p\,\%.
  • Setze die Angaben in die Prozentformel ein.
  • Rechenweg:

    \[ W = G\cdot p\,\% = \SI{50}{\euro}\cdot\SI{20}{\percent} \]

  • Wandle um: \SI{20}{\percent} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}.

    \[ W=\SI{50}{\euro}\cdot\SI{20}{\percent} = \SI{50}{\euro}\cdot\frac{1}{5} = \SI{10}{\euro} \]

 

Aufgabe 5a

Wieviel Prozent sind 45 von 150?

Lösungsweg:

  • Was ist gegeben? Du weißt den Prozentwert W=45 und den Grundwert G=150.
  • Was ist gesucht? Gesucht wird der Prozentsatz%Link "Prozentsatz berechnen" p\,\% = \frac{W}{G}.
  • Setze die Angaben in die Prozentsatzformel ein: p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{45}{150} = \frac{3}{10}
  • Wandle um: 

    \[ \frac{1}{4} = \frac{3\cdot 10}{10\cdot 10} = \frac{30}{100} = \SI{30}{\percent} \]

 

Aufgabe 5b

Wie viel Prozent sind 42g von 200g?

Lösungsweg:

  • Was ist gegeben? Gegeben ist der Prozentwert W = \SI{42}{\gram} und der Grundwert G = \SI{200}{\gram}.
  • Was ist gesucht? Gesucht wird der Prozentsatz p\,\% = \frac{W}{G}.
  • Setze deine Angaben in die Prozentsatzformel ein: p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{\SI{42}{\gram}}{\SI{200}{g}}
  • Kürze den Bruch mit 2:

    \[ p\,\% = \frac{\SI{42}{\gram}}{\SI{200}{g}} = \frac{\SI{2}{\gram}\cdot 21}{\SI{2}{\gram}\cdot 100} = \frac{21}{100} = \SI{21}{\percent} \]

 

Aufgabe 6

Stell dir vor, in deiner Klasse sind 25 Schüler und 20% sind im Musikverein. Welche Rechnung ist richtig?

\begin{array}{l l l l} \text{1.} & 0,2 \cdot 25 &=& 5 \\ \text{2.} & 20\,\% \cdot 25 &=& 6 \\ \text{3.} & \frac{1}{2} \cdot 25 &=& 5 \\ \end{array}

Antwort: 0,2 \cdot 25 = 5 ist die richtige Rechnung.

Lösung:

  • 20% ist genau ein Fünftel. Ein Fünftel kannst Du auch als Bruch (\frac{1}{5}) oder Dezimalzahl (0,2) schreiben.
  • Um den Anteil von etwas Ganzem (25) auszurechnen, multiplizierst du die 20% und 25.
  • Somit ist 0,2 \cdot 25 = 5 die einzige richtige Rechnung.
  • Wenn du die falschen Antworten korrigierst, bekommst du diese Rechenwege:

    \[ \begin{array}{l l l l} \text{1.} & 0,2 \cdot 25 &=& 5 \\ \text{2.} & \SI{20}{\percent} \cdot 25 &=& 5 \\ \text{3.} & \frac{1}{5} \cdot 25 &=& 5 \\ \end{array} \]

Textaufgaben

Häufig musst du auch bei Textaufgaben prozentrechnen%Link "Prozentrechnung".

Aufgabe 7a

Robert hat viele Urlaubsfotos geschossen. Jedes Foto braucht 2MB auf seiner Speicherkarte. Er kann insgesamt 1GB auf ihr speichern. Wie viel Prozent seines Speichers ist belegt, wenn er 100 Fotos geschossen hat? (Tipp: \SI{1}{GB} = \SI{1000}{MB})

Lösung:

  • Wenn 1 Foto 2MB Platz braucht, dann sind 100 Fotos 200MB groß.
  • Was ist also gegeben? Du weißt den Grundwert G=\SI{1000}{MB} und den Prozentwert W = \SI{200}{MB}.
  • Was ist gesucht? Der Prozentsatz%Link: "Prozentsatz berechnen" p\,\% = \frac{W}{G} ist gesucht.
  • Setze beides in die Prozentsatzformel ein:

    \[ p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{\SI{200}{MB}}{\SI{1000}{MB}} = \frac{20}{100} = \SI{20}{\percent} \]

Antwort: Die 100 Urlaubfotos belegen 20% der Speicherkarte.

