Potenzregeln

Grundlagen: Das ist eine Potenz

Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise, die du immer dann benutzt, wenn du eine Zahl öfter mit sich selbst malnimmst. Zum Beispiel:

Die 2 ist die Basis der Potenz. Die 5 nennst du Exponent der Potenz. Sie zeigt, wie oft du die Basis mit sich selbst mal nimmst. Du sprichst die Potenz insgesamt so aus: „2 hoch 5“. Die allgemeine Schreibweise ist aⁿ.

Es gibt 9 Potenzregeln, die dir beim Rechnen mit Potenzen helfen. Du unterscheidest zwischen Potenzregeln mit gleicher Basis, Potenzregeln mit gleichem Exponenten und besonderen Potenzregeln.

Potenzregeln mit gleicher Basis

Wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren oder dividieren musst, kannst du bestimmte Potenzregeln nutzen. Hier siehst du die Regeln für beide Fälle:

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Wenn zwei Potenzen dieselbe Basis haben und multipliziert ( · ) werden sollen, kannst du die Basis stehen lassen und die Exponenten addieren ( + ).

Beispiel: 2³ · 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸ = 256

Diese Regel kannst du am besten nachvollziehen, wenn du dir die Potenz in Langform vorstellst:

2³ · 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁸ = 256

Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Wenn du Potenzen mit gleicher Basis und unterschiedlichen Exponenten teilen ( : ) willst, lässt du eine Basis stehen und subtrahierst ( – ) die Exponenten.

Beispiel: 4⁵ : 4² = 4^5–2 = 4³ = 64

Die Potenzregel kannst du dir ebenfalls herleiten. Stell dir vor, du schreibst die Potenzen in Langform im Bruch auf und kürzt dann. So kannst du auch Brüche mit Potenzen vereinfachen:

Potenzregeln mit gleichem Exponenten

Auch wenn du Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren oder dividieren musst, gibt es Exponentialregeln. Wie sie funktionieren, siehst du hier:

Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren

Sollen zwei Potenzen mit denselben Exponenten mal genommen werden, dann multiplizierst du nur die Basen. Den Exponenten lässt du als gemeinsame Hochzahl stehen.

Beispiel: 3⁴ · 5⁴ = (3 · 5)⁴ = 15⁴ = 50.625

In Langform schreibst du (3 · 5) · (3 · 5) · (3 · 5) · (3 · 5) = 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5 = 50.625

Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren

Teilst du unterschiedliche Basen mit gleichem Exponenten, dividierst du ( : ) die Basen und lässt den Exponenten als gemeinsame Hochzahl stehen.

Beispiel: 6⁴ : 3⁴ = (6 : 3)⁴ = 2⁴= 16

In Langform schreibst du (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

Besondere Potenzregeln

Es gibt noch weitere Potenzregeln, die dir beim Vereinfachen von Potenzen helfen. Dazu gehören:

• Potenzen potenzieren
• Potenzen mit negativem Exponenten
• Potenzen mit Bruch als Exponent
• Potenzen mit 1 als Exponent
• Potenzen mit 0 als Exponent

Potenzen potenzieren

Wenn du die Potenz einer Potenz ausrechnen willst, multiplizierst du einfach die beiden Exponenten. Die Basis bleibt gleich.

• Beispiel: (7²)³ =  7^2·3 = 7⁶ = 117.649
• allgemein: (aⁿ)^m= a^n·m

Potenzen mit negativem Exponenten

Hat eine Potenz einen negativen Exponenten, bildest du den Kehrwert der Potenz. Du schreibst sie also als Bruch.

• Beispiel: 2^-3 =
• allgemein: x^−a = ​​

Potenzen mit Bruch als Exponent

Hat eine Potenz einen Bruch als Exponenten, kannst du sie als Wurzel schreiben. Dazu ziehst du zuerst die n-te Wurzel mit dem Nenner des Bruchs und potenzierst das Ergebnis anschließend mit dem Zähler des Bruchs.

• Beispiel:
• allgemein:

Potenzen mit 1 als Exponent

Hat eine Potenz den Exponenten 1, entspricht das Ergebnis einfach der Basis. 

• Beispiel: 7¹ = 7
• allgemein: x¹ = x

Potenzen mit 0 als Exponent

Hat eine Potenz den Exponenten 0, entspricht das Ergebnis immer 1.

• Beispiel: 5⁰ = 1
• allgemein: x⁰ = 1

Übersicht der Potenzregeln

Hier haben wir dir die 9 Potenzregeln übersichtlich zusammengestellt: 

Potenzregel	Erklärung	Beispiel
1. Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren	Du addierst die Exponenten und lässt die Basis gleich.	23 · 25 = 23+5 = 28
2. Potenzen mit gleicher Basis dividieren	Du subtrahierst die Exponenten und lässt die Basis gleich.	45 : 42 = 45–2 = 43
3. Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren	Du multiplizierst die Basen und lässt den Exponenten gleich.	34 · 54 = (3 · 5)4 = 154
4. Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren	Du dividierst die Basen und lässt den Exponenten gleich.	64 : 34 = (6 : 3)4 = 24
5. Potenzen potenzieren	Du multiplizierst die Exponenten und lässt die Basis gleich.	(72)3= 72·3 = 76
6. Potenzen mit negativem Exponenten	Du bildest den Kehrbruch der Potenz.	2-3 =
7. Potenzen mit Bruch als Exponent	Du ziehst die n-te Wurzel des Nenners und potenzierst das Ergebnis mit dem Zähler.
8. Potenzen mit 1 als Exponent	Das Ergebnis ist die Basis.	71 = 7
9. Potenzen mit 0 als Exponent	Das Ergebnis ist 1.	50 = 1

Potenzgesetze Aufgaben

Jetzt kannst du Potenzen vereinfachen! Du willst die Potenzgesetze  üben? Hier haben wir verschiedene Aufgaben für dich vorbereitet, mit denen du die Potenzregeln super verinnerlichen kannst!