Woran erkenne ich, ob zwei Brüche gleich groß sind, ohne beide komplett zu erweitern?

Ob zwei Brüche gleich groß sind, erkennst du mit dem Kreuzprodukt-Vergleich. Vergleiche bei und die Produkte und . Sind sie gleich, sind die Brüche gleich. Konkret: und , denn und .

Wie finde ich den Hauptnenner schneller mit der Primfaktorzerlegung, statt alle Vielfachen aufzuschreiben?

Den Hauptnenner findest du mit Primfaktorzerlegung, indem du alle Nenner in Primfaktoren zerlegst und von jeder Primzahl die höchste Potenz nimmst. Konkret: und . Daher ist der Hauptnenner . Damit machst du beide Brüche schnell gleichnamig.

Wie erweitere ich einen gemischten Bruch wie 1 und ein halb?

Einen gemischten Bruch erweiterst du, indem du ihn zuerst in einen unechten Bruch umwandelst. Aus wird , weil und . Danach erweiterst du normal, zum Beispiel mit : .

Was mache ich, wenn ich nach dem Erweitern einen Bruch bekomme, den ich direkt wieder kürzen könnte?

Wenn du nach dem Erweitern wieder kürzen könntest, ist das kein Fehler, sondern nur unnötig groß gerechnet. Du kannst den Bruch danach kürzen, wenn du ihn einfach nur vereinfachen willst. Konkret: erweitert mit ergibt , und gekürzt wird wieder . Beim Addieren lässt du den gemeinsamen Nenner aber stehen.

Wie erweitere ich Brüche mit negativen Zahlen, zum Beispiel minus 2 Drittel?

Brüche mit negativen Zahlen erweiterst du genauso, nur das Minus bleibt am Zähler. Schreibe zum Beispiel als . Danach multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Konkret mit : . So bleibt der Wert gleich, nur die Stücke werden kleiner.

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Brüche erweitern

Wichtige Inhalte in diesem Video

Wie erweitert man Brüche?

(00:12)

Erweitern von Brüchen

(01:13)

Erweiterungszahl ermitteln

(01:37)

Brüche auf einen Hauptnenner erweitern

(02:49)

In diesem Video zeigen wir dir, wie du Brüche erweitern kannst und was du dabei beachten musst. Du möchtest anschauliche Beispiele sehen? Dann guck dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Wie erweitert man Brüche?

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(00:12)

Du erweiterst einen Bruch, indem du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizierst.

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Dabei verändert sich der Wert des Bruchs nicht: Es ist egal, ob du bei einer Pizza 1 von 3 Stücken nimmst oder 2 von 6 Stücken — du hast beides mal gleich viel Pizza!

Schau dir jetzt an, wie genau du einen Bruch erweitern kannst.

Erweitern von Brüchen

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(01:13)

Du sollst zum Beispiel den Bruch $\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}}$ mit 3 erweitern.

Dazu musst du Zähler und Nenner mit 3 multiplizieren. Du rechnest also:

im Zähler: 2 ⋅ 3 = 6
im Nenner: 3 ⋅ 3 = 9.

$\cfrac{\textcolor{blue}{2}\textcolor{teal}{\,\cdot3}}{\textcolor{red}{3}\textcolor{teal}{\,\cdot3}} = \cfrac{6}{9}$

Dabei erhältst du den neuen Bruch $\frac{6}{9}$ .

Achtung: Mit 0 darfst du nie erweitern!

Hinweis: Kürzen und Erweitern von Brüchen

Das Gegenteil vom Erweitern ist das Kürzen. Dabei teilst du im Zähler und im Nenner durch die gleiche Zahl. Wie das geht, zeigen wir dir weiter unten in diesem Artikel.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Erweiterungszahl ermitteln

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(01:37)

Bisher haben wir dir die Erweiterungszahl vorgegeben. Normalerweise musst du sie allerdings selbst herausfinden. Um Brüche zu addieren und zu subtrahieren , müssen sie den gleichen Nenner haben.

Beispiel 1

Bringe die Brüche $\frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{3}}$ und $\frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{9}}$ auf einen Nenner.

Dazu überlegst du dir zunächst, ob es eine Zahl gibt, mit der du den kleineren Nenner 3 malnehmen kannst, sodass er 9 wird. Da 3 ⋅ 3 = 9 ist, kannst du den Bruch $\frac{1}{3}$ mit 3 erweitern.

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Du hast die Brüche nun auf den gemeinsamen Nenner 9 gebracht.

Beispiel 2

Bringe die Brüche $\frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{6}}$ und $\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{5}}$ auf einen Nenner.

Wenn dir nicht direkt ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner auffällt, kannst du die Brüche auch einfach mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitern.

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Jetzt haben beide Brüche den gleichen Nenner 30.

Brüche auf einen Hauptnenner erweitern

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(02:49)

Wenn du Brüche addieren und subtrahieren willst, musst du sie auf ihren Hauptnenner erweitern.

Schau dir gleich ein Beispiel dazu an: Die Brüche $\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4}}$ und $\frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{3}}$ sollen auf einen Hauptnenner gebracht werden. Der Hauptnenner ist die kleinste Zahl, die in der 3er-Reihe und in der 4er-Reihe vorkommt (kleinstes gemeinsames Vielfaches).

