Ziegenproblem
Ein Glücksspiel: zwei Nieten, ein Gewinn. Die Regeln sind einfach, aber die Intuition trügt. Bist du bereit für unser Video zum Ziegenproblem?
Inhaltsübersicht
Was ist das Ziegenproblem?
Das Ziegenproblem (auch Drei-Türen-Dilemma oder Monty Hall Problem) kommt aus der TV-Show „Let’s make a deal“ (in Deutschland: „Geh aufs Ganze“). Dabei hat ein Kandidat die Wahl zwischen drei verschlossenen Türen. Darunter ist eine, hinter der sich ein Auto verbirgt. Das kann der Kandidat gewinnen. Hinter den anderen beiden Türen befinden sich Ziegen — daher auch der Name Ziegenproblem.
Hat sich der Spieler auf eine der Türen festgelegt, öffnet der Moderator eine der anderen Türen, hinter der sich eine Ziege verbirgt. Es bleiben zwei Türen übrig. Hinter einer befindet sich das Auto, hinter der anderen eine Ziege. Nun hat der Kandidat zum zweiten Mal die Wahl:
Bleibt er bei seiner ersten Entscheidung oder wechselt er und setzt stattdessen auf die andere verschlossene Tür?
Damit entscheidet er sich endgültig für eine Tür. Befindet sich dahinter das Auto, hat er das Spiel gewonnen und darf das Auto behalten.
In der Spieltheorie interessiert man sich nun für die Gewinnchancen des Kandidaten: Sollte er bei seiner ersten Wahl bleiben, oder ist die Strategie beim zweiten Mal zur anderen verschlossenen Tür zu wechseln erfolgversprechender? Das ist die große Frage des Ziegenproblems!
Das Ziegenproblem — Die Intuition trügt
Die intuitive Lösung des Ziegenproblems scheint zu sein, dass es gar keine Rolle spielt, ob der Kandidat bei seiner ursprünglichen Wahl bleibt oder wechselt. Schließlich gibt es zu diesem Zeitpunkt nur noch zwei verschlossene Türen. Hinter einer verbirgt sich der Hauptgewinn. Die Entscheidung zwischen Bleiben und Wechseln entspricht der Wahl zwischen diesen beiden Türen. Also eine Gewinnchance von 50 %, oder?
Dieser Überzeugung waren um 1990 auch die Autoren von über 10 000 Leserbriefen. Empört reagierten sie auf einen Beitrag von der Kolumnistin Marilyn vos Savant (der Frau mit dem höchsten gemessenen IQ!) im Magazin „Parade“. Darin erklärte sie, dass die Entscheidung zu wechseln die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöhen würde!
Wie sich in einer Computersimulation herausstellte, behielt sie mit ihrer Lösung des Ziegenproblems recht; entgegen dem anfänglichen Misstrauen — auch seitens einiger berühmter Mathematiker wie Paul Erdös. Aber wie kommt man zu diesem verblüffenden Ergebnis?
Das Ziegenproblem — Lösung
Die entscheidende Erkenntnis ist, dass man beim Berechnen der Wahrscheinlichkeit nicht erst zum Zeitpunkt der zweiten Wahl des Kandidaten ansetzen darf! Es handelt sich hierbei nämlich um eine sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeit . Das heißt, für die Lösung des Ziegenproblems muss der vorangegangene Spielverlauf in die Betrachtungen mit einbezogen werden.
Eine Tabelle bietet einen guten Überblick über die 9 möglichen Spielverläufe. Alle diese Fälle sind gleich wahrscheinlich, da das Auto zufällig hinter einer der Türen versteckt wird und der Kandidat ebenso zufällig eine dieser Türen auswählt. Denn er weiß ja nicht, wo sich das Auto befindet.
