Zinsrechnung
Möchtest du spielend leicht die Zinsrechnung meistern? Hier und im Video erfährst du, wie das funktioniert!
Inhaltsübersicht
Zinsrechnung einfach erklärt
Die Zinsrechnung ist ein nützliches Werkzeug im Bereich der Mathematik. Sie zeigt dir, wie sich Geld über die Zeit vermehren kann.
Das geschieht meist bei einer Bank, wo jemand sein Geld auf ein Sparkonto legt. Nach einer Weile bekommt er nicht nur sein ganzes Geld zurück, sondern sogar etwas mehr! Das liegt an den Zinsen. Um die zu berechnen, brauchst du die Zinsrechnung.
Dabei baut die Zinsrechnung auf der Prozentrechnung auf. Du rechnest also genau dasselbe, nur sind die Begriffe bei der Zinsrechnung anders:
- Grundwert G → Kapital K
- Prozentwert W → Zinsen Z
- Prozentsatz p → Zinssatz p
Statt Prozente zu finden, bestimmst du hier, wie viel dein Geld über die Zeit zunimmt.
Zinsrechnung — Jahreszins
Beginnen wir mit der gängigsten Methode, Zinsen zu berechnen — dem Jahreszins. Hierbei berechnest du also, wie viele Zinsen du nach einem Jahr extra bekommst.
Um den Jahreszins zu berechnen, verwendest du eine Formel:
![\[ \textbf{\textcolor{orange}{Z}} = \frac{\textbf{\textcolor{violet}{K}} \cdot \textbf{{\textcolor{teal}{p}}}}{\textbf{100}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e12f07ece5e3a0a1385ee39dafb6e6a3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dabei sind:
- Z die Zinsen, die du nach einem Jahr bekommst,
- K dein Kapital, also das Geld, das du anlegst oder verleihst,
- p der Zinssatz, also wie viel Prozent Zinsen du pro Jahr bekommst.
Du multiplizierst also das angelegte Kapitel K mit dem Zinssatz p. Danach teilst du es durch den Umrechnungsfaktor 100. Grund dafür ist, dass der Zinssatz in Prozent angegeben ist. Um aber die Zinsen als Dezimalzahl zu erhalten, musst du durch 100 rechnen. Als Ergebnis erhältst du die Zinsen für ein Jahr.
Jahreszins — Beispiel
Schauen wir uns das an einem Beispiel an: Du gehst zur Bank und legst dort 200 Euro an. Der Zinssatz beträgt 5 % pro Jahr. Wie viel Zinsen bekommst du nach einem Jahr?
Aus dem Text kannst du entnehmen, dass das Kapital 200 Euro und der Zinssatz 5 % betragen. Das setzt du nun in die Formel ein:
![\[ \textbf{Z} = \frac{\textbf{\textcolor{purple}{200}} \cdot \textbf{{\textcolor{teal}{5}}}}{\textbf{100}} = \textbf{\textcolor{orange}{10}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8a68ec8d2d1a903c9823818466af282_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du bekommst also nach einem Jahr für dein angelegtes Geld 10 Euro Zinsen.
Doch hier endet die Zinsrechnung noch nicht! Nun berechnest du, wie viel Geld du am Ende des Jahres insgesamt hast (Endkapital). Dafür addierst du das zu Beginn des Jahres angelegte Geld (Anfangskapital) mit den Zinsen:
KNeu = K + Z
KNeu = 200 Euro + 10 Euro
KNeu = 210 Euro
Am Ende des Jahres hast du also 210 Euro auf deinem Konto.
Tipp: Häufig wird der Jahreszinssatz auch so angegeben: 5 % p.a. Die Abkürzung steht für „per annum“ also „pro Jahr“.
Jahreszins — Formel umstellen
Die Formel für den Jahreszins kannst du ebenfalls benutzen, wenn du das Kapital K oder der Zinssatz p berechnen willst. Dafür musst du die Formel nur umstellen:
Beispielsweise hast du in einer Aufgabenstellung nur den Zinssatz p und die Zinsen Z gegeben. Dadurch weißt du, dass du die Formel für das Kapital K verwendet musst.
