Was ist der Dreisatz in Mathe, und wann brauche ich ihn im Alltag?

Den Dreisatz nutzt du, wenn du aus einem bekannten Verhältnis einen passenden anderen Wert berechnen willst. Deshalb hilft er dir bei Alltagssachen wie Preis und Menge, Zutaten im Rezept oder Zeit und Geschwindigkeit. Du rechnest dabei erst auf 1 Einheit um und danach auf den Zielwert.

Wie erkenne ich bei einer Aufgabe sicher, ob der Zusammenhang proportional oder antiproportional ist?

Ob ein Zusammenhang proportional oder antiproportional ist, erkennst du an der Richtung: Proportional heißt mehr–mehr oder weniger–weniger. Antiproportional heißt mehr–weniger oder weniger–mehr. Danach prüfst du kurz: Proportional bleibt der Quotient konstant, antiproportional bleibt das Produkt konstant.

Wie rechne ich einen proportionalen Dreisatz Schritt für Schritt, wenn ich von einem bekannten Wert auf einen anderen Wert umrechnen muss?

Einen proportionalen Dreisatz rechnest du, indem du zuerst auf 1 Einheit umrechnest und danach auf den Zielwert hochrechnest. Konkret bedeutet das: 500 g kosten 17 €, also kostet 1 g . Danach rechnest du .

Wie rechne ich einen antiproportionalen Dreisatz Schritt für Schritt, ohne die Vorzeichenrichtung zu verwechseln?

Einen antiproportionalen Dreisatz rechnest du, indem du immer entgegengesetzt rechnest: Multiplizierst du Größe A mit dem Faktor , dann teilst du Größe B durch . Daher hilft die Regel . Zum Beispiel: , also bei gilt .

Wie prüfe ich beim proportionalen Dreisatz mit der Quotientengleichheit, ob mein Ergebnis stimmen kann?

Beim proportionalen Dreisatz prüfst du mit der Quotientengleichheit, ob der Quotient in jeder Tabellenzeile gleich ist. Dazu rechnest du immer „zugeordneter Wert geteilt durch Grundwert“. Beispiel: , , . Stimmen alle Quotienten, passt dein Ergebnis.

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Dreisatz einfach erklärt

Den Dreisatz brauchst du in Mathe genauso wie im Alltag. Wie er funktioniert, erklären wir dir hier und in unserem Video. Schritt für Schritt!

Inhaltsübersicht

Dreisatz einfach erklärt

Der Dreisatz ist ein nützliches Verfahren in Mathe. Denn mit ihm kannst du aus zwei gegebenen Größen eine fehlende Größe berechnen. Dazu brauchst du nur drei Schritte — daher der Name „Dreisatz“.

Beispiel: An der Käsetheke bezahlst du 17 € für 500 g Käse. Hier wird also einer Menge (kg/g) ein Preis (€) zugeordnet .

Nun möchtest du aber kein halbes Kilo Käse kaufen, sondern nur 200 Gramm. Doch wie viel musst du dafür bezahlen? Das berechnest du mit dem Dreisatz:

1. Schritt: Du weißt, dass du 500 g Käse für 17 € bekommst.
2. Schritt: Berechne, was 100 g Käse kosten. Dafür rechnest du auf beiden Seiten durch 5.
500 g : 5 = 100 g
17 € : 5 = 3,40 € → 100 g Käse kosten 3,40 €
3. Schritt: Berechne jetzt, was 200 g Käse kosten. Dafür rechnest du auf beiden Seiten mal 2.
100 g • 2 = 200 g
3,40 € • 2 = 6,80 € → 200 g Käse kosten 6,80 €

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Hierbei handelt es sich um einen proportionalen Zusammenhang. Daneben gibt es aber auch noch den umgekehrten Fall — den antiproportionalen Zusammenhang. Was beides bedeutet, schauen wir uns im Folgenden genauer an.

Dreisatz — proportional & antiproportional

Beim Dreisatz unterscheidest du zwischen dem proportionalen und dem antiproportionalen Zusammenhang. Bevor du also den Dreisatz anwenden kannst, musst du prüfen, um welches der beiden Verhältnisse es sich handelt.