| Auto hinter Tür Nr. | 1. Wahl Tür Nr. | Bleiben | Wechseln |
| 1 | 1 | Auto | Ziege |
| 1 | 2 | Ziege | Auto |
| 1 | 3 | Ziege | Auto |
| 2 | 1 | Ziege | Auto |
| 2 | 2 | Auto | Ziege |
| 2 | 3 | Ziege | Auto |
| 3 | 1 | Ziege | Auto |
| 3 | 2 | Ziege | Auto |
| 3 | 3 | Auto | Ziege |
| Gewinn: 3/9 = 1/3 | Gewinn: 6/9 = 2/3 |
Im Ziegenproblem führt die Strategie, bei der ursprünglich gewählten Tür zu bleiben, genau dann zum Erfolg, wenn die erste Wahl des Kandidaten auf die Tür mit dem Auto fällt. Das ist in 3 von insgesamt 9 möglichen Spielverläufen der Fall. Die Wahrscheinlichkeit , das Auto zu gewinnen, beträgt also 3/9 oder gekürzt 1/3. Das sind umgerechnet etwa 33,33 %.
Entscheidet man sich dagegen im Monty Hall Problem zu wechseln ist es genau umgekehrt: Wählt man zunächst eine Tür mit einer Ziege, wird der Moderator die Tür mit der anderen Ziege öffnen. Hinter der übrigen verschlossenen Tür, zu der man dann wechselt, findet man dann also das Auto. Das passiert in 6 von 9 Fällen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln beträgt damit 6/9 bzw. 2/3 (ca. 66,66 %).
Tatsächlich ist die Lösung des Ziegenproblems also, dass die Gewinnchance mit der Wechselstrategie (Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3) doppelt so hoch ist, als wenn man sich entscheidet, bei der ursprünglichen Wahl zu bleiben (Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3)!
Das Ziegenproblem — Baumdiagramm
Es kann auch hilfreich sein, sich die zwei Spielphasen des Monty Hall Problems in einem Baumdiagramm zu veranschaulichen und damit die Lösung des Ziegenproblems zu ermitteln.
Beim ersten Mal hat der Kandidat die Wahl zwischen 3 Türen. Hinter 1 verbirgt sich der Hauptgewinn, das Auto. Dass der Kandidat sich zufällig gerade für diese Tür entscheidet, passiert also in einem von drei möglichen Fällen und hat damit eine Wahrscheinlichkeit von 1/3. Dagegen befinden sich hinter den anderen 2 Türen jeweils Ziegen. Die Wahrscheinlichkeit, eine der Ziegen zu erwischen, beträgt also 2/3.
Strategie Bleiben
Spielt der Kandidat die Strategie, bei seiner ersten Wahl zu bleiben, bestimmt die erste Wahl auch die Gewinnwahrscheinlichkeit. Sie ist genau so hoch wie die Chance, direkt auf die Tür mit dem Auto zu setzen, also 1/3.
Aber wie sieht es aus, wenn er sich im zweiten Schritt des Monty Hall Problems für einen Wechsel entscheidet?
Strategie Wechseln
Unabhängig von der ersten Wahl wird der Moderator immer eine Tür mit einer Ziege öffnen.
Hat sich der Kandidat für die Tür mit dem Auto entschieden, befindet sich hinter beiden verbleibenden Türen eine Ziege. Nachdem der Moderator eine davon geöffnet hat, verbirgt sich hinter der noch verschlossenen Tür also immer noch eine Ziege. Durch einen Wechsel wird der Kandidat in diesem Fall zwangsläufig bei einer Ziege landen.
Wenn der Kandidat aber anfangs auf eine der beiden Türen mit einer Ziege gesetzt hat, wird der Moderator in jedem Fall die Tür mit der anderen Ziege öffnen. Damit befindet sich dann zu 100 % das Auto hinter der übrigen verschlossenen Tür.
Um die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Wechselstrategie am Baumdiagramm zum Ziegenproblem abzulesen, betrachten wir die Zweige, die bei dem Auto enden.
Das wäre einmal der Spielverlauf, dass der Kandidat beim ersten Mal das Auto wählt und beim Wechseln wieder beim Auto landet. Da es nur ein Auto gibt, wird dieser Fall aber nie (also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0) eintreten.
Anders dagegen, wenn er zunächst eine der Ziegen erwischt, was mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 zutrifft. Dann wird er beim Wechseln in jedem Fall (also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1) bei der Tür mit dem Auto landen. Gemäß der sogenannten Pfadregel erhalten wir die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln:
1/3 · 0 + 2/3 · 1 = 2/3
Caesar Verschlüsselung
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