Was ist der Unterschied zwischen Zähler und Nenner bei einem Bruch?

Der Nenner zeigt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt ist. Der Zähler zeigt, wie viele dieser Teile du meinst. Konkret bedeutet das: Bei gibt der Nenner die Gesamtteile an, und der Zähler die genommenen Teile.

Wie kürze ich einen Bruch richtig?

Einen Bruch kürzt du, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst. Suche dafür eine Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt. Zum Beispiel: . So bleibt der Wert gleich, aber der Bruch wird einfacher.

Wie erweitere ich einen Bruch richtig?

Einen Bruch erweiterst du, indem du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst. Du machst damit die Teile nur anders groß benannt, der Wert bleibt gleich. Zum Beispiel: . Das hilft oft beim Addieren.

Wie addiere ich Brüche mit unterschiedlichen Nennern, zum Beispiel ein viertel plus ein sechstel?

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addierst du, indem du zuerst beide Brüche auf einen gleichen Nenner bringst. Danach addierst du nur die Zähler. Konkret bedeutet das: und . Dann gilt .

Warum macht man beim Teilen durch einen Bruch den zweiten Bruch zum Kehrbruch?

Beim Teilen durch einen Bruch rechnest du mit dem Kehrbruch (Zähler und Nenner vertauscht), weil Division die Umkehrung von Multiplikation ist. Deshalb gilt: . So kannst du immer wie bei einer Multiplikation weiterrechnen.

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Bruchrechnen

Du fragst dich, wie du mit Brüchen rechnest? Hier im Beitrag und im Video erklären wir dir es!

Inhaltsübersicht

Bruchrechnen — Grundlagen

Mit einem Bruch kannst du Zahlen angeben, die zwischen 1, 2, 3, 4, … usw. liegen. Ein Bruch zeigt dir nämlich an, wie viele Teile von einem Ganzen du hast.

Stell dir zum Beispiel vor, du teilst einen Kuchen in 4 gleich große Stücke und isst dann 3 Stücke. Wenn du jetzt angeben willst, wie viel du von dem Kuchen du schon gegessen hast, kannst du das als Bruch schreiben.

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Dafür schreibst du die gegessenen Stücke über den Strich. Die Anzahl, in wie viele Stücke du den Kuchen geteilt hast, schreibst du unter den Bruchstrich.

$\frac{\textcolor{blue}3}{\textcolor{red}4}$

Bruchrechnen — Zähler und Nenner

Ein Bruch besteht also aus zwei Zahlen: Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner. Der Nenner sagt dir, in wie viele Teile das Ganze insgesamt geteilt wurde. In unserem Beispiel wurde der Kuchen in 4 Teile geteilt. Der Nenner ist hier also die 4.

$\frac{3}{\textcolor{red}4}$

Die Zahl über dem Bruchstrich nennst du Zähler. Er sagt dir, wie viele Teile des Ganzen gemeint sind. Du hast 3 Stücke von den 4 Kuchenstücken gegessen. Der Zähler in unserem Beispiel ist also die 3.

$\frac{\textcolor{blue}3}{4}$

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Brüche kürzen und erweitern

Wenn du Brüche kürzt oder erweiterst, kannst du sie einfacher machen und so leichter mit ihnen rechnen oder sie vergleichen.

Brüche kürzen: Wenn du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilst, heißt das kürzen.

$\frac{\textcolor{blue}4}{\textcolor{red}6} = \frac{\textcolor{blue}4:2}{\textcolor{red}6:2}=\frac{\textcolor{blue}2}{\textcolor{red}3}$
Brüche erweitern: Beim Erweitern machst du das Gegenteil. Du multiplizierst beide Zahlen mit derselben Zahl.

$\frac{\textcolor{blue}1}{\textcolor{red}4} = \frac{\textcolor{blue}1\cdot 3}{\textcolor{red}4\cdot 3}=\frac{\textcolor{blue}3}{\textcolor{red}{12}}$

Bruchrechnen — Plus rechnen (Addieren)

Stell dir vor, du hast $\frac{1}{4}$ und ein Freund hat $\frac{2}{4}$ von einem Kuchen. Wenn ihr wissen wollt, wie viel Kuchen ihr zusammen habt, müsst ihr die Brüche addieren.

Bei deinen Brüchen sind die Zahlen unter dem Bruchstrich gleich. Deshalb rechnest du nur die Zähler plus und lässt den Nenner einfach stehen:

$\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{1+2}{4}=\frac{3}{4}$

Zusammen habt ihr also einen $\frac{3}{4}$ Kuchen.

Stell dir nun vor, dein Freund hat nur $\frac{1}{6}$ von seinem Kuchen. Jetzt haben die beiden Brüche unterschiedliche Zahlen unter dem Bruchstrich.

Wenn du die $\frac{1}{4}$ und die $\frac{1}{6}$ addieren willst, musst als Erstes dafür sorgen, dass die Nenner gleich sind. Dazu erweiterst du die Brüche:

$\frac{1}{4} = \frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{3}{12}$

$\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{2}{12}$

Dann kannst du wieder die beiden Zähler plus rechnen und den neuen Nenner 12 einfach stehen lassen.

$\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{3+2}{12}=\frac{5}{12}$

Merke — Brüche addieren

Brüche auf den gleichen Nenner bringen.
Zähler addieren und Nenner stehen lassen.