Beim proportionalen Verhältnis gilt die Regel: „Je mehr, desto mehr“ oder „Je weniger, desto weniger“. Das siehst du auch an unserem Beispiel an der Käsetheke:

Je mehr Käse du kaufst, desto mehr Geld musst du bezahlen.
Je weniger Käse du kaufst, desto weniger Geld musst du bezahlen.

Beispiele für den proportionalen Zusammenhang sind:

Menge und Preis: Je mehr von einem Produkt du kaufst, desto mehr musst du ausgeben.
Rezept und Zutaten: Je mehr Kuchen du backst, desto mehr Mehl brauchst du.

Beim antiproportionalen Zusammenhang sieht das anders aus. Es gilt: „Je mehr, desto weniger“ oder „Je weniger, desto mehr“. Ein Beispiel dafür ist das Verhältnis zwischen der Internetverbindung und der Downloadzeit:

Je schneller die Internetverbindung, desto kürzer die Downloadzeit.
Je langsamer die Internetverbindung, desto länger die Downloadzeit.

Weitere antiproportionale Zusammenhänge sind zum Beispiel:

Geschwindigkeit und Fahrzeit: Je schneller du fährst, desto weniger Zeit benötigst du für die Strecke.
Arbeitsdauer und Anzahl der Arbeiter: Je mehr Arbeiter eine Aufgabe erledigen, desto weniger Zeit benötigen sie dafür.

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Proportionaler Zusammenhang — Beispiel

Der proportionale Dreisatz ist der normale Dreisatz, den du jetzt schon vom Einkaufen kennst: Je mehr du von etwas kaufst, desto mehr musst du auch bezahlen. Schauen wir uns noch ein anderes Beispiel zum proportionalen Zusammenhang an:

Du möchtest einen Kuchen für 4 Personen backen. Das Rezept besagt, dass du für 6 Personen 390 g Mehl benötigst. Wie viel Mehl brauchst du also für 4 Personen?

Erstelle eine Tabelle mit zwei Spalten. Links schreibst du die Anzahl der Personen hin und rechts die Menge Mehl in Gramm. In die Tabelle fügst du dann die Werte ein, die du schon kennst: 390 g für 6 Personen.
Nun berechnest du in einem Zwischenschritt, wie viel Mehl für nur eine Person notwendig ist. Dafür rechnest du beide bekannten Größen durch 6:
390 g : 6 = 65 g → Für eine Person brauchst du also 65 g Mehl.
Um jetzt zu bestimmen, wie viel Mehl für 4 Personen notwendig ist, multiplizierst du auf beiden Seiten mit 4:
65 g • 4 = 260 g → Für deinen Kuchen für 4 Personen brauchst du nur 260 g Mehl.

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Probe — Quotientengleichheit

Mit der Quotientengleichheit kannst du prüfen, ob es sich bei deiner Berechnung wirklich um einen proportionalen Zusammenhang handelt. Dabei berechnest du für jede Zeile deiner Tabelle den Quotienten. Wenn es eine proportionale Zuordnung ist, ist der Quotient immer gleich:

390 : 6 = 65
65 : 1 = 65
260 : 4 = 65

Tipp: Du kannst den proportionalen Dreisatz auch schneller mit Brüchen lösen. Für unser Kuchen-Beispiel sieht das so aus: $\frac{390g}{6} = \frac{x}{4}$ . Das löst du nach x auf, indem du mit 4 multiplizierst: $x = \frac{390g \cdot 4}{6} = 260g$ .

Antiproportionaler Zusammenhang — Beispiel

Handelt es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang, sieht die Dreisatz-Rechnung etwas anders aus.

Du fährst mit dem Fahrrad zum See. Mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h brauchst du 2,5 Stunden für die Strecke. Wie schnell müsstest du fahren, wenn du die Strecke in nur 2 Stunden schaffen möchtest?

