Mathematische Grundlagen
Formeln und Terme
 – Video

In diesem Beitrag lernst du, Formeln umzustellen und sie zu vereinfachen. Unten findest du ein paar Beispiele zum Üben und das Video erklärt Dir alles Schritt-für-Schritt.

Formel umstellen einfach erklärt  

Mathematische Formeln zeigen dir, wie verschiedene Größen (Längen oder das Volumen) zusammenhängen. Häufig musst du die Formel umstellen, bevor du sie benutzen kannst.

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Umstellen der Kraftformel und der Prozentwertformel

Schaue dir zum Beispiel die Kraftformel F = m\cdot a an. Mit dieser Formel kannst du ausrechnen, wie viel Kraft (F) du brauchst, um einen Gegenstand der Masse (m) zu bewegen (a). Wenn du aber F und a kennst und m wissen willst, musst du \mathbf{a} auf die andere Seite der Formel bringen. Dadurch steht \mathbf{m} alleine auf einer Seite der Formel und du kannst es berechnen.

Dasselbe kannst du natürlich auch für andere Formeln machen. Du kannst zum Beispiel den Prozentsatz p\% mit dem Prozentwert W und dem Grundwert G ausrechnen. Falls Du aber p\% kennst und W wissen willst, musst du \mathbf{G} auf die andere Seite der Formel bringen. Dadurch hast du \mathbf{W} alleine auf einer Seite der Formel stehen und kannst es ausrechnen.

Formeln umstellen Übungen

Das Umstellen von Formeln ist nicht schwer und erfordert nur etwas Übung. Wenn du eine Formel nach x auflösen willst, darfst du wie beim Gleichungen auflösen nur Äquivalenzumformungen benutzen. Das bedeutet Folgendes: Wenn du eine Seite der Formel veränderst (z.B. multiplizieren, subtrahieren, etc.), musst du das Gleiche mit der anderen Seite der Formel tun.

Beispiel 1: Einfache Formel umstellen

Schau dir zum Beispiel eine Wiese an. Sie ist 5 Meter lang und 10 Meter breit. Multipliziere die Breite mal der Länge und du weist die Fläche der Wiese:

    \[ \textrm{Fläche} = \textrm{Länge} \cdot \textrm{Breite} = \SI{5}{\metre} \cdot \SI{10}{\meter} = \SI{50}{\square\meter} \]

Angenommen Du kennst die Fläche und die Länge der Wiese. Was tust du, wenn du ihre Breite wissen willst? Dafür musst du die Formel nach der Breite der Wiese umstellen. Damit die Breite auf einer Seite alleine steht, teilst Du beide Seiten durch die Länge. Wie du siehst, kürzt sich die Länge heraus.

    \begin{alignat*}{2} \textrm{Fläche} &= \textrm{Länge} \cdot \textcolor{blue}{\textrm{Breite}}      &&\quad\left| \textcolor{red}{ \cdot \frac{1}{ \textrm{Länge} } } \right \\ \frac{ \textrm{Fläche} }{ \textcolor{red}{ \textrm{Länge} } } &= \frac{ \cancel{ \textrm{Länge} } \cdot \textcolor{blue}{\textrm{Breite}} }{ \cancel{ \textcolor{red}{ \textrm{Länge} } } } \\ \frac{ \textrm{Fläche} }{ \textcolor{red}{ \textrm{Länge} } } &= \textcolor{blue}{\textrm{Breite}} \end{alignat*}

Mit der umgestellten Formel kannst du die Breite der Wiese ausrechnen, wenn du die Länge und Fläche kennst:

    \[ \textcolor{blue}{\textrm{Breite}} = \frac{ \textrm{Fläche} }{ \textcolor{red}{\textrm{Länge}} } = \frac{ \SI{50}{\square\meter} }{ \textcolor{red}{\SI{5}{\meter}} } = \textcolor{blue}{\SI{10}{\meter}} \]

Beispiel 2: Formel umstellen Bruch

Stell‘ dir vor, du fährst mit dem Fahrrad mit einer Geschwindigkeit von \sisetup{per-mode=fraction} \SI{15}{\kilo\meter\per\hour}. Wie lange brauchst du, um eine Strecke von \sisetup{per-mode=fraction} \SI{30}{\kilo\meter} zu fahren? Löse die Frage mit der Geschwindigkeitsformel.

    \[ v = \frac{s}{t} \]

Du weißt die Geschwindigkeit v und die Strecke s. Um die Zeit t berechnen zu können, musst du die Formel in die Form t = \textrm{...} bringen. Du willst, dass das t alleine auf einer Seite der Formel steht. Das Umstellen heißt deshalb auch „die Formel nach der Zeit t umstellen„. 