 

Aufgabe 7b

Auf Roberts Speicherkarte (1GB) sind noch 80% frei für Urlaubsfotos. Wie viele Fotos kann er noch schießen, wenn jedes Foto 4MB braucht? (Tipp: \SI{1}{GB} = \SI{1000}{MB})

Lösung:

  • Was ist gegeben? Der Grundwert G = \SI{1000}{MB} und der Prozentsatz p\,\% = \SI{80}{\percent} sind gegeben.
  • Was ist gesucht? Der Prozentwert%Link "Prozentwert berechnen" W = G \cdot p\,\% ist gesucht.
  • Setze beides in die Prozentwertformel ein:

    \[ W = G \cdot p\,\% = \SI{1000}{MB} \cdot \SI{80}{\percent} \]

  • Wandle die Prozentzahl um: \SI{80}{\percent} = \frac{80}{100} = \frac{8}{10}.

    \[ W = \SI{1000}{MB} \cdot \frac{8}{10} = \frac{ \SI{1000}{MB} \cdot 8}{10} = \SI{800}{MB} \]

  • Du weißt jetzt, dass 800MB Speicher noch frei ist. Wie viele Urlaubsfotos passen also in 800MB? Du weißt, dass ein Foto 4MB groß ist. Teile also 800MB durch die 4MB!

    \[ \frac{\SI{800}{MB}}{\SI{4}{MB}} = 200 \]

Antwort: Robert kann noch 200 weitere Fotos schießen.

 

Aufgabe 8

Stell dir vor du besuchst deine Familie und fährst von Regensburg nach Köln. Ihr fahrt mit 60 Litern im Tank los. Nach 3 Stunden fahrt sind nur noch 15% des Benzins übrig. Wie viel Liter Benzin sind noch im Tank?

Lösung:

  • Was ist gegeben? Der Grundwert G=\SI{60}{\liter} und der Prozentsatz p\,\% = \SI{15}{\percent} ist gegeben. Die 3 Stunden helfen dir nicht bei der Lösung der Aufgabe.
  • Was ist gesucht? Gesucht wird der Prozentwert W = G\cdot p\,\%.
  • Setze also Grundwert und Prozentsatz in die Prozentsatzformel ein.

    \[ W = G \cdot p\,\% = \SI{60}{\liter}\cdot\SI{15}{\percent} \]

  • Wandle um: \SI{15}{\percent} = \frac{15}{100}

    \[ W = \SI{60}{\liter}\cdot\SI{15}{\percent} = \frac{\SI{60}{\liter}\cdot 15}{100} = 9{\liter} \]

Antwort: Es sind noch 9 Liter im Tank.

Aufgabe 9

Wie viel Zucker solltest du maximal essen?

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Nährwertangaben

Lösung:

  • Was ist gegeben? Du kennst den Prozentwert W = \SI{1.9}{\gram} und den Prozentsatz p\,\% = \SI{2}{\percent}.
  • Was ist gesucht? Gesucht wird der Grundwert%Link: "Grundwert berechnen" G = \frac{W}{p\,\%}.
  • Setze also in die Grundwertformel ein.

    \[ G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{\SI{1.9}{\gram}}{\SI{2}{\percent}} \]

  • Wandle um: \SI{2}{\percent} = \frac{2}{100}.

    \[ G = \frac{\SI{1.9}{\gram}}{\SI{2}{\percent}} = \frac{\SI{1.9}{\gram}}{\frac{2}{100}} =  \frac{\SI{1.9}{\gram}\cdot 100}{2} = \SI{95}{\gram} \]

 

Aufgabe 10a

9 Schüler aus deiner Klasse spielen in der Schulband. Das sind ungefähr 32% der ganzen Klasse. Schätze die Größe deiner Klasse ab!

