Wie hängen ggT und kleinstes gemeinsames Vielfaches zusammen?

ggT und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) hängen zusammen, weil für positive ganze Zahlen gilt: . Deshalb kannst du nach dem ggT das kgV mit berechnen. Konkret: , also .

Wie berechne ich den ggT von mehr als zwei Zahlen, zum Beispiel von 12, 18 und 30?

Den ggT von mehr als zwei Zahlen berechnest du schrittweise, indem du immer zwei Zahlen zusammenfasst: . Zuerst rechnest du . Danach rechnest du . Damit ist .

Wie funktioniert der euklidische Algorithmus Schritt für Schritt an einem konkreten Beispiel?

Den euklidischen Algorithmus führst du aus, indem du wiederholt durch den Rest ersetzt, bis der Rest 0 ist. Konkret: , dann , dann . Der letzte Rest ungleich 0 ist 6, also .

Was ist der ggT, wenn eine der Zahlen 0 ist?

Wenn eine Zahl 0 ist, gilt , weil jede Zahl die 0 ohne Rest teilt. Konkret bedeutet das: . Für gibt es keinen eindeutigen größten Teiler; in vielen Schulaufgaben wird dieser Fall deshalb ausgeschlossen.

Wie kürze ich einen Bruch mit dem ggT?

Einen Bruch kürzt du mit dem ggT, indem du Zähler und Nenner durch den gleichen Teiler teilst. Zum Beispiel ist bei der ggT . Dann gilt und , also .

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Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist der größte gemeinsame Teiler?

(00:11)

Den ggT mit Teilermengen bestimmen

(00:54)

Den ggT mit Primfaktorzerlegung bestimmen

(02:02)

Du möchtest wissen, was der größte gemeinsame Teiler ist und wie du ihn berechnen kannst? Hier und in unserem Video erklären wir es dir!

Inhaltsübersicht

Was ist der größte gemeinsame Teiler?

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(00:11)

Der größte gemeinsame Teiler (kurz ggT) von zwei Zahlen ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind.

➡️ Beispiel:
Der größte gemeinsame Teiler von 4 und 6 ist 2, weil 2 die größte Zahl ist, durch die sowohl 4 als auch 6 teilbar sind.

ggT(4, 6) = 2

Mathematische Schreibweise

Für die Zahlen a und b sieht der größte gemeinsame Teiler so aus:

ggT(a, b)

Den ggT mit Teilermengen bestimmen

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(00:54)

Du kannst den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen mit ihren Teilermengen ermitteln. In unserem Beispiel schauen wir uns dafür 18 und 48 an.

Schritt 1: Stelle die Teilermengen für 18 und 48 auf. Dazu findest du alle Zahlen, durch die sich 18 und 48 teilen lassen.

T₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

T₄₈ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

Schritt 2: Jetzt markierst du alle Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

T₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

T₄₈ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

Schritt 3: Suche die größte deiner markierten Zahlen.

T₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

T₄₈ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

Schritt 4: Die Zahl, die du jetzt gefunden hast, ist der größte gemeinsame Teiler.

ggT(18, 48) = 6

Der größte gemeinsame Teiler von 18 und 48 ist also 6.

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Den ggT mit Primfaktorzerlegung bestimmen

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(02:02)

Mit der Primfaktorzerlegung hast du eine zweite Möglichkeit, mit der du den größten gemeinsamen Teiler berechnen kannst. Schau dir dafür unser Beispiel mit 36 und 66 an.

Schritt 1: Führe die Primfaktorzerlegung durch.

36 = 2 • 2 • 3 • 3

66 = 2 • 3 • 11

Schritt 2: Markiere alle Primfaktoren, die gleichzeitig in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen.

36 = 2 • 2 • 3 • 3

66 = 2 • 3 • 11

Schritt 3: Die markierten gemeinsamen Primfaktoren 2 und 3 musst du jetzt miteinander multiplizieren, um den ggT zu berechnen.

ggT(36, 66) = 2 • 3 = 6

Der ggT von 36 und 66 ist somit 6.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie hängen ggT und kleinstes gemeinsames Vielfaches zusammen?

ggT und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) hängen zusammen, weil für positive ganze Zahlen gilt: $ggT(a,b)\cdot kgV(a,b)=a\cdot b$ . Deshalb kannst du nach dem ggT das kgV mit $kgV(a,b)=\frac{a\cdot b}{ggT(a,b)}$ berechnen. Konkret: , also $kgV(12,18)=\frac{12\cdot 18}{6}=36$ .
Wie berechne ich den ggT von mehr als zwei Zahlen, zum Beispiel von 12, 18 und 30?

Den ggT von mehr als zwei Zahlen berechnest du schrittweise, indem du immer zwei Zahlen zusammenfasst: . Zuerst rechnest du . Danach rechnest du .
Damit ist .
Wie funktioniert der euklidische Algorithmus Schritt für Schritt an einem konkreten Beispiel?

Den euklidischen Algorithmus führst du aus, indem du wiederholt durch den Rest ersetzt, bis der Rest 0 ist. Konkret: $48=2\cdot 18+12$ , dann $18=1\cdot 12+6$ , dann $12=2\cdot 6+0$ . Der letzte Rest ungleich 0 ist 6, also .
Was ist der ggT, wenn eine der Zahlen 0 ist?

Wenn eine Zahl 0 ist, gilt , weil jede Zahl die 0 ohne Rest teilt. Konkret bedeutet das: . Für gibt es keinen eindeutigen größten Teiler; in vielen Schulaufgaben wird dieser Fall deshalb ausgeschlossen.
Wie kürze ich einen Bruch mit dem ggT?

Einen Bruch kürzt du mit dem ggT, indem du Zähler und Nenner durch den gleichen Teiler $d=ggT(\text{Zähler},\text{Nenner})$ teilst. Zum Beispiel ist bei $\frac{42}{56}$ der ggT . Dann gilt $42=14\cdot 3$ und $56=14\cdot 4$ , also $\frac{42}{56}=\frac{3}{4}$ .

Euklidischer Algorithmus

Es gibt noch eine dritte Möglichkeit, wie du den größten gemeinsamen Teiler berechnen kannst: den euklidischen Algorithmus. Wie genau das funktioniert, erfährst du in diesem Video!