Algebra
Abbildungen und Relationen
 – Video

Hast du in Mathe Mengenlehre und möchtest einen Überblick über die Symbole, Zeichen und Regeln zu Schnittmenge, Vereinigungsmenge usw. erhalten? Dann ist dieser Artikel und das zugehörige Video genau das Richtige für dich.

Mengenlehre einfach erklärt

Eine Menge ist in Mathe eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Objekten. Diese Objekte können alles Mögliche sein (Zahlen, Autos, Tiere, …). Die Objekte in einer Menge nennt man Elemente der Menge.

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Mengendiagramm als Kreis

Das Pferd ist zum Beispiel ein Element von A. Oder kurz: Pferd \textcolor{olive}{\in} A.

Der Hamster ist aber kein Element von A. Oder kurz: Hamster\textcolor{red}{\notin} A.

Außerdem gilt: Katze \textcolor{olive}{\in} A, Biene \textcolor{olive}{\in} A und Vogel \textcolor{red}{\notin} A.

Mengenschreibweise

Oft findest du auch Mengendiagramme ohne eingezeichnete Elemente, sondern nur mit den Namen der Mengen.

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Schnittmenge von A und B

 

Alternativ zur bildlichen Darstellung kannst du die Elemente einer Menge auch in geschweiften Klammern aufzählen. Im Beispiel gilt also:

A = {Pferd, Hamster, Katze}.

Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle

A = {Katze, Pferd, Hamster} = {Pferd, Hamster, Katze} = {Pferd, Pferd, Hamster, Katze}

Wenn du ein Element öfter als einmal nennst, ändert das auch nichts an der Menge.

Als dritte Möglichkeit kannst du eine Menge A beschreiben, indem du in einer geschweiften Klammer die Eigenschaften der Elemente von A angibst.

Beispiel:

A = {x \in \mathbb{Z} | -100 < x < 100}

Diese Menge enthält alle ganzen Zahlen von -99 bis einschließlich 99.

Vergleich von Mengen

|A|

Die Mächtigkeit oder Kardinalität |A| der Menge A sagt dir, wie viele Elemente die Menge A enthält.

Beispiel: 
Besitzen A = {Hase, Katze, Igel, Vogel, Hund} und B = {2, 4, 6, 8, 10} dieselbe Mächtigkeit?

Lösung:
Ja, denn beide enthalten 5 Elemente, also gilt: |A| = |B| = 5.

Allerdings sind die Mengen dennoch nicht gleich.

A = B

Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jedes Element von A auch in B liegt und umgekehrt.

Beispiel:
Sind A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {5, 4, 3, 2, 1} gleich? 
Sind C = {1, 2, 3, 4} und D = {1, 2, 3} gleich?

Lösung:
A = B, denn A enthält alle Elemente aus B und umgekehrt. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle.
C und D sind aber nicht gleich. C enthält zwar alle Elemente von D, aber umgekehrt trifft das nicht zu.

Mengen Mathe

Jetzt erklären wir dir alle besonderen Mengen, Regeln und Symbole der Mengenlehre.

Besondere Mengen

Eine Menge A heißt Teilmenge von B (Symbol: A \subset B), wenn jedes Element von A auch in B liegt. B heißt dann Obermenge von A.

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Teilmenge A von B

 

Die leere Menge (Symbol: \varnothing) enthält keine Elemente. Sie ist Teilmenge jeder Menge.

Erinnere dich, dass die Elemente einer Menge alles Mögliche sein können (Tiere, Zahlen, …). Die Elemente können also auch selbst wieder Mengen sein.
Die Potenzmenge einer Menge A (Symbol: \mathcal{P}(A)) ist die Menge aller Teilmengen von A. Sie ist also eine Menge, die wiederum Mengen enthält.

Beispiel:
Was ist die Potenzmenge von A = {1, 2, 3}?

Lösung:
Du suchst also alle Teilmengen von {1, 2, 3}.Das sind:

  • \varnothing \subset A, denn die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge
  • \{1\} \subset A, \{2\} \subset A, \{3\} \subset A (Die Mengenklammern brauchen wir, weil es sich ja um Teilmengen handelt)
  • \{1, 2\} \subset A, \{1, 3\} \subset A, \{2, 3\} \subset A, \{1, 2, 3\} \subset A

Also sind diese 8 Teilmengen von A gleichzeitig die Elemente der Potenzmenge von A.

    \[\mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}\]

Schnittmenge

Die Schnittmenge nennt man auch oft den Durchschnitt (Zeichen: \cap) von Mengen.

A \cap B („A geschnitten B“)

Der Durchschnitt von A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B liegen.

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Schnittmenge von A und B

Beispiel:
Was ist der Durchschnitt von A = {1, 2, 3, 4} und B = {2, 4, 6, 8}?

Lösung:

    \[A \cap B = \{2, 4\} \]

Wenn zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, ist ihr Durchschnitt die leere Menge.

    \[A \cap B = \varnothing\]

A und B heißen dann zueinander disjunkt.

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Disjunkte Mengen A und B

Vereinigungsmenge

A \cup B („A vereinigt B“)

Die Vereinigungsmenge von A und B ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen liegen.

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Vereinigungsmenge von A und B

Beispiel:
Was ist die Vereinigungsmenge von A = {1, 2, 3, 4} und B = {2, 4, 6, 8}?

Lösung:

    \[A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}\]

(jedes Element nur einmal, auch wenn es in beiden Mengen vorkommt)

Differenzmenge

A \ B („A ohne B“)

Die Differenzmenge von A und B ist die Menge aller Elemente, die zwar in A, aber nicht in B liegen.

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Differenzmenge von A und B

Beispiel:
Es ist A = {1, 2, 3, 4} und B = {2, 4, 6, 8}. Was ist die Differenzmenge A \ B und was ist B \ A?

Lösung:

    \[A \setminus B = \{1, 3\}\]


    \[B \setminus A = \{6, 8\}\]

A \triangle B („symmetrische Differenz von A und B“)

Die symmetrische Differenz von A und B ist die Menge aller Elemente, die in entweder A oder in B liegen, aber nicht in beiden Mengen zusammen.

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Symmetrische Differenz von A und B

Beispiel:
Was ist die symmetrische Differenz von A = {1, 2, 3, 4} und B = {2, 4, 6, 8}?

Lösung:

    \[A \triangle B = \{1, 3, 6, 8\}\]

Komplement

A^C oder \overline{A} („Komplement von A“)

Das Komplement der Menge A ist die Menge aller Elemente, die nicht in A liegen.

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Komplement der Menge A

Beispiel:
Das Komplement von A = {1, 2, 3, 4} sind streng genommen alle Elemente außer 1, 2, 3 und 4. Aber was sind „alle Elemente“? Um das zu präzisieren, ist häufig eine Obermenge angegeben, auf die du dich beziehen kannst. Zum Beispiel B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

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Komplement der Menge A bezüglich B

Das Komplement von A bezüglich B ist dann genau das gleiche wie die Differenz B \ A.

    \[B \setminus A = \{5, 6, 7, 8\}\]

Zahlenmengen

Die wahrscheinlich wichtigsten Mengen in Mathe sind die Zahlenmengen. Die solltest du in deiner nächsten Prüfung auch kennen. Schaue dir deshalb am besten gleich unser Video dazu an!

Zum Video: Zahlenmengen
Zum Video: Zahlenmengen

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