Primzahlen einfach erklärt

Was sind Primzahlen?

Primzahlen sind Zahlen, die genau zwei Teiler haben. Sie sind nämlich nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. Beispielsweise ist die Zahl 5 eine Primzahl, weil sie nur durch 1 und durch 5 teilbar ist. 

Außerdem gehören Primzahlen zu den natürlichen Zahlen. Das bedeutet, dass sie positive ganze Zahlen sind.

Die Zahl 2 ist eine ganz besondere Primzahl. Sie ist nicht nur die kleinste, sondern auch die einzige gerade Primzahl. Das liegt daran, dass alle anderen geraden Zahlen durch 2 teilbar sind und somit mindestens drei Teiler haben. Alle anderen Primzahlen sind also ungerade.

Das erkennst du beispielsweise schnell an den Primzahlen bis 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Primzahl — Besonderheiten

Bei manchen Zahlen ist nicht sofort klar, ob sie Primzahlen sind oder nicht. Wie zum Beispiel bei den Zahlen 0 und 1.

• Zahl 0
  Die Zahl 0 kannst du durch 1 teilen. Allerdings ist sie nicht durch sich selbst teilbar. In der Mathematik darfst du nämlich nicht durch 0 teilen. Deswegen ist 0 keine Primzahl.
   
• Zahl 1
  Im Gegensatz dazu ist die Zahl 1 durch sich selbst teilbar. Eine Primzahl muss aber genau zwei Teiler haben. Die 1 hat aber nur einen, nämlich sich selbst. Somit ist 1 keine Primzahl.

Übrigens: Primzahlen, die eine Differenz von 2 zur nächsten Primzahl haben, nennst du Primzahlzwillinge. Das ist beispielsweise bei 11 und 13 der Fall. Wenn auch zur nächsten Primzahl nur eine Zahl liegt, sprichst du von Primzahldrillingen wie zum Beispiel bei 3, 5 und 7. 

Das Sieb des Eratosthenes

Um herauszufinden, welche Primzahlen es gibt, hilft dir das Sieb des Eratosthenes. Mithilfe dieser Methode erkennst du in einem bestimmten Zahlenbereich alle Primzahlen, die sich darin befinden. 

Beispielsweise möchtest du alle Primzahlen von 1 bis 20 bestimmen. Dazu gehst du folgendermaßen vor:

1. Schreibe alle Zahlen von 1 bis 20 auf.
    
2. Da die Zahl 1 keine Primzahl ist, streichst du sie durch oder lässt sie weg.
    
   2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
    
3. Die Zahl 2 ist eine Primzahl, da sie durch 1 und sich selbst teilbar ist. Markiere die 2 als Primzahl. Streiche alle Vielfachen von 2, da sie mindestens drei Teiler haben: 1, 2 und sich selbst. Deshalb können diese Zahlen auf keinen Fall eine Primzahl sein. 
    
   2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
    
4. Die nächste Zahl ist die 3. Sie ist ebenfalls eine Primzahl. Also markierst du sie. Streiche alle Vielfachen von 3.
    
   2 3 5 7 9 11 13 15 17 19
    
5. Als Nächstes kommt die 5. Sie ist eine Primzahl, deshalb markierst du sie. Streiche alle Vielfachen von 5. In diesem Fall wurden schon alle entfernt.
    
   2 3 5 7 11 13 17 19
    
6. Danach folgt die 7. Da sie eine Primzahl ist, markierst du sie. Streiche alle Vielfachen von 7. Auch hier sind keine mehr vorhanden.
    
   2 3 5 7 11 13 17 19
    
7. Auch die nächste Zahl 11 ist eine Primzahl. Deshalb markierst du sie. Alle Vielfachen von 11 sind größer als 20. Aus dem Grund kannst du keine Zahlen mehr aus der Reihe streichen. Somit ist das Vorgehen beendet. Alle Zahlen, die du noch übrig hast, sind Primzahlen.
    
   2 3 5 7 11 13 17 19

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Tipp: Wie du mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen bis 100 bestimmst, erklären wir dir hier!

Die Teilbarkeitsregeln

Die Teilbarkeitsregeln helfen dir herauszufinden, ob eine bestimmte Zahl eine Primzahl ist oder nicht. Dazu überprüfst du, ob die Zahl durch 2, 3, 4, 5 und so weiter teilbar ist. Sobald du einen Teiler gefunden hast, der nicht 1 oder die Zahl selbst ist, ist die Zahl keine Primzahl. Du merkst dir also:

• Genau zwei Teiler (1 und sich selbst): ✓ Primzahl
• Mehr als zwei Teiler: ✗ keine Primzahl

Schau dir dazu ein paar Beispiele an:

Beispiel 1: Ist 58 eine Primzahl?