Zinsrechnung für Monate
Du kannst Zinsen aber auch für Monate berechnen. Der Monatszins gibt an, wie viel Zinsen du für dein Geld in einem Monat erhältst. Er wird ähnlich wie der Jahreszins berechnet, nur dass du hier die Zeit in Monaten berücksichtigst:
![\[ \mathbf{\textcolor{orange}{Z_{Monat}}} = \frac{\textbf{\textcolor{purple}{K}} \cdot \textbf{\textcolor{teal}{p}} \cdot \textbf{\textcolor{magenta}{m}}}{100 \cdot 12} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7907ce8cecc3ef15442b8446a6df9db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dabei sind:
- ZMonat die Zinsen, die du nach m Monaten bekommst,
- K dein Kapital,
- p der Jahreszinssatz,
- m die Anzahl der Monate.
Die Zinsen für ein paar Monate berechnest du, indem du das angelegte Kapital K mit dem Jahreszinssatz p und der Anzahl der Monate m multiplizierst. Das Ganze teilst du dann durch das Produkt aus 100 und 12. Das machst du, um den Jahreszinssatz in einen Monatszinssatz umzurechnen. Monatszins — Beispiel:
Schauen wir uns auch dazu ein Beispiel an: Familie Mustermann legt 1000 Euro zu einem Jahreszinssatz von 6 % an, aber nur für 6 Monate. Wie viel Zinsen bekommt Familie Mustermann? Um das zu berechnen, setzt du auch hier die Zahlen in die Formel ein:
![\[ Z_{Monat} = \frac{\textbf{\textcolor{violet}{1000}} \cdot \textbf{\textcolor{teal}{6}} \cdot \textbf{\textcolor{magenta}{6}}}{100 \cdot 12} = \textbf{\textcolor{orange}{30}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-80847b700c48727a800ca6bd0a8f0535_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das Ergebnis bedeutet, dass Familie Mustermann nach 6 Monaten 30 Euro an Zinsen bekommt.
Um jetzt das Endkapital zu berechnen, addierst du wieder einfach die Zinsen zum ursprünglichen Kapital:
KNeu = K + Z = 1.000 Euro + 30 Euro = 1.030 Euro
Monatszins — Formel umstellen
Wie bei der Jahreszinsrechnung, kannst du auch die Formel für den Monatszins umstellen, um andere Werte zu berechnen:
Beispielsweise möchte Familie Mustermann nach den 6 Monaten genau 50 Euro Zinsen für ihre angelegten 1.000 Euro bekommen. Um dafür den passenden Zinssatz p zu berechnen, nimmst du die umgestellte Formel vom Monatszins:
Zinsrechnung für Tage
Mit dem Tageszins berechnest du, wie viele Zinsen du bekommst, wenn du Geld nur für einige Tage anlegst. Die Formel für die Tageszinsen ähnelt stark der Formel für den Monatszins. Nur rechnest du hier mit der Anzahl der Tage:
![\[ \mathbf{\textcolor{orange}{Z_{Tag}}} = \frac{\textbf{\textcolor{violet}{K}} \cdot \textbf{\textcolor{teal}{p}} \cdot \textbf{\textcolor{magenta}{t}}}{100 \cdot 360} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40158e8fdad270915860d90af92892b2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dabei sind:
- ZTag die Zinsen, die du nach t Tagen bekommst,
- K dein Kapital,
- p der Zinssatz,
- t die Anzahl der Tage.
Auch hier multiplizierst du zuerst das Kapitel K mit dem Jahreszinssatz p und der Anzahl der Tage t. Um dann den Tageszins zu berechnen, teilst du das Ganze durch das Produkt aus 100 und 360. Die 360 sind dazu da, um die Zinsen für einen Tag zu bestimmen.
Übrigens: Die Zahl 360 gilt als Bankjahr und wird in der Finanzwelt oft verwendet. Ihr Zweck ist es, Rechnungen zu vereinfachen und zu vereinheitlichen.
Tageszins — Beispiel
Stell dir vor, du legst 1800 Euro zu einem Jahreszinssatz von 5 % an — aber nur für 20 Tage. Wie viel Zinsen du in der kurzen Zeit bekommst, berechnest du mit der Formel für die Tageszinsen:
![\[ Z_{Tag} = \frac{\textbf{\textcolor{violet}{1800}} \cdot \textbf{\textcolor{teal}{5}} \cdot \textbf{\textcolor{magenta}{20}}}{100 \cdot 360} = \textbf{\textcolor{orange}{5}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-284243ff23a2ae7f980de896cb8bb2c2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nach 20 Tagen bekommst du also 5 Euro Zinsen.
