Partialbruchzerlegung
Du fragst dich, wann genau du jetzt eigentlich eine Partialbruchzerlegung anwendest und wie du dabei vorgehst? In diesem Beitrag bist du genau richtig. Wir geben dir ein Vorgehen zu ihrer Berechnung an, wobei auch die Fälle in den Fokus rücken, in denen das Nennerpolynom mehrfache und auch komplexe Nullstellen besitzt. Anhand von Beispielen führen wird das Verfahren dann durch und bestimmen auch ein Integral mithilfe der Partialbruchzerlegung.
Wie man eine Partialbruchzerlegung durchführt und auf was du achten musst, siehst du Schritt für Schritt in unserem Video . Hier haben wir alles kompakt und anschaulich für dich aufbereitet.
Inhaltsübersicht
Partialbruchzerlegung Erklärung
Bei r-fachen Nullstellen des Nennerpolynoms treten diese bis zur r-ten Potenz in der Zerlegung auf.
Partialbruchzerlegung Vorgehen
Um die Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion zu bestimmen bietet sich folgendes schrittweises Vorgehen an:
- Polynomdivision durchführen (nur erforderlich, falls die Funktion unecht gebrochen ist)
- Nullstellen des Nenners bestimmen
- Zu jeder Nullstelle die Partialbrüche berechnen
- Ansatz für die Partialbruchzerlegung aufstellen
- Koeffizientenvergleich durchführen
Zu Schritt 1: Wenn der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der Grad des Nennerpolynoms , handelt es sich bei um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Durch Polynomdivision lässt sich diese als Summe einer ganzrationalen und einer echt gebrochenrationalen Funktion schreiben. Letztere lässt sich dann mithilfe der Schritte 2 bis 5 in Partialbrüche zerlegen.
Zu Schritt 2: In diesem Schritt findet die Bestimmung der verschiedenen Nullstellen des Nennerpolynoms mit ihrer Vielfachheit statt. Das heißt, es wird nach der Linearfaktorzerlegung gesucht. Hierbei können die Nullstellen auch komplex sein.
Zu Schritt 3: Für jede in Schritt 2 bestimmte Nullstelle müssen nun die passenden Partialbrüche bestimmt werden. Handelt es sich bei der Nullstelle um eine einfache reelle Nullstelle, so ist ihr zugehöriger Partialbruch von der Form , wobei eine noch zu bestimmende Unbekannte darstellt. Doch kann auch eine mehrfache oder gar komplexe Nullstelle sein. Dann sehen die Partialbrüche etwas anders aus.
Partialbruchzerlegung komplex
Für eine echt komplexe Nullstelle sieht der zugehörige Partialbruch nochmal etwas anders aus. Besitzt das Nennerpolynom nur reelle Koeffizienten, so ist auch das komplex konjugierte der echt komplexen Nullstelle eine Nullstelle des Polynoms. Zu diesen beiden Nullstellen gehört ein gemeinsamer Partialbruch der Form:
Ist und somit auch eine -fache echt komplexe Nullstelle so gehört zu ihr die Summe folgender Partialbrüche:
Zu Schritt 4: Nun wird der Ansatz der Partialbruchzerlegung aufgestellt, indem die rationale Funktion der Summe aus all den bestimmten Partialbrüchen gleichgesetzt wird. Allerdings besitzen diese Partialbrüche noch die Unbekannten und , welche es in Schritt 5 zu bestimmen gilt.
Zu Schritt 5: Die in Schritt 4 aufgestellte Gleichung wird nun auf beiden Seiten mit dem Nennerpolynom der rationalen Funktion multipliziert. Auf der einen Seite bleibt dann nur noch das Zählerpolynom dieser Funktion stehen.
Auf der anderen Seite erhält man ebenfalls ein Polynom in , da die Nenner der einzelnen Partialbrüche jeweils Faktoren des Polynoms sind, mit dem die Brüche multipliziert werden. Ordnet man das Polynom nach Potenzen von , so kann man mittels Koeffizientenvergleich die Unbekannten und bestimmen.
Partialbruchzerlegung Beispiel
Es soll die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion bestimmt werden.
Hierzu werden die beschriebenen Schritte einzeln abgearbeitet.
Schritt 1 ist hinfällig, da es sich bereits um eine echt gebrochenrationale Funktion handelt.
In Schritt 2 erfolgt die Bestimmung der Nullstellen des Nenners . Durch Ausprobieren findet man die erste Nullstelle . Nun kann mittels Polynomdivision der Linearfaktor aus dem Polynom ausgeklammert werden und man erhält als anderen Faktor das Polynom :
Mithilfe der Mitternachtsformel lassen sich dann die letzten beiden Nullstellen und finden.
Nun, in Schritt 3, werden für diese Nullstellen die Partialbrüche bestimmt. Da es sich bei um eine einfache reelle Nullstelle handelt ist das zugehörige Polynom :
Die beiden anderen Nullstellen sind einfach echt komplex und komplex konjugiert zueinander. Zu ihnen gehört demzufolge der gemeinsame Partialbruch :
In Schritt 4 den Ansatz aufzustellen ist nun ein Leichtes:
Durch Multiplikation der Gleichung in Schritt 5 mit dem Nennerpolynom erhält man:
Ausklammern und Umordnen ergibt:
Der Koeffizientenvergleich liefert folgendes Gleichungssystem:
Die Lösung dieses Systems lautet: .
Somit besitzt die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion folgende Form:
Integration durch Partialbruchzerlegung
Ist es das Ziel, die Stammfunktion einer rationalen Funktion zu finden, so kann es hilfreich sein, deren Partialbruchzerlegung zu betrachten. Dazu erfolgt eine Beispielrechnung anhand der Funktion .
Die Nullstellen des Nennerpolynoms lassen sich mithilfe der Mitternachtsformel berechnen. Sie lauten und . Da beides einfache reelle Nullstellen sind, sieht der Ansatz für die Partialbruchzerlegung folgendermaßen aus:
Durch Multiplikation mit ergibt sich:
Nach Ausklammern und Umsortieren erhält man:
Koeffizientenvergleich führt zu folgendem Gleichungssystem:
Als Lösung dieses Systems ergibt sich und .
Der Ansatz liese sich auch mithilfe der sogenannten Zuhaltemethode bestimmen, da das Nennerpolynom nur einfache Nullstellen besitzt. Dazu wird auf der linken Seite der Nenner in seine Linearfaktoren zerlegt:
Anschließend wird einer der Faktoren zugehalten. Wird der Faktor im Nenner der linken Seite zugehalten, so bleibt nur noch sichtbar. Hierfür wird nun der Grenzwert für berechnet. Dieser entspricht dann der Unbekannten, die auf der rechten Seite über dem Nenner steht:
Analog gilt:
Somit lautet die Partialbruchzerlegung:
Nun lässt sich die Stammfunktion von ganz einfach berechnen: