Was ist ein Doppelbruch, und woran erkenne ich, dass es ein Bruch im Bruch ist?

Einen Doppelbruch erkennst du daran, dass im Zähler oder im Nenner (oder in beiden) wieder ein Bruch steht. Typisch ist die Schreibweise „Bruch im Bruch“, zum Beispiel . Achte auf die zwei übereinanderstehenden Bruchstriche.

Wie löse ich einen Doppelbruch Schritt für Schritt, wenn im Zähler und im Nenner jeweils ein Bruch steht?

Einen Doppelbruch löst du, indem du ihn als Division zweier Brüche schreibst und dann mit dem Kehrwert des unteren Bruchs multiplizierst. Konkret: .

Warum wird beim Auflösen eines Doppelbruchs aus „geteilt durch einen Bruch“ plötzlich „mal den Kehrwert“?

„Geteilt durch einen Bruch“ wird zu „mal den Kehrwert“, weil Division die Umkehrung der Multiplikation ist. Du suchst also eine Zahl, die mit dem Divisor wieder den Ausgangswert ergibt. Deshalb gilt: , wobei der Kehrwert ist.

Wie rechne ich einen unvollständigen Doppelbruch aus, wenn nur im Nenner ein Bruch steht, zum Beispiel 6 geteilt durch (2 Drittel)?

Einen unvollständigen Doppelbruch mit Bruch im Nenner rechnest du wie eine Bruchdivision, nur dass du die ganze Zahl zuerst als Bruch schreibst. Beispiel: .

Wie löse ich einen Doppelbruch mit Variablen, wenn im Nenner so etwas wie 4 geteilt durch (x plus 1) steht?

Einen Doppelbruch mit Variablen löst du genauso: als Division schreiben, dann mit dem Kehrwert multiplizieren. Beispiel: . Wichtig: .

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Doppelbruch

Wichtige Inhalte in diesem Video

Doppelbruch auflösen einfach erklärt

(00:14)

Doppelbruch auflösen Aufgabe

(00:36)

Unvollständigen Doppelbruch auflösen

(01:39)

Doppelbruch mit Variablen

(02:34)

Was ist ein Doppelbruch und wie kannst du ihn lösen? Wir erklären dir Schritt für Schritt an unterschiedlichen Beispielaufgaben, wie du Doppelbrüche auflösen kannst. In unserem Video rechnen wir außerdem einige Beispiele mit dir durch.

Inhaltsübersicht

Doppelbruch auflösen einfach erklärt

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(00:14)

Ein Doppelbruch ist ein Bruch im Bruch. Das bedeutet, dass sowohl im Zähler (oben) als auch im Nenner (unten) wieder ein Bruch steht. Du nennst ihn deshalb auch Mehrfachbruch.

$\frac{\textcolor{blue}{\text{Zähler}}}{\textcolor{red}{\text{Nenner}}} \qquad = \qquad \frac{\; \frac{ \textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{3}}\;}{ \frac{\textcolor{orange}{1}}{\textcolor{red}{4}}}$

Einen Doppelbruch kannst du in 3 Schritten ganz einfach auflösen:

Schreibe den Doppelbruch als Division (:):
$\frac{ \; \frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} \;}{ \frac{\textcolor{orange}{1}}{\textcolor{red}{4}}} = \frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} : \frac{\textcolor{orange}{1}}{\textcolor{red}{4}}$
Dividiere die Brüche , indem du mit dem Kehrwert multiplizierst:
$\frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} : \frac{\textcolor{orange}{1}}{\textcolor{red}{4}} = \frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} \cdot \frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{orange}{1}}$
Löse die Multiplikation :
$\frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} \cdot \frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{orange}{1}} = \frac{ \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{orange}{1}} = \frac{8}{3}$

Gar nicht so schwer, oder? Hier siehst du das Auflösen des Doppelbruchs nochmal auf einen Blick:

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Merke: Zum Auflösen eines Doppelbruchs wandelst du ihn zuerst in eine Division von 2 Brüchen um. Anschließend berechnest du die Division, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst. Dazu musst du im zweiten Bruch den Zähler und Nenner vertauschen.

Doppelbruch auflösen Aufgabe

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(00:36)

Jetzt weißt du, was Doppelbrüche sind, und wie du sie auflösen kannst. Schau dir am besten gleich noch eine Aufgabe dazu an:

Du sollst einen Bruch mit $\frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}}$ im Zähler und $\frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}}$ im Nenner lösen.

$\frac{ \; \frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} \;}{\frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}}}$

Doppelbruch umschreiben:
$\frac{ \;\frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} \;}{\frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}}}=\frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} : \frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}}$
Mit Kehrwert multiplizieren: Ersetze das „:“ durch ein „⋅“ und vertausche im zweiten Bruch Zähler und Nenner.
$\frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} : \frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}} = \frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{orange}{3}}$
Bruchrechnung lösen:
$\frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{orange}{3}} = \frac{\textcolor{teal}{5} \, \cdot \, \textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2} \, \cdot \, \textcolor{orange}{3}} = \frac{5}{6}$

Der Mehrfachbruch ergibt also aufgelöst $\frac{5}{6}$ .