Bringe t auf die andere Seite, indem du beide Seiten mit t multiplizierst. Die Zeit t kürzt sich rechts raus und steht dadurch links nicht mehr im Bruch.

    \begin{alignat*}{2} v &= \frac{s}{t}      \quad&&| \textcolor{red}{\cdot t} \\ v \textcolor{red}{\cdot t} &= \frac{ s \textcolor{red}{\cdot } \bcancel{ \textcolor{red}{ t }} }{ \bcancel{t} } \end{alignat*}

Als nächstes bringst du v auf die andere Seite, indem du beide Seiten durch v teilst. Die Geschwindigkeit v kürzt sich auf der linken Seite heraus und die Zeit t bleibt alleine auf der linken Seite stehen. Genau, was du vorhattest!

    \begin{alignat*}{2} v \cdot t &= s       &&\quad\left| \textcolor{red}{ \cdot \frac{1}{v} } \right \\ \frac{ \cancel{v} \cdot t}{ \cancel{ \textcolor{red}{v} } } &= \frac{s}{ \textcolor{red}{v} } \\ t &= \frac{s}{v} \end{alignat*}

Durch das Formel Umstellen%Rechtschreibfehler, aber Schlüsselwort kannst du die Aufgabe lösen. Setze die Geschwindigkeit v = \sisetup{per-mode=fraction} \SI{15}{\kilo\meter\per\hour} und die Strecke \sisetup{per-mode=fraction} \SI{30}{\kilo\meter} in die Formelumstellung%Schlüsselwort ein. 

    \[ t = \frac{s}{v} = \frac{ \SI{30}{\kilo\meter} }{ \SI{15}{\kilo\meter}/\si{\hour} } \]

Wenn du den Bruch vereinfachst, siehst du, dass sich die \si{\kilo\meter} rauskürzen und die Einheit \si{\hour} stehen bleibt.

    \[ t = \frac{s}{v} = \frac{ \SI{30}{\kilo\meter} }{ \SI{15}{\kilo\meter}/\si{\hour} } = \frac{ 2 \cdot \cancel{ \SI{15}{\kilo\meter} } }{ \cancel{ \SI{15}{\kilo\meter} }/\si{\hour} } = \\ \SI{2}{\hour} \]

Das Formel Umstellen%Rechtschreibfehler, aber Schlüsselwort zeigt dir, dass du 2 Stunden brauchst, um die Strecke zu fahren.

Beispiel 3: Exponentielles Wachstum Formel umstellen%Ist ein Schlüsselwort

Eine beliebte Aufgabe in Tests ist exponentielles Wachstum. Oft wird nach der Verdopplungszeit t_d gefragt.  Die Verdopplungszeit t_d sagt dir z.B., wie lange es dauert, bis sich die ursprüngliche Anzahl von Hasen verdoppelt. Wenn du am Anfang N_0 Hasen hast, sind es nach einer Verdoppelungszeit 2 N_0 Hasen. Folgende Formel beschreibt die Verdopplungszeit. 

    \[ 2 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{t_d} \]

Wie musst du die Formel umstellen? Du entfernst N_0 aus der Formel, indem Du beide Seiten durch N_0 teilst. N_0 kürzt sich heraus.

    \begin{alignat*}{2} 2 \cdot N_0 &= N_0 \cdot e^{ t_d }    \quad&&\left| \textcolor{red}{ \cdot \frac{1}{N_0} } \right \\ \frac{2\cdot  \cancel{N_0} }{ \cancel{ \textcolor{red}{ N_0} } } &= \frac{ \cancel{N_0} }{ \cancel{ \textcolor{red}{ N_0 } } } \cdot e^{t_d} \end{alignat*}

Als nächstes brauchst du die Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion e^x. Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus \ln(x). Wenn du die Formel nach x auflösen möchtest, musst du x = \ln\left(e^x\right) rechnen. Das Formel Umstellen%Rechtschreibung, aber Schlüsselwort geht dann so:

    \begin{alignat*}{2} 2 &= e^{t_d}     &&| \;\textcolor{red}{\ln}() \\ \textcolor{red}{\ln}(2) &= \textcolor{red}{\ln}\left( e^{t_d} \right) \\ \ln(2) &= t_d \\ t_d &\approx 0,69 \end{alignat*}

Rechnest du den Logarithmus mit dem Taschenrechner aus, weißt du, dass die Verdopplungszeit ungefähr 0,69 Zeiteinheiten beträgt. Die Halbwertszeit von exponentiellem Zerfall findest du übrigens durch die gleiche Formelumstellung heraus!

Terme vereinfachen

Das Umstellen der Formeln hast du verstanden, aber du hast Schwierigkeiten kompliziertere Formeln zu vereinfachen? Schau dir unser Video zum Terme vereinfachen  an und Formeln umstellen ist kein Problem!

Zum Video: Terme vereinfachen
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