Theoretische Informatik

Reelle Zahlen – Übung zu Exzess-q und Festkomma

Nun wollen wir uns die beiden Kodierungen noch an einem kurzen Beispiel anschauen.

Inhaltsübersicht

Ein Beispiel zur Exzess-q und Festkommazahl

Beim ersten Beispiel haben wir eine Binärzahl gegeben und wollen sie in die Exzess-q-Darstellung umwandeln. Nehmen wir doch einfach einmal die 1010. Jetzt müssen wir als erstes den Bias errechnen. Dafür benötigen wir die wieder die Formel: 2^{l-1}-1.

Exzess-q
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Umwandlung Binärzahl in Exzess-q

Umwandlung Binärzahl in Exzess-q

Für l setzen wir jetzt die Länge unserer Binärdarstellung ein. Also ist l=4. Damit erhalten wir sieben. Als nächstes können wir die allgemeine Schreibweise verwenden. Für q können wir schonmal unseren Bias einsetzen. Auch n können wir festlegen, denn dabei handelt es sich um die originale Länge unserer Binärzahl. Die Zahl X zu erhalten ist ebenfalls kein Hexenwerk, denn x ist die Dezimaldarstellung unserer Binärzahl. Dafür übersetzen wir also (1010)_2  in ihre Dezimaldarstellung.

Dazu gehen wir die Ziffern von rechts nach links durch und multiplizieren sie mit der entsprechenden Potenz von zwei. Das heißt, wir rechnen:

Exzess-q Beispiel
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Ergebnis Exzess-q

Wenn wir das alles am Ende zusammenrechnen, dann erhalten wir als Ergebnis die Binärzahl zehn. Jetzt müssen wir sie nur noch für x einsetzen und haben eine vollständige Exzess-q-Darstellung.

Beispiel Festkommazahl

Als Binärzahl nehmen wir uns einfach nochmal unsere 1010, aber ergänzen sie durch Nachkommastellen: 1010.1101.  Nun können wir bereits k und n in die allgemeine Formel einsetzen, indem wir für n die gesamten Stellen unserer Binärzahl zählen und für k die Anzahl der Nachkommastellen. Das heißt n ist acht und k ist gleich vier. Damit fehlt uns also noch das x.

Dafür müssen wir – genau wie bei der Exzess-q-Darstellung – unsere Binärzahl in eine Dezimalzahl umwandeln. Praktischerweise haben wir das für die Vorkommastellen schon erledigt, sodass wir uns nur noch um die Nachkommastellen kümmern müssen. Dazu arbeiten wir die Ziffern nach dem Komma von rechts nach links durch und multiplizieren sie mit der entsprechenden Potenz von zwei. Wir rechnen also:

Festkommazahl
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Beispiel Festkomma

Damit erhalten wir als Ergebnis dreizehn. Da es sich hier aber um Nachkommastellen handelt, müssen wir diese Zahl jetzt noch durch die Basis, die als nächstes kommen würde, also durch die sechzehn teilen. Wenn wir jetzt Vorkomma- und Nachkommastellen zusammenführen, ist unser x gleich 10,8125. Jetzt setzen wir alles in die allgemeine Formel ein und erhalten unser Endergebnis.

Jetzt weißt du nicht nur, wie du Zahlen problemlos umwandelst, sondern kannst dieses Wissen auch konkret anwenden.

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