Das Endkapital nach t Tagen berechnest du, indem du wieder die Zinsen zum Kapital addierst:
KNeu = K + Z = 1.800 Euro + 5 Euro = 1.805 Euro
Tipp: In einer Aufgabenstellung kann es vorkommen, dass du zwei Daten gegeben hast und die Tage dazwischen berechnen musst. Beispielsweise wurde das Geld vom 1. März bis zum 23. Mai angelegt. Um die Anzahl der Tage zu berechnen, rechnest du mit 30 Tagen pro vollen Monat. Für dieses Beispiel rechnest du also: 30 + 30 + 23 = 83 Tage. Denn es liegen zwei volle Monate zwischen den zwei Daten: März und April. Die 23 Tage vom Mai rechnest du dann einfach dazu.
Tageszins — Formel umstellen
Hast du hingegen andere Werte gegeben, kannst du auch hier die Formel entsprechend umstellen:
Zum Beispiel weißt du nur, wie viel Kapital K zu welchem Zinssatz p angelegt wurde und wie hoch die Zinsen Z ausfielen. Um also jetzt zu bestimmen, wie viele Tage das Kapital angelegt wurde, nutzt du die Formel:
Zinseszins
Ein besonderer Teil der Zinsrechnung ist der Zinseszins. Angenommen, du legst 100 Euro auf ein Sparkonto mit einem Zinssatz von 5 % pro Jahr an. Nach einem Jahr erhältst du dann 5 Euro Zinsen.
Beim Zinseszins gibst du diese 5 Euro nicht einfach aus, sondern legst sie wieder an. Im nächsten Jahr erhältst du dann nicht nur Zinsen auf die 100 Euro Startkapital, sondern auch auf die 5 Euro Zinsen vom Vorjahr.
Zinseszins bedeutet also, dass du Zinsen auf deine Zinsen erhältst. Um das Endkapital zu berechnen, verwendest du diese Formel:
![\[ K_{Neu} = \textbf{\textcolor{violet}{K}} \cdot (1 + \frac{\textbf{\textcolor{teal}{p}}}{\textbf{100}})^\textbf{\textcolor{magenta}{n}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e29342bbd6dbcefe2372ef4640735db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dabei sind:
- KNeu das Endkapital nach n Jahren,
- K das Anfangskapital,
- p der Zinssatz pro Jahr,
- n die Anzahl der Jahre.
Du rechnest also den Zinsfaktor 
hoch die Anzahl der Jahre, die das Geld angelegt wird. Das Ergebnis multiplizierst du dann mit dem Anfangskapital. So bestimmst du ganz leicht das Endkapital!
Zinseszins — Beispiel
Schauen wir uns das an einem Beispiel an: Frau Meier legt 1000 Euro zu einem Zinssatz von 5 % pro Jahr an und lässt das Geld für 3 Jahre angelegt. Wie viel Geld sie am Ende hat, berechnest du so:
![\[ K_{Neu} = \textbf{\textcolor{violet}{1000}} \cdot (1 + \frac{\textbf{\textcolor{teal}{5}}}{\textbf{100}})^\textbf{\textcolor{magenta}{3}} \thickapprox 1157,63 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f9019d002b575101aaa64a8f9951bbb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nach 3 Jahren hat Frau Meier ein Endkapital von 1157,63 Euro angespart. Das bedeutet, dass sie 157,63 Euro an Zinseszinsen verdient hat.
Zinsrechnung — häufigste Fragen
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Was ist Zinsrechnung?
Die Zinsrechnung ist ein mathematisches Verfahren. Damit kannst du berechnen, wie viele Zinsen du für dein angelegtes Kapital über einen bestimmten Zeitraum erhältst. Sie hilft dir zu verstehen, wie angelegtes oder verliehenes Geld über die Zeit wächst.
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Mit welcher Formel werden Zinsen berechnet?
Zinsen werden mit der Formel Z= (K*p) /100 berechnet, wobei Z die Zinsen, K das Kapital und p der Zinssatz in Prozent ist. Damit berechnest du die Zinsen für ein Jahr.
Zinsrechnung Aufgaben
Super! Jetzt weißt du, wie du die Zinsen berechnest. Doch Übung macht bekanntlich den Meister! Schau daher am besten direkt in unserem Beitrag „Zinsrechnung Aufgaben“ vorbei und festige dein Wissen.
