Theoretische Informatik

Reelle Zahlen – Übung zu Gleitkomma

Nun wollen wir uns die Gleitkommazahl noch an einem kurzen Beispiel anschauen.

Inhaltsübersicht

Umwandlung ins Binärsystem

Zu Beginn benötigen wir eine Zahl, die wir umrechnen können. Nehmen wir uns also der Einfachheit halber die 3.25. Diese müssen wir zunächst ins Binärsystem umwandeln. Dafür berechnen wir zuerst die Vorkommastellen.

Gleitkommazahl; Gleitkommadarstellung
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Gleitkommazahl Beispiel

Vorkomma- und Nachkommastellen

Dann nehmen wir den Rest und teilen erneut durch zwei. So erhalten wir noch einmal den Rest eins. Damit haben wir die Vorkommastellen. Bleiben noch die Nachkommastellen. Dazu rechnen wir: 2\ast 0,25 = 0,5. Damit ist unsere Ziffer null. Dann wiederholen wir denselben Vorgang mit unserem Ergebnis und erhalten eins, womit auch unsere binäre Ziffer eine eins ist.

Normierung der Zahl und 32-Bit-Gleitkommadarstellung

Damit sind wir aber noch lange nicht fertig, denn nun müssen wir diese Zahl normieren. Dazu verschieben wir das Komma – oder im Fall der Binärschreibweise – den Punkt, so weit nach links, dass nur noch eine Ziffer davorsteht. Machen wir das mit unserer Zahl, so erhalten wir:

{(11.01)}_2={(1.101)}_2\ast2^1

Jetzt wandeln wir unser Ergebnis noch in etwas für unseren Rechner Lesbares um. Dabei nehmen wir die häufig genutzte 32-Bit-Gleitkommadarstellung. Damit wir aber noch etwas damit anfangen können, gliedern wir diese 32 Bit so auf:

Gleitkommazahl, Gleitkommadarstellung
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Ergebnis

Das erste Bit ist unser Vorzeichenbit, das hier null bleibt, da unsere Zahl positiv ist. Die nächsten acht Bit sind unsere Exponenten, also der zwei hoch eins zugewiesen. Bei der Exzess-q-Darstellung dieses Wertes liegt bei 32 Bit Länge der Bias bei 127. Also berücksichtigen wir diesen und schreiben unser Ergebnis. Als letztes geben wir noch den Dezimalbruch selbst an. Dabei müssen wir daran denken, dass wir nur die Nachkommastellen angeben müssen, weil unsere Zahl bereits normiert ist. Damit haben wir endlich unser Endergebnis erreicht.

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