Lösung:

  • Was ist gegeben? Gegeben ist der Prozentwert W = 9 und der Prozentsatz p\,\% = \SI{32}{\percent}.
  • Was ist gesucht? Gesucht wird der Grundwert G = \frac{W}{p\,\%}
  • Setze also in die Grundwertformel ein.

    \[ G = \frac{W}{p\,\%} \approx \frac{9}{\SI{30}{\percent}} \]

  • Wandle um: \SI{32}{\percent} = \frac{32}{100}.

    \[ G \approx \frac{9}{\SI{32}{\percent}} = \frac{9}{\frac{32}{100}} = \frac{9\cdot 100}{32} = 28.125 \approx 28 \]

Antwort: Die Klasse besteht aus 28 Schülern.

 

Aufgabe 10b

Beim Überprüfen von 320 Fahrrädern stellt die Polizei fest, dass 25% keine Katzenaugen haben. Von diesen 25% wird \frac{1}{10} aus dem Verkehr gezogen. Wie viele Fahrräder dürfen nicht mehr gefahren werden?

Lösung:

  • Rechne zuerst aus wie viele Fahrräder mangelhaft sind.
  • Was ist gegeben? Gegeben ist der Grundwert G = 320 und der Prozentsatz p\,\% = \SI{25}{\percent}.
  • Was ist gesucht? Gesucht wird der Prozentwert W = G\cdot p\,\%.
  • Setze deine Angaben in die Prozentwertformel ein.

    \[ W = G\cdotp\,\% = 320\cdot\SI{25}{\percent} \]

  • Wandle um: \SI{25}{\percent} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}.

    \[ W = 320\cdot\SI{25}{\percent} = 320 \cdot \frac{1}{4} = 80 \]

  • 80 Fahrräder haben also keine Katzenaugen. \frac{1}{10} davon dürfen nicht mehr gefahren werden. Wie viele sind das?
  • Was ist gegeben? Gegeben ist der Grundwert G=80 und der Prozentsatz p\,\% = \frac{1}{10}.
  • Hinweis: Obwohl der Prozentsatz nicht in Prozent geschrieben ist, kannst du alle Formeln normal benutzen.
  • Was ist gesucht? Gesucht ist der Prozentwert W = G\cdot p\,\%.
  • Setze deine Angaben in die Prozentwertformel ein.

    \[ W = G\cdot p\,\% = 80 \cdot \frac{1}{10} = 8 \]

Antwort: Von den 320 überprüften Fahrrädern dürfen 8 nicht mehr benutzt werden.

 

Aufgabe 10c

Wie viel Prozent sind 78 Gramm von 2600 Gramm?

Lösung:

  • Was ist gegeben? Gegeben ist der Grundwert G=\SI{2600}{\gram} und der Prozentwert W=\SI{78}{\gram}.
  • Was ist gesucht? Gesucht ist der Prozentsatz p\,\% = \frac{W}{G}.
  • Setze Deine Angaben in die Prozentsatzformel ein.

    \[ p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{\SI{78}{\gram}}{\SI{2600}{\gram}} = \frac{78}{2600} \]

  • Die Aufgabe sieht schwerer aus als sie eigentlich ist. 78 ist ein Vielfaches von 26. Du kannst den Bruch also kürzen.

    \[ p\,\% = \frac{78}{2600} = \frac{\cancel{26}\cdot 3}{\cancel{26}\cdot 100} = \frac{3}{100} = \SI{3}{\percent} \]

Antwort: 78 Gramm sind 3% von 2600 Gramm.

Prozentuale Veränderung berechnen

Versuche dich auch an etwas kniffligeren Textaufgaben, damit die Prozentrechnung dir schnell von der Hand geht!

Aufgabe 11

Du möchtest ein Auto kaufen, dass normalerweise für 26.800€ verkauft wird. Für deine Sonderausstattung kommen noch mal 1.200€ dazu. Zum Glück gibt es aber einen Rabatt von 14%. Wie viel Prozent%Link "Prozentsatz berechnen" vom eigentlichen Grundpreis musst Du bezahlen?