• Teilbarkeit durch 2:
  Die Zahl 58 ist durch 2 teilbar, weil sie eine gerade Zahl ist. Somit hat die Zahl drei Teiler: 1, 2 und 58. Außerdem sind alle Primzahlen bis auf die 2 ungerade. 58 ist also keine Primzahl. 

Beispiel 2: Ist 123 eine Primzahl?

• Teilbarkeit durch 2:
  Die Zahl 123 ist ungerade und nicht durch 2 teilbar. 
   
• Teilbarkeit durch 3:
  Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Die Quersumme einer Zahl berechnest du, indem du ihre Ziffern addierst. Demnach ist die Quersumme von 123 also 6. Die 6 ist durch 3 teilbar. Deswegen ist auch die Zahl 123 durch 3 teilbar.  

  Die Zahl 123 ist keine Primzahl, da du schon mehr als zwei Teiler gefunden hast: 1, 3 und 123.

Beispiel 3: Ist 11 eine Primzahl?

• Teilbarkeit durch 2: 
  11 ist eine ungerade Zahl und deswegen nicht nur 2 teilbar.
   
• Teilbarkeit durch 3:
  Die Quersumme von 11 ist 2. Die 2 ist nicht durch 3 teilbar. Daran erkennst du, dass die auch 11 nicht durch 3 teilbar ist.
   
• Teilbarkeit von 4:
  Aus dem 4er-Einmaleins weißt du, dass 11 kein Vielfaches von 4 ist. Deswegen ist 4 auch kein Teiler von 11.
   
• Teilbarkeit durch 5:
  Alle Zahlen, die durch 5 teilbar sind, haben eine 0 oder eine 5 als letzte Ziffer. Die Zahl 11 ist also nicht durch 5 teilbar.
    
• Teilbarkeit durch 6:
  Wie bei der Teilbarkeit durch 3, hilft dir die Quersumme auch bei der Teilbarkeit durch 6. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn die Quersumme durch 6 teilbar und gleichzeitig gerade ist. Die Quersumme von 11 ist 2. Die 2 ist zwar gerade, aber nicht durch 6 teilbar. Deswegen ist 11 auch nicht durch 6 teilbar.
    
• Teilbarkeit durch 7:
  Du weißt aus dem 7er-Einmaleins, dass 11 kein Vielfaches von 7 ist, weil das Doppelte von 7 schon größer als 11 ist, nämlich 14. Deshalb ist 11 auch nicht ohne Rest durch 7 teilbar.
   
  Jetzt weißt du sicher, dass es keine weiteren Teiler der 11 gibt. Die Zahl 11 ist also nur durch 1 und sich selbst teilbar. Deshalb ist sie eine Primzahl.

Übrigens: Für Rechnungen und Übungen ist es manchmal hilfreich, alle Primzahlen bis 1000 zu kennen. Wie sie lauten, erfährst du hier!  

Primfaktorzerlegung

Jede natürliche Zahl  ist entweder eine Primzahl oder lässt sich mit ein Produkt von Primzahlen berechnen (Primfaktoren). Den Vorgang nennst du auch Primfaktorenzerlegung. Das kann beispielsweise so aussehen:

220 = 2 • 110

220 = 2 • 2 • 55

220 = 2 • 2 • 5 • 11 

Eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Anleitung und Übungsaufgaben zum warm werden findest du hier!

Primzahlen — häufigste Fragen

• Ist 1 eine Primzahl?
  Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Auf den ersten Blick scheint sie eine zu sein: Sie ist sowohl durch 1 als auch durch sich selbst teilbar. Jedoch muss eine Primzahl genau zwei Teiler haben. Die Zahl 1 hat nur einen, nämlich 1.
   
• Gibt es eine gerade Primzahl?
  Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen sind durch 2 teilbar und sind somit keine Primzahlen, da sie mindestens drei Teiler haben. Außerdem ist die Zahl 2 auch die kleinste Primzahl.
   
• Wie erkenne ich eine Primzahl anhand der Quersumme?
  Wenn die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl gerade ist, ist die Zahl durch 2 teilbar. Somit ist die Zahl keine Primzahl. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme ein Vielfaches von 3 ergibt. Auch dann ist die Zahl keine Primzahl.