Lineares Wachstum
Du willst wissen, was du unter linearem Wachstum verstehen kannst? Hier und im Video erklären wir dir alles, was du dazu wissen musst.
Inhaltsübersicht
Lineares Wachstum einfach erklärt
Lineares Wachstum oder linearen Zerfall hast du dann, wenn sich eine Größe pro gleichbleibenden Zeitabstand immer konstant verändert:
Stell dir vor, du drehst den Wasserhahn der Badewanne auf und es kommen 10 Liter Wasser pro Minute raus. Das ist lineares Wachstum, denn deine Wassermenge verändert sich in der gleichen Zeit immer um die gleiche Menge.
Willst du diesen Vorgang als Funktion darstellen, kannst du eine Geradengleichung mit den folgenden Werten verwenden:
N(t) = N0 + a • t
- N(t): Wassermenge in der Badewanne zu einem bestimmten Zeitpunkt t.
- N0: Startwert der Wassermenge in der Badewanne am Anfang, bevor du den Wasserhahn aufdrehst.
- a: Die Änderungsrate, die die Menge an Wasser pro Minute beschreibt
Am Anfang ist die Badewanne leer, deshalb setzt du für N0 = 0 ein. Die Änderung der Wassermenge pro Minute sind 10 Liter. Also ist a = 10. Setzt du nun beides in die Gleichung ein, kommt folgende Wachstumsfunktion raus:
N(t) = 0 + 10 • t = 10 • t
- Die Änderungsrate a ist bei linearem Wachstum konstant und entspricht der Steigung des Graphen der linearen Funktion .
- a > 0: Die Funktion ist streng monoton steigend . Es handelt sich um lineares Wachstum.
- a < 0: Die Funktion ist streng monoton fallend. Es liegt ein linearer Zerfallsprozess vor.
Änderungsrate mit Graph berechnen
Die Änderungsrate einer Wachstumsfunktion kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks berechnen.
Dafür suchst du dir zum Beispiel die Punkte A(2,5|17,5) und B(5|25) auf der Geraden und zeichnest ein Dreieck ein. Nun musst du Δt und ΔN(t) ablesen. Das Δt steht für die Zeitspanne, in der du das Wachstum beobachtest. Hier geht es von t = 2,5 bis t = 5.
Δt = 5 – 2,5 = 2,5
Den Unterschied zwischen den Werten von N in dieser Zeitspanne beschreibt ΔN(t):
ΔN(t) = N(5) – N(2,5) = 25 – 17,5 = 7,5
Mit diesen beiden Werte kannst du jetzt die Änderungsrate berechnen:
a = 
= 3
Lineare Wachstumsfunktion aufstellen
Zur Vorgehensweise beim Aufstellen einer linearen Wachstumsfunktion kannst du dir folgendes Beispiel anschauen:
Eine Hecke wird in eurem Garten gepflanzt. Sie ist beim Einsetzen 0,5 m hoch und wächst 10 cm pro Jahr. Stelle die lineare Wachstumsfunktion auf. Berechne dann, wie lange es dauert, bis die Hecke 1,5 m hoch ist.
Der Wert der Änderungsrate ist hier schon gegeben. Du erkennst sie an der Formulierung „pro Jahr“. Rechne die cm/Jahr noch in m/Jahr um, damit jede Längeneinheit in Meter angegeben ist.
a = 10 cm/Jahr = 0,1 m/Jahr
Am Anfang hat die Hecke schon 0,5 m. Das bedeutet das N0 deiner Funktion ist 0,5.
N0 = 0,5 m
Mit diesen Werten kannst du die Funktion für lineares Wachstum aufstellen.
N(t) = N0 + a • t = 0,5 + 0,1 • t
Du hast die Wachstumsfunktion aufgestellt. Berechne jetzt die Zeit t, die die Hecke braucht, um 1,5 m hoch zu wachsen. Setze dafür N(t) = 1,5 und löse nach t auf.
Die Hecke in eurem Garten braucht also 10 Jahre, um 1,5 m hoch zu werden.
Lineares Wachstum — häufigste Fragen
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Wie berechnet man lineares Wachstum?
Lineares Wachstum stellst du mit der Funktionsgleichung N(t) = N0 + a • t dar. N0 ist der Wert, den deine Funktion zum Zeitpunkt t = 0 hat und a deine Änderungsrate, die konstant bleibt.
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Was ist lineares Wachstum?
Lineares Wachstum beschreibt einen Wachstumsprozess, dessen Änderungsrate konstant ist. Eine Größe ändert sich in gleichen Zeitabschnitten immer um den gleichen Betrag.
Wachstumsprozesse
Prima! Jetzt kennst du dich mit dem linearen Wachstum aus. Willst du noch mehr über die verschiedenen Wachstumsprozesse erfahren? Dann schau direkt im Video dazu vorbei.