Erstelle eine Tabelle mit zwei Spalten für die Fahrzeit und die Geschwindigkeit. Dort fügst du dann die Werte ein, die du schon kennst: 2,5 h mit 12 km/h.
Für den Zwischenschritt berechnest du nun, wie schnell du fahren müsstest, um die Strecke in einer Stunde zu schaffen. Dafür rechnest du die Zeit durch 2,5, aber die Geschwindigkeit mal 2,5. Denn wenn die Zeit sinkt, muss die Geschwindigkeit steigen:
2,5 h : 2,5 = 1 h
12 km/h • 2,5 = 30 km/h → Um in 1 h am See zu sein musst du 30 km/h schnell fahren.
Jetzt kannst du bestimmen, wie schnell du fahren musst, um in 2 Stunden am See zu sein. Auch hier rechnest du wieder antiproportional: Die Zeit multiplizierst du mit 2. Für die Geschwindigkeit rechnest du jedoch durch 2:
1 h • 2 = 2 h
30 km/h : 2 = 15 km/h → Wenn du 15 km/h schnell fährst, bist du in 2 Stunden am See.

Probe — Produktgleichheit

Auch einen antiproportionalen Zusammenhang kannst du überprüfen. Nämlich mit der Produktgleichheit. Handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung ist, ist das Produkt immer gleich:

2,5 • 12 = 30
1 • 30 = 30
2 • 15 = 30

Dreisatz einfach erklärt — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Dreisatz in Mathe, und wann brauche ich ihn im Alltag?

Den Dreisatz nutzt du, wenn du aus einem bekannten Verhältnis einen passenden anderen Wert berechnen willst. Deshalb hilft er dir bei Alltagssachen wie Preis und Menge, Zutaten im Rezept oder Zeit und Geschwindigkeit. Du rechnest dabei erst auf 1 Einheit um und danach auf den Zielwert.
Wie erkenne ich bei einer Aufgabe sicher, ob der Zusammenhang proportional oder antiproportional ist?

Ob ein Zusammenhang proportional oder antiproportional ist, erkennst du an der Richtung: Proportional heißt mehr–mehr oder weniger–weniger. Antiproportional heißt mehr–weniger oder weniger–mehr. Danach prüfst du kurz: Proportional bleibt der Quotient konstant, antiproportional bleibt das Produkt konstant.
Wie rechne ich einen proportionalen Dreisatz Schritt für Schritt, wenn ich von einem bekannten Wert auf einen anderen Wert umrechnen muss?

Einen proportionalen Dreisatz rechnest du, indem du zuerst auf 1 Einheit umrechnest und danach auf den Zielwert hochrechnest. Konkret bedeutet das: 500 g kosten 17 €, also kostet 1 g $\frac{17\,\text{€}}{500\,\text{g}}$ . Danach rechnest du $\frac{17\,\text{€}}{500\,\text{g}}\cdot 200\,\text{g} = 6{,}80\,\text{€}$ .
Wie rechne ich einen antiproportionalen Dreisatz Schritt für Schritt, ohne die Vorzeichenrichtung zu verwechseln?

Einen antiproportionalen Dreisatz rechnest du, indem du immer entgegengesetzt rechnest: Multiplizierst du Größe A mit dem Faktor , dann teilst du Größe B durch . Daher hilft die Regel $t\cdot v = \text{konstant}$ . Zum Beispiel: $2{,}5\,\text{h}\cdot 12\,\text{km/h} = 30$ , also bei $t=2\,\text{h}$ gilt $v=\frac{30}{2}=15\,\text{km/h}$ .
Wie prüfe ich beim proportionalen Dreisatz mit der Quotientengleichheit, ob mein Ergebnis stimmen kann?

Beim proportionalen Dreisatz prüfst du mit der Quotientengleichheit, ob der Quotient in jeder Tabellenzeile gleich ist. Dazu rechnest du immer „zugeordneter Wert geteilt durch Grundwert“. Beispiel: $\frac{390\,\text{g}}{6}=65\,\text{g}$ , $\frac{65\,\text{g}}{1}=65\,\text{g}$ , $\frac{260\,\text{g}}{4}=65\,\text{g}$ . Stimmen alle Quotienten, passt dein Ergebnis.