Zahlenmengen
Es gibt viele verschiedene Arten von Zahlen wie die natürlichen Zahlen, negative Zahlen, ganze Zahlen, Rationale Zahlen, irrationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexen Zahlen. Das sind die Zahlenmengen. Hier zeigen wir dir, welche Zahlenmengen es gibt und wie sie sich unterscheiden. Schaue dir auch unser passendes Video an!
Inhaltsübersicht
Zahlenmengen einfach erklärt
Zahlenmengen unterteilen alle Zahlen in fest definierte Gruppen. Jede dieser Untermengen hat ihre eigenen Eigenschaften und Merkmale.
Alle haben aber gemeinsam, dass sie aufeinander aufbauen: Die kleinste Gruppe sind die Natürlichen Zahlen 
, danach kommen die natürlichen Zahlen mit 0 
, die ganzen Zahlen 
und die rationalen Zahlen 
. Zusammen mit den irrationalen Zahlen 
ergeben sie die reellen Zahlen 
. Zuletzt erweiterst du die reellen mit den imaginären Zahlen zu den komplexen Zahlen 
. Du siehst: Jede Zahlenmenge ist in der nächstgrößeren ganz enthalten.
![\[ \textcolor{blue}{\mathbb{N}} \subset \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} \subset \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} \subset \textcolor{red}{\mathbb{Q}} \subset \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} \subset \textcolor{green}{\mathbb{C}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1fa50144ae455be4d3959a50eccf5846_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du kannst dir zu den Zahlenmengen also merken: Eine Zahlenmenge umfasst eine fest definierte Menge an Zahlen, mit denen du rechnen kannst. Mit der Zahlenmenge kannst du zum Beispiel festlegen, welche Zahlen in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Natürliche Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen
heißt natürlich, weil du mit ihnen Dinge aus der Natur abzählen kannst. Du kannst zum Beispiel die Zahl von Bäumen oder Steinen mit einer natürlichen Zahl angeben. Ihr Mengensymbol ist .
![\[ \textcolor{blue}{\mathbb{N}} = \{ 1; 2; 3; 4; \dots \} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b499b3bd7d761fcaf97a432a5208c44_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ist 0 eine natürliche Zahl? Das wird unter Mathematikern noch diskutiert. Wenn du auf Nummer sicher gehen willst, kannst du die Menge der natürlichen Zahlen mit 0 als aufschreiben.
![\[ \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} = \{0; 1; 2; 3; 4; \dots \} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d26a5ae475442fd30aef397860a9446b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ganze Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen
enthält die Zahl 0, alle natürliche Zahlen und ihre Gegenzahlen. Die Gegenzahlen sind die natürlichen Zahlen mit negativem Vorzeichen. Das Symbol der natürlichen Zahlen ist .
![\[ \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} = \{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots\} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62a5c7d7890fefd394ed535276a7d699_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Rationale Zahlen
Die Menge der rationalen Zahlen
enthält alle ganzen Zahlen und Brüche aus ganzen Zahlen. Das sind Brüche, die im Nenner und im Zähler eine ganze Zahl stehen haben. Die rationalen Zahlen werden mit einem abgekürzt. Nicht vergessen: Du kannst die Brüche auch als Dezimalzahlen
schreiben (
).
![\[ \textcolor{red}{\mathbb{Q}} = \{\dots; -2\frac{1}{4}; -\frac{7}{8}; 0; 1; 0,\bar{3} ;\dots\}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a38a57feb40c2d7bca09ad4ad38fa463_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Irrationale Zahlen
Die Menge der irrationalen Zahlen
sind alle Zahlen, die nicht rational sind. Sie lassen sich also nicht als ein Bruch ganzer Zahlen schreiben. Irrationale Zahlen sind nicht periodisch und nicht abbrechend. Das bedeutet, sie haben unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht mit einem regelmäßigen Muster wiederholen. Das ist zum Beispiel bei pi oder der eulerschen Zahl e der Fall. Das Symbol der irrationalen Zahlen ist .
![\[ \textcolor{orange}{\mathbb{I}} = \{\dots; -\sqrt{2}; \mathrm{e}; \pi; \dots\} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90240d63535f82353fa5a825eedf00a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Reelle Zahlen
Die Menge der reellen Zahlen
besteht aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen. Hier musst du auf die Rechtschreibung achten (reelle Zahl, nicht reele Zahl oder reele Zahlen). Die reellen Zahlen werden mit einem abgekürzt.
![\[ \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} = \textcolor{red}{\mathbb{Q}}\cup\textcolor{orange}{\mathbb{I}} = \{ \dots; -2\frac{1}{4}; -\sqrt{2}; -\frac{7}{8}; 0; 1 ; 0,\bar{3}; \mathrm{e}; \pi; \dots \} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ad564ae40062abe3796ae2d6add9db5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Komplexe Zahlen
Die Menge der komplexen Zahlen
besteht aus den reellen Zahlen und den imaginären Zahlen
. Das Symbol der komplexen Zahlen ist ein .
Komplexe Zahlen haben die Form 
. a und b sind reelle Zahlen. Sie bestehen aus einem Realteil a (einer reellen Zahl) und einem Imaginärteil bi (einer imaginären Zahl). Mit den komplexen Zahlen kannst du negative Wurzeln berechnen, denn für die imaginäre Einheit i gilt: 
.
![\[ \textcolor{green}{\mathbb{C}} = \{ \dots; \mathrm{e}^{\mathrm{i\pi}}; -5+2\mathrm{i};0; \sqrt{-1}; 3; 4\mathrm{i}; \dots } \} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1a09832f6fe1ed940f7e5219aa17cc0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wenn du mehr zu den komplexen Zahlen erfahren möchtest, sieh dir unser Video dazu an!