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Unvollständigen Doppelbruch auflösen

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(01:39)

Ein Mehrfachbruch kann auch nur im Zähler oder nur im Nenner einen weiteren Bruch haben. Solche Brüche werden als unvollständige Doppelbrüche bezeichnet. Grundsätzlich kannst du sie aber genauso wie vollständige Doppelbrüche auflösen.

Beispiel mit Bruch im Nenner

In folgendem Beispiel hast du nur einen Bruch im Nenner.

$\frac{ \;6 \; }{\frac{\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}}}$

Mehrfachbruch umschreiben:
$6 : \frac{\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}}$
Ganze Zahl in Bruch umformen:
$\frac{6}{\textcolor{blue}{1}} : \frac{\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}}$
Mit Kehrwert multiplizieren:
$\frac{6}{\textcolor{blue}{1}} : \frac{\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}} = \frac{6}{\textcolor{blue}{1}} \cdot \frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{orange}{2}}$
Bruchrechnung lösen:
$\frac{6}{\textcolor{blue}{1}} \cdot \frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{orange}{2}} = \frac{6\, \cdot \, \textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{1} \, \cdot\, \textcolor{orange}{2}} = \frac{18}{2} = 9$

Beispiel mit Bruch im Zähler

Genauso kann natürlich auch ein Bruch im Zähler vorkommen.

$\frac{\;\frac{\textcolor{teal}{4}}{\textcolor{blue}{9}} \;}{3} = \frac{\textcolor{teal}{4}}{\textcolor{blue}{9}} : \frac{3}{\textcolor{red}{1}} = \frac{\textcolor{teal}{4}}{\textcolor{blue}{9}} \cdot \frac{\textcolor{red}{1}}{3} = \frac{\textcolor{teal}{4}\, \cdot \,\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{9}\, \cdot \,3} = \frac{4}{27}$

Doppelbruch mit Variablen

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(02:34)

Doppelbrüche können auch Variablen enthalten. Aber lass dich davon nicht verunsichern: Du kannst genauso vorgehen, wie in den vorherigen Beispielen gezeigt.

$\frac{\frac{\textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}}}{\frac{\;\textcolor{orange}{4}}{\textcolor{red}{x+1}}\;}$

Mehrfachbruch umschreiben:
$\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{3}} : \frac{\textcolor{orange}{4}}{\textcolor{red}{x+1}}$
Mit Kehrwert multiplizieren:
$\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \frac{\textcolor{red}{x+1}}{\textcolor{orange}{4}}$
Bruchrechnung lösen:
$\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \frac{\textcolor{red}{x+1}}{\textcolor{orange}{4}} = \frac{\textcolor{teal}{2} \cdot (\textcolor{red}{x+1})}{\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{orange}{4}} = \frac{2x+2}{12}$

Doppelbruch — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist ein Doppelbruch, und woran erkenne ich, dass es ein Bruch im Bruch ist?

Einen Doppelbruch erkennst du daran, dass im Zähler oder im Nenner (oder in beiden) wieder ein Bruch steht. Typisch ist die Schreibweise „Bruch im Bruch“, zum Beispiel $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}}$ . Achte auf die zwei übereinanderstehenden Bruchstriche.
Wie löse ich einen Doppelbruch Schritt für Schritt, wenn im Zähler und im Nenner jeweils ein Bruch steht?

Einen Doppelbruch löst du, indem du ihn als Division zweier Brüche schreibst und dann mit dem Kehrwert des unteren Bruchs multiplizierst. Konkret: $\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{1}}=\frac{5}{2}\div\frac{3}{1}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ .
Warum wird beim Auflösen eines Doppelbruchs aus „geteilt durch einen Bruch“ plötzlich „mal den Kehrwert“?

„Geteilt durch einen Bruch“ wird zu „mal den Kehrwert“, weil Division die Umkehrung der Multiplikation ist. Du suchst also eine Zahl, die mit dem Divisor wieder den Ausgangswert ergibt. Deshalb gilt: $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$ , wobei $\frac{d}{c}$ der Kehrwert ist.
Wie rechne ich einen unvollständigen Doppelbruch aus, wenn nur im Nenner ein Bruch steht, zum Beispiel 6 geteilt durch (2 Drittel)?

Einen unvollständigen Doppelbruch mit Bruch im Nenner rechnest du wie eine Bruchdivision, nur dass du die ganze Zahl zuerst als Bruch schreibst. Beispiel: $6\div\frac{2}{3}=\frac{6}{1}\div\frac{2}{3}=\frac{6}{1}\cdot\frac{3}{2}=\frac{18}{2}=9$ .
Wie löse ich einen Doppelbruch mit Variablen, wenn im Nenner so etwas wie 4 geteilt durch (x plus 1) steht?

Einen Doppelbruch mit Variablen löst du genauso: als Division schreiben, dann mit dem Kehrwert multiplizieren. Beispiel: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{x+1}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{x+1}{4}=\frac{2(x+1)}{12}=\frac{2x+2}{12}=\frac{x+1}{6}$ . Wichtig: $x\neq -1$ .

Bruchrechnen Aufgaben

Sehr gut! Doppelbrüche auflösen wird dir in Zukunft keine Probleme mehr bereiten. Schau dir jetzt auf jeden Fall noch unser extra Aufgabenvideo zum Bruchrechnen an. Dort findest du verschiedene Übungen zum Thema Bruchrechnung, die dich optimal auf deine nächste Prüfung vorbereiten. Viel Spaß!