Algebra
Abbildungen und Relationen
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Schnittmenge einfach erklärt  

Die Schnittmenge ist ein Begriff aus der Mengenlehre. Wenn A und B Mengen sind, dann kannst du ihre Schnittmenge A ∩ B bilden. Sie enthält nur die Elemente, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen.

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Schnittmenge A ∩ B

Im Beispiel gehören blonde Brillenträger zu A geschnitten B. Du möchtest Schnittmengen und ihre Darstellung schneller verstehen? Dann schau dir jetzt unser Video dazu an!

Schnittmenge Definition

Die Schnittmenge (Durchschnittsmenge) A ∩ B ist die Menge aller Elemente, die die Mengen A und B gemeinsam haben. Mit mathematischen Symbolen kannst du sie auch so darstellen:

A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

Du sprichst das dann: A geschnitten B ist die Menge aller x für die gilt: x ist Element von A und x ist Element von B.

Schnittmenge Beispiel

Du hast eine Menge A = {2, 4, 7} und eine Menge B = {3, 4, 7}. Wie kannst du A geschnitten B berechnen? Am besten gehst du so vor:

  • Markiere alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.
    A = {2, 4, 7} und B = {3, 4, 7}
  • Anschließend fasst du sie in der Schnittmenge zusammen.
    A ∩ B = {4, 7}

Das kannst du gut mit einem Venn-Diagramm veranschaulichen:

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Darstellung im Venn-Diagramm: A ∩ B

Super, jetzt weißt du, wie du A geschnitten B berechnest. 

Was passiert nun, wenn es keine gemeinsamen Elemente oder nur gemeinsame Elemente gibt? Schau dir dafür ein paar Spezialfälle an.

Disjunkte Mengen  

Zwei Mengen A und B sind disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen. Ihre Schnittmenge ist also immer leer und heißt deshalb auch „leere Menge“.

Beispiel:

A = {1, 5, 6} und B = {2, 3, 4}

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Disjunkte Mengen

Du schreibst: AB = { } oder AB = Ø (leere Menge).

Übrigens: Wenn eine der beiden Mengen A und B eine leere Menge ist, also keine Elemente enthält, ist auch die Schnittmenge immer leer.

Paarweise disjunkte Mengen

Stell dir mehrere Mengen vor, bei denen keine Kombination aus zwei Mengen gemeinsame Elemente hat. Ihre Schnittmengen sind also alle leer. Du nennst die Mengen dann paarweise disjunkt.

Beispiel:

Schau dir die Mengen A = {1, 3}, B = {4, 5} und C = {2, 6} an.

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Paarweise disjunkte Mengen

Es gilt:
A B = Ø
AC = Ø
B C = Ø

Deshalb sind die Mengen A, B und C paarweise disjunkt.

Teilmenge

Es handelt sich bei Menge B um eine echte Teilmenge der Menge A, wenn alle Elemente aus B auch in A enthalten sind. Zur Menge A gehören allerdings noch weitere Elemente.

Beispiel:

A = {2, 5, 7, 8, 9, 11} und B = {2, 5, 8}

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Teilmenge

A geschnitten B ist in diesem Fall also die gesamte Menge B:

AB = {2, 5, 8}

Schnittmenge berechnen — Rechenregeln

Um das mathematische Symbol ∩ korrekt einzusetzen, solltest du die Rechenregeln dafür kennen. Für A geschnitten B gilt das Kommutativgesetz. Deshalb kannst du schreiben:

A ∩ B = B ∩ A

Außerdem kannst du das Assoziativgesetz  anwenden:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

A geschnitten B — wichtigste Fragen

  • Wie kann man die Schnittmenge berechnen?
    Die Schnittmenge berechnest du, indem du alle Elemente angibst, die in den Mengen A und B gleichzeitig enthalten sind. Du schreibst die Schnittmenge als A B.
  • Was ist ein Beispiel für die Schnittmenge?
    Betrachte zum Beispiel die zwei Mengen A = {1, 3} und B = {3, 4}. Ihre Schnittmenge ist A ∩ B = {3}.

  • Was sind Sonderfälle von Schnittmengen?
    Eine Schnittmenge kann leer sein, wenn es keine gemeinsamen Elemente gibt oder eine der Mengen überhaupt keine Elemente besitzt. Außerdem kann eine Menge B eine Teilmenge von A sein. Die Schnittmenge A ∩ B sind dann alle Elemente von B. 

Schnittmenge Vereinigungsmenge — Abgrenzung

Du hast gelernt, dass die Durchschnittsmenge nur die Elemente enthält, die in A und B gemeinsam vorkommen. Im Gegensatz dazu gehören zur Vereinigungsmenge alle Elemente, die in A oder B enthalten sind. Du betrachtest also die Elemente, die in mindestens einer der Mengen vorkommen. 

Beispiel:

A = {1, 3, 4} und B = {2, 3}

Die Vereinigungsmenge ist also: 

A ∪ B = {1, 2, 3, 4}

Expertenwissen

Du kannst verschiedene Mengenoperatoren, wie ∩, ∪ oder \, auch kombinieren. Beachte dabei folgende Regeln:

Wenn du noch mehr über die Vereinigungsmenge und Mengen im Allgemeinen erfahren willst, schau dir jetzt unseren Beitrag dazu an!

Zum Video: Mengenlehre / Vereinigungsmenge
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