Bruchrechnen — Minus rechnen (Subtrahieren)

Das Subtrahieren von Brüchen funktioniert sehr ähnlich: Zum Beispiel willst du $\frac{3}{4} -\frac{1}{4}$ rechnen. Bei diesen Brüchen sind die Zahlen unter dem Bruchstrich gleich. Deshalb rechnest du nur die Zähler minus und lässt den Nenner einfach stehen:

$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4}$

Jetzt stell dir vor, die beiden Brüche haben unterschiedliche Zahlen unten, z. B. $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{5}$ . Hier musst du wieder zuerst die Nenner gleich machen, damit du sie subtrahieren kannst. Dazu erweiterst du sie.

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$

Jetzt kannst du die Zähler minus rechnen und den Nenner stehen lassen.

$\frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{5 - 3}{15} = \frac{2}{15}$

Merke — Brüche subtrahieren

Brüche auf den gleichen Nenner bringen.
Zähler subtrahieren und Nenner stehen lassen.

Bruchrechnen — Mal rechnen (Multiplizieren)

Zum Brüche multiplizieren, rechnest du Zähler mal Zähler (Zahlen oben) und Nenner mal Nenner (Zahlen unten). Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2\cdot 3}{3 \cdot 5}=\frac{6}{15}$

Beim Malrechnen ist es also egal, ob die Nenner gleich oder unterschiedlich sind.

Gut zu wissen: Oft kannst du Ergebnisse kürzen, um einen kleineren Bruch zu schreiben. Hierfür teilst du Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler. In unserem Beispiel ist der größte gemeinsame Teiler 3. Du kannst $\frac{6}{15}$ also zu $\frac{2}{5}$ kürzen.

Merke — Brüche multiplizieren

Zähler mal Zähler rechnen.
Nenner mal Nenner rechnen.

Bruchrechnen — Geteilt rechnen (Dividieren)

Wenn du Brüche dividieren möchtest, vertauschst du Zähler und Nenner des zweiten Bruchs. Dann rechnest du ihn mal den ersten:

$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}=\frac{10}{12}$

Schon gewusst? Ein Bruch, bei dem der Zähler und Nenner vertauscht werden, heißt Kehrbruch.

Merke — Brüche dividieren

Kehrbruch des zweiten Bruches bestimmen.
Brüche multiplizieren.

Rechnen mit Brüchen — Zusammenfassung

Hier haben wir dir nochmal zusammengefasst, wie du mit Brüchen rechnest.

Brüche addieren:

Rechne die beiden Zähler (Zahlen oben) zusammen
Wenn die Nenner (Zahlen unten) gleich sind, lass sie stehen
Wenn unten im Nenner verschiedene Zahlen stehen, musst du sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, bevor du die Zähler (Zahlen oben) zusammenrechnest.

Brüche subtrahieren:

Ziehe die Zähler (Zahlen oben) voneinander ab
Wenn die Nenner (Zahlen unten) gleich sind, lass sie stehen
Wenn unten im Nenner verschiedene Zahlen stehen, musst du sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, bevor du die Zähler (Zahlen oben) minus rechnest.

Brüche multiplizieren:

Nimm Zähler mal Zähler (Zahlen oben) und Nenner mal Nenner (Zahlen unten)
Es ist egal, ob unten im Nenner dieselbe Zahl steht oder nicht

Brüche dividieren:

Nimm den ersten Bruch mal den Kehrbruch des zweiten Bruchs
Der Kehrbruch ist ein umgekehrter Bruch, bei dem du die untere und obere Zahl vertauschst.
Es ist egal, ob unten im Nenner dieselbe Zahl steht oder nicht

Bruchrechnen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen Zähler und Nenner bei einem Bruch?

Der Nenner zeigt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt ist. Der Zähler zeigt, wie viele dieser Teile du meinst. Konkret bedeutet das: Bei $\frac{3}{4}$ gibt der Nenner die Gesamtteile an, und der Zähler die genommenen Teile.
Wie kürze ich einen Bruch richtig?

Einen Bruch kürzt du, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst. Suche dafür eine Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt. Zum Beispiel: $\frac{4}{6}=\frac{4\div 2}{6\div 2}=\frac{2}{3}$ . So bleibt der Wert gleich, aber der Bruch wird einfacher.
Wie erweitere ich einen Bruch richtig?

Einen Bruch erweiterst du, indem du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst. Du machst damit die Teile nur anders groß benannt, der Wert bleibt gleich. Zum Beispiel: $\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{3}{12}$ . Das hilft oft beim Addieren.
Wie addiere ich Brüche mit unterschiedlichen Nennern, zum Beispiel ein viertel plus ein sechstel?

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addierst du, indem du zuerst beide Brüche auf einen gleichen Nenner bringst. Danach addierst du nur die Zähler. Konkret bedeutet das: $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$ und $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$ . Dann gilt $\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$ .
Warum macht man beim Teilen durch einen Bruch den zweiten Bruch zum Kehrbruch?

Beim Teilen durch einen Bruch rechnest du mit dem Kehrbruch (Zähler und Nenner vertauscht), weil Division die Umkehrung von Multiplikation ist. Deshalb gilt: $\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$ . So kannst du immer wie bei einer Multiplikation weiterrechnen.

Bruchrechnen Regeln

Jetzt weißt du, wie du mit Brüchen rechnest. Wenn du alle Bruchrechnen Regeln nochmal ausführlich erklärt bekommen willst, dann schau hier unser Video an!

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