Mathe in der Informatik

B-adische Darstellung ganzer Zahlen

Inhaltsübersicht

Du kommst mit dem Informatik-Teil deines Studiums ganz gut klar, hast aber immer noch Probleme mit der b-adischen Darstellung von Zahlen? Im Folgenden zeigen wir dir genauer, was es mit den Stellenwertsysteme auf sich hat.

Stellenwertsysteme umrechnen: B-adische Darstellung von Zahlen

Stellenwertsystme werden auch als Positionssysteme oder polyadische Systeme bezeichnet. Die b-adische Darstellung von Zahlen wird allgemein definiert mit: Für alle x Element N-Null und alle b Element N-Null mit b größer 1 gibt es eindeutige, ganze Zahlen b_0, …., b_k  mit x gleich die Summe von null bis k, b_i B^i  ist definiert als b_k bis b_0 zur Basis B.

Stellenwertsysteme Definition
Stellenwertsysteme Definition

Doch was ist eine Basis überhaupt? Wenn wir eine Potenz vorliegen haben, hat diese immer eine Basis und einen Exponenten. Die Basis einer B-adischen Darstellung ist nichts anderes als diese Basis, mit dem entsprechenden Exponenten angewendet auf die einzelnen Ziffern einer Zahl. Das heißt: B ist die Basis der Darstellung. Um das noch deutlicher zu machen: Alle Zahlen, die du im täglichen Leben gebrauchst, sind 10-adische Zahlen oder auch dekadische Zahlen, denn sie verwenden als Basis die Zehn.

Stellenwertsystem Dezimalzahlen

Das lässt sich ganz leicht an einem Beispiel zeigen: Nehmen wir einmal die Zahl 63. Wenn wir sie, ähnlich der Primfaktorenzerlegung in Zehnerpotenzen zerlegen, erhalten wir:

Dreiundsechzig gleich sechs mal zehn hoch eins plus drei mal zehn hoch null ist gleich dreiundsechzig zur Basis zehn oder dreiundsechzig dekadisch.

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Beispiel

Die Klammern und die Angabe der Basis fällt im Alltag weg, da die meisten Menschen ihr Leben lang nur dekadische Zahlen benötigen und diese damit zum Standard geworden sind.

Wollen wir jetzt von einer dekadischen Basis in eine andere umrechnen, geht das ganz einfach: Wir nehmen unsere Zahl –die 63 – und teilen sie wieder auf. Diesmal nehmen wir beim Aufteilen aber die gewünschte B-adische Basis als Potenz-Basis. Das ist in unserem Fall die drei. Wenn du dir bei dieser Rechnung noch unsicher bist, dann schau dir doch unser Video zu Zahlensystemen an.

Stellenwertsysteme Dezimalzahlen
Umrechnung

Schneller geht das Umrechnen allerdings, wenn wir einfach so vorgehen: Wir teilen 63 durch unsere gewünschte Basis 3 und erhalten als Ergebnis 21 Rest 0. Nun nehmen wir die 21 und teilen diese wiederum durch 3. Wir erhalten 7 Rest 0. Teilen wir die 7 erneut durch 3, so bekommen wir 2 Rest 1. Teilen wir diese 2 ein letztes Mal durch 3, so erhalten wir 0 Rest 2.

Zuletzt müssen wir nur noch die Restbeträge von unten nach oben anordnen und wir bekommen unsere Ternär-Zahl oder auch 3-adische Zahl.

Anwendung der 3-adischen Zahl

Jetzt haben wir also eine 3-adische Zahl. Das tolle an der b-adischen Darstellung ist, dass sie nichts an den Eigenschaften unserer Zahl ändert. Damit können wir mit ihr genauso rechnen, wie mit dekadischen Zahlen. Es gelten genau dieselben Regeln und Gesetze. Das Einzige, was vielen am Anfang Schwierigkeiten macht, ist das schriftliche Rechnen.

Stellenwertsysteme
falsches Ergebnis

Addieren wir zwei 3-adische Zahlen 2100 und 221, so erhalten wir – wenn wir das Ergebnis wieder in Dezimalzahlenschreibweise übersetzen – ein falsches Ergebnis. Das liegt daran, dass sich mit der Änderung der Basis auch der Punkt ändert, an dem wir einen Übertrag setzen müssen. Wir müssen also nicht länger eine Stelle übertragen, wenn zwei Ziffern 10 oder mehr ergeben, sondern, wenn unsere Ziffern 3 oder mehr ergeben. So gesehen setzen wir einen Übertrag bei Ergebnissen größer gleich b. Genauso ist es auch bei anderen Rechenarten, also pass gut auf, wenn du mit Zahlen anderer Basis rechnest. Für Informatiker sind davon vor allem die Binär-, Oktal- und Hexadezimalzahlen wichtig.

So, da du nun weißt, wie das mit den Basen funktioniert, hast du den ersten Schritt getan, um dein mathematisches Verständnis aufzupolieren.


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