Lösung:

  • Löse die Aufgabe am besten in zwei Schritten. Beantworte als erstes: Wie viel musst Du für das Auto bezahlen?
  • Ohne Rabatt kostet das Auto: \SI{26800}{\euro} + \SI{1200}{\euro} = \SI{28000}{\euro}.
  • Was ist gegeben? Gegeben ist der Grundwert G=\SI{28000}{\euro} und der Prozentsatz p\,\% = \SI{14}{\percent}.
  • Was ist gesucht? Gesucht wird der Prozentwert%Link "Prozentwert berechnen" W = G\cdot p\,\%.
  • Setze deine Angaben in die Prozentwertformel ein.

    \[ W = G\cdot p\,\% = \SI{28000}{\euro} \cdot \SI{14}{\percent} \]

  • Wandle um: \SI{14}{\percent} = \frac{14}{100}

    \[ W = \SI{28000}{\euro} \cdot \SI{14}{\percent} = \frac{ \SI{28000}{\euro} \cdot 14 }{100} = \SI{3920}{\euro} \]

  • Subtrahiere den Rabatt vom ursprünglichen Kaufpreis.

    \[ \SI{28000}{\euro} - \SI{3920}{\euro} = \SI{24080}{\euro} \]

  • Du musst also 24080€ für das Auto bezahlen. Wie viel Prozent sind das vom Grundpreis?
  • Was ist gegeben? Der übliche Kaufpreis ist der Grundwert G=\SI{26800}{\euro}. Der Prozentwert W = \SI{24080}{\euro} ist auch gegeben.
  • Was ist gesucht? Der Prozentsatz p\,\% = \frac{W}{G} ist gesucht.
  • Setze die Angaben in die Prozentsatzformel ein.

    \[ p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{ \SI{24080}{\euro} }{ \SI{26800}{\euro} } \approx 0,90 = \SI{90}{\percent}  \]

Antwort: Du bezahlst mit Sonderausstattung und Rabatt 90% des üblichen Kaufpreises.

 

Aufgabe 12

Beide Angebote werben mit einem Preisnachlass von 1€, aber welches bietet prozentual%Link "Prozentsatz berechnen" mehr Rabatt?

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Getränkeangebote

Lösung:

  • Rechne den Rabatt für beide Angebote getrennt aus und vergleiche sie am Ende. Fange mit dem ersten Angebot an.
  • Was ist gegeben? Gegeben ist der Grundwert G = \SI{14.99}{\euro} und der Prozentwert W = \SI{13.99}{\euro}.
  • Was ist gesucht? Gesucht ist der Prozentsatz  p\,\% = \frac{W}{G}.
  • Setze deine Angaben in die Prozentsatzformel ein.

    \[  p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{\SI{13.99}{\euro}}{\SI{14.99}{\euro}} \approx 0,93 = \SI{93}{\percent} \]

  • Beim ersten Angebot zahlst du nur 93% des eigentlichen Preises. Wie sieht es mit dem zweiten Angebot aus?
  • Was ist gegeben? Gegeben ist wieder der Grundwert G=\SI{12.99}{\euro} und der Prozentwert W=\SI{11.99}{\euro}.
  • Was ist gesucht? Gesucht wird erneut der Prozentsatz p\,\% = \frac{W}{G}.
  • Setze die Preise in die Prozentsatzformel ein.

    \[ p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{ \SI{11.99}{\euro} }{ \SI{12.99}{\euro} } \approx 0,92 = \SI{92}{\percent} \]

  • Beim zweiten Angebot musst du nur 92% bezahlen. Es ist also prozentual günstiger.

Antwort: Das zweite Angebot ist prozentual günstiger, weil du nur 92% des eigentlichen Preises bezahlst. Für das andere Angebot sind es 93%.

Zinsrechnung

Super, jetzt bist du fit in der Prozentrechnung! Aber kennst du dich auch mit dem kleinen Bruder, der Zinsrechnung aus? Wenn du dir nicht ganz sicher bist, schau dir am besten noch unser Video zur Zinsrechnung an! %Verweis mit Thumbnail

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