Digitaltechnik

Zahlensysteme

Du weißt sicher schon das PCs ein Binärsystem nutzen. Wie das genau aufgebaut ist, erklären wir dir in diesem Beitrag.

Binärsystem und Hexadezimalsystem

Die wohl wichtigsten Zahlensysteme, nach dem Dezimalsystem, sind das Binär- und das Hexadezimalsystem. Beide finden vor allem in der Digitaltechnik Anwendung. Bevor wir uns mit den Systemen im Speziellen befassen schauen wir uns den allgemeinen Aufbau von Zahlensystemen an.

Wie sind Zahlensysteme aufgebaut?

Zahlensysteme dienen der systematischen Darstellung von Zahlen durch geeignete Ziffern. Die meisten Zahlensysteme sind polyadische Zahlensysteme. Das bedeutet, dass der Wert der Zahl von der Stelle der Ziffer abhängig ist. Logisch, denn 91 ist größer als 19. Im Alltag rechnen wir mit dem Dezimalsystem. Der Name kommt vom lateinischen Wort „deci“. Das bedeutet zehn und steht für die Anzahl der unterschiedlichen Ziffern.
Ein Zahlensystem ist definiert durch seine Basis R, sowie die Menge an Ziffern Z:

Dezimal-. Oktal- und Binärsystem
Dezimal-. Oktal- und Binärsystem

Dir ist bestimmt schon aufgefallen, dass die Basis R gleich der Anzahl an Ziffern ist. Wenn du nun die Anzahl an erlaubten Ziffern zählst und den lateinischen Namen der Zahl kennst, so kannst du den Namen des Systems selbst herausfinden.

Die Basis R definiert den Wert einer Ziffer in Abhängigkeit von der Stelle. Ganz allgemein gilt:
Der Aufbau einer Zahl N\ ist\ d_n\ast\ R^n+\ \ldots\ +d_1\ast R^1+d_0\ast R^0. N ist dabei die Zahl im Zahlensystem und R die Basis – oder auch Grundzahl bzw. Radix mit R\geq2. R^i stellt die Wertigkeit der i-ten Stelle dar, d_i die Ziffer der Stelle i und Z Menge an Ziffern: d_i\in Z={0,1,2,\ldots,R-1}

Beispiel Binäre Zahl

Schauen wir uns als Beispiel die Binärzahl 10.110 an. Als erstes schauen wir uns für jede Ziffer die jeweilige Stelle innerhalb der Zahl an. Die letzte Ziffer hat die Stelle Null, die vorletzte Ziffer die Stelle eins und so weiter. Da wir ja im Binärsystem sind, muss unsere Basis R die zwei sein. Für jede Ziffer rechnest du die Wertigkeit als Potenz der Basis 2 hoch des Stellenwerts. Jetzt multiplizierst du das jeweilige Ergebnis mit der Ziffer. Als letztes addierst du diese neuen Ergebnisse und erhältst so die entsprechende Dezimalzahl. In unserem Fall also 22 Dezimal.
Wenn dir diese Rechnung zu lange ist, kannst du auch gleich so vorgehen:

Umrechnung in das Dezimalsystem
Umrechnung ins Dezimalsystem

Zahlensysteme in der Praxis – Das Binär- und Hexadezimalsystem

Das Binärsystem, auch Dualsystem genannt, ist das grundlegende Zahlensystem in der Digitaltechnik. Denn bei vielen Bausteinen der Digitaltechnik gibt es nur zwei Zustände: an oder aus. Bei der Darstellung von großen Zahlen im binären wird die Zahl jedoch sehr lange. Man braucht mehrere Zeilen, um sie auszuschreiben. Deshalb greift man auf das Oktalsystem mit der Basis 8 oder das Hexadezimalsystem mit der Basis 16 zurück. Für das Hexadezimalsystem benötigt man aber mehr als zehn Ziffern. Deshalb benutzt man nun Großbuchstaben für die übrigen Ziffern:

Die Ziffern 0 bis neun sind hexadezimal wie dezimal identisch. Die Dezimalzahlen 10 bis 15 werden durch die Buchstaben A bis F dargestellt.

Hexadezimalsystem, Aufbau
Hexadezimalsystem, Aufbau

Um nun Zahlen in ein anderes Zahlensystem zu übersetzen, gibt es verschiedene Methoden. Man kann jede Umrechnung mit einem Umweg über das Dezimalsystem durchführen. Zuerst wandelt man die Zahl mit der Formel

N_D=d_n\ast\ R^n+\ \ldots\ +d_1\ast R^1+d_0\ast R^0

ins Dezimalsystem um.

Hexadezimalsystem berechnen – Beispiel

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir möchten die Zahl {15623}_7 ins Hexadezimalsystem umwandeln. Das sieht dann so aus:

N_D=1\ast7^4+5\ast7^3+6\ast7^2+2\ast7^1+3\ast7^0={4427}_D

Jetzt führen wir Schritt 2, die Ganzzahldivision mit Rest, durch. Dabei wird die Ausgangszahl durch die Basis des gewünschten Zahlensystems geteilt und das machen wir so, wie damals in der Grundschule: und zwar als ganze Zahl mit einem Rest, der logischerweise kleiner als die Basis ist – denn sonst hätten wir nicht richtig geteilt. Dieser Rest ist nun d_{0\ }, die letzte Ziffer unserer „neuen“ Zahl. Das ganzzahlige Ergebnis unserer Rechnung wird nun wieder durch die Basis geteilt. Der Rest bildet nun d_1, die nächste Ziffer unserer „neuen“ Zahl. Dies wird so oft wiederholt bis wir schließlich nur noch einen Rest erhalten. Dieser bildet die erste Ziffer d_n unserer neuen Zahl. Damit ist unsere Rechnung fertig und wir haben die Dezimalzahl erfolgreich in ein System beliebiger Basis umgewandelt.

Hexadezimalsystem berechen
Hexadezimalsystem berechnen

So weit, so gut. Jetzt zeigen wir dir noch einen Trick, mit dem du dir viel Zeit sparen kannst.
Falls die Basis des einen Systems die Potenz der Basis eines anderen Zahlensystems ist, können wir diesen Trick anwenden. Wir gehen nun den direkten Weg, ohne Umweg über das Dezimalsystem. Er ermöglicht uns die schnelle Umrechnung zwischen dem binären System und oktalen oder hexadezimalen System. Denn 2^3 ist 8 und 2^4 ist 16. Wenn wir zum Beispiel vom binären ins Hexadezimalsystem umwandeln wollen, können wir einfach jeweils vier Ziffern der Binärzahl zu einer Ziffer der Hexadezimalzahl zusammenfassen.

Jetzt weißt du, wie Computer kommunizieren, wie einige andere Zahlensysteme funktionieren und wie du Zahlen zwischen diesen umwandelst.

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