1. Notiere dir alle Vielfachen der Nenner (3er- und 4er-Reihe)

Vielfache von 4: { 4, 8, 12, 16, 20, …}

Vielfache von 3: {3, 6, 9, 12, 15, …}

2. Finde die kleinste Zahl, die in beiden Aufzählungen vorkommt:

Vielfache von 4: { 4, 8, 12, 16, 20, …}

Vielfache von 3: {3, 6, 9, 12, 15, …}

Die 12 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 3. Du kannst also auf den Hauptnenner 12 erweitern.

3. Erweitere die Brüche auf den Hauptnenner 12

Der Bruch $\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4}}$ bekommt den Nenner 12, wenn du ihn mit 3 erweiterst, da 4 ⋅ 3 = 12 ist.

$\cfrac{\textcolor{blue}{2}\textcolor{teal}{\,\cdot3}}{\textcolor{red}{4}\textcolor{teal}{\,\cdot3}} = \cfrac{6}{\textcolor{orange}{12}}$

Den Bruch $\frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{3}}$ musst du nun mit 4 erweitern.

$\cfrac{\textcolor{blue}{1}\textcolor{teal}{\,\cdot4}}{\textcolor{red}{3}\textcolor{teal}{\,\cdot4}} = \cfrac{4}{\textcolor{orange}{12}}$

Brüche erweitern und kürzen

Um Brüche auf einen Nenner zu bringen, kannst du sie Erweitern und Kürzen. Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Beim Erweitern werden aus wenigen großen Stücken, mehrere kleine Stücke. Beim Kürzen fügst du die vielen kleinen Stücke wieder zu wenigen großen Stücken zusammen.

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Grundsätzlich verändert sich der Wert der Brüche beim Erweitern und Kürzen nicht. Es macht also keinen Unterschied, ob du $\frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{2}}$ , $\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4}}$ oder $\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{8}}$ von einer Pizza bekommst.

Brüche erweitern — häufigste Fragen

(ausklappen)

Woran erkenne ich, ob zwei Brüche gleich groß sind, ohne beide komplett zu erweitern?

Ob zwei Brüche gleich groß sind, erkennst du mit dem Kreuzprodukt-Vergleich. Vergleiche bei $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ die Produkte $a\cdot d$ und $c\cdot b$ . Sind sie gleich, sind die Brüche gleich. Konkret: $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{6}$ , denn $2\cdot 6=12$ und $4\cdot 3=12$ .
Wie finde ich den Hauptnenner schneller mit der Primfaktorzerlegung, statt alle Vielfachen aufzuschreiben?

Den Hauptnenner findest du mit Primfaktorzerlegung, indem du alle Nenner in Primfaktoren zerlegst und von jeder Primzahl die höchste Potenz nimmst. Konkret: $12=2^2\cdot 3$ und $18=2\cdot 3^2$ . Daher ist der Hauptnenner $2^2\cdot 3^2=36$ . Damit machst du beide Brüche schnell gleichnamig.
Wie erweitere ich einen gemischten Bruch wie 1 und ein halb?

Einen gemischten Bruch erweiterst du, indem du ihn zuerst in einen unechten Bruch umwandelst. Aus $1\frac{1}{2}$ wird $\frac{3}{2}$ , weil $1=\frac{2}{2}$ und $\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ . Danach erweiterst du normal, zum Beispiel mit : $\frac{3}{2}=\frac{12}{8}$ .
Was mache ich, wenn ich nach dem Erweitern einen Bruch bekomme, den ich direkt wieder kürzen könnte?

Wenn du nach dem Erweitern wieder kürzen könntest, ist das kein Fehler, sondern nur unnötig groß gerechnet. Du kannst den Bruch danach kürzen, wenn du ihn einfach nur vereinfachen willst. Konkret: $\frac{1}{2}$ erweitert mit ergibt $\frac{2}{4}$ , und gekürzt wird wieder $\frac{1}{2}$ . Beim Addieren lässt du den gemeinsamen Nenner aber stehen.
Wie erweitere ich Brüche mit negativen Zahlen, zum Beispiel minus 2 Drittel?

Brüche mit negativen Zahlen erweiterst du genauso, nur das Minus bleibt am Zähler. Schreibe zum Beispiel $-\frac{2}{3}$ als $\frac{-2}{3}$ . Danach multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Konkret mit : $\frac{-2}{3}=\frac{-10}{15}$ . So bleibt der Wert gleich, nur die Stücke werden kleiner.

Bruch kürzen

Schau dir zum Beispiel den Bruch $\frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{8}}$ an. Den sollst du mit 2 kürzen.

Dafür teilst du den Zähler und den Nenner durch 2. Du rechnest also:

im Zähler: 6 : 2 = 3
im Nenner: 8 : 2 = 4.

Dein gekürzter Bruch ist also $\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}$ . Die 2 nennst du übrigens Kürzungszahl.

Um das Thema Erweitern und Kürzen richtig zu verstehen, schau dir unbedingt unser Video zum Brüche kürzen an! Dort erfährst du nicht nur, wie Kürzen funktioniert, sondern lernst auch, wie man einen Bruch vollständig kürzt. Viel Spaß!