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Beschränktes Wachstum

In diesem Artikel erklären wir dir beschränktes Wachstum beziehungsweise begrenztes Wachstum ausführlich anhand von Beispielen. Am Ende findest du auch Aufgaben mit Lösungen zu diesem Thema.

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Inhaltsübersicht

Beschränktes Wachstum einfach erklärt

Wie bei allen Wachstumsprozessen, so betrachtest du auch für beschränktes Wachstum (oder begrenztes Wachstum genannt) die zeitliche Entwicklung einer sogenannten Population. Der Begriff Population ist sehr allgemein. Du könntest dir darunter beispielsweise die Anzahl an verkauften Cola-Dosen in deiner Region oder die Spannung an einem Kondensator vorstellen.

Beschränktes Wachstum besitzt eine Besonderheit, nämlich die Existenz einer natürlichen Schranke. Diese Schranke kann die Population nach oben oder nach unten beschränken. Das heißt, dass die Population die Schranke niemals überschreiten (bei nach oben beschränktes Wachstum) beziehungsweise unterschreiten kann (bei nach unten beschränktes Wachstum).

Wie es typisch für Wachstumsprozesse ist, gibt es auch für beschränktes Wachstum eine zugrunde liegende Differentialgleichung

Differentialgleichung Beschränktes Wachstum (Begrenztes Wachstum)

Beschränktes Wachstum oder begrenztes Wachstum ist durch die folgende lineare inhomogene Differentialgleichung gegeben

B'(t) = \frac{dB}{dt} = k \cdot (S - B(t)).

Dabei bedeuten die Parameter folgendes:

  • B: Population in Abhängigkeit von der Zeit t,
  • k: Wachstumskonstante und
  • S: Wert der Schranke.

Die Differenz S - B(t) wird auch als Sättigungsmanko oder Restbestand bezeichnet.

Beschränktes Wachstum Formel

Die Differentialgleichung für beschränktes Wachstum lässt sich mit Hilfe der Variablentrennung lösen. Wir geben in diesem Abschnitt nur die Lösung wieder und veranschaulichen diese anhand eines konkreten Beispiels. Wir werden auch eine graphische Herleitung der Lösungsformel für beschränktes Wachstum vorstellen. 

Beginnen wir mit der Lösungsformel:

Lösungsformel Beschränktes Wachstum (Begrenztes Wachstum)

Die Lösung der Differentialgleichung liefert folgende Wachstumsfunktion für beschränktes Wachstum (begrenztes Wachstum)

B(t) = S - (S - B(0))e^{-kt}.

Die Zahl B(0) stellt die Population zum Zeitpunkt t = 0 dar. Lass dich an dieser Stelle nicht davon irritieren, dass in der Lösungsformel subtrahiert wird, obwohl wir von einem Wachstum sprechen. Hier ist das Vorzeichen des Sättigungsmankos entscheidend. 

Für nach oben beschränktes Wachstum stellt die Schranke S eine obere Grenze dar. Es gilt also S > B(0). Damit ist die Differenz S - B(0) positiv. Die Exponentialfunktion e^{-kt} ist für alle Werte von t positiv. Somit ist auch das Produkt (S - B(0))e^{-kt} positiv. Es wird also von S eine positive Zahl abgezogen, die aber mit steigendem t immer kleiner wird. Folglich wird S - (S - B(0))e^{-kt} immer größer – wir haben daher das gewünschte Wachstum.

Beachte, dass das Produkt (S - B(0))e^{-kt} zwar immer kleiner wird, aber nur für den Grenzfall t \rightarrow \infty gleich Null ist. Somit ist B(t) immer kleiner als S und nur im Grenzfall gleich S. Das ist gerade die Beschränktheit des Wachstums, die gewünscht war.

Vorsicht: Die umgekehrte Situation, also das S < B(0) gilt, heißt beschränkter Zerfall oder beschränkte Abnahme. Diesen Fall behandeln wir in einem eigenen Abschnitt weiter unten.

Beispiel

Lass uns der abstrakten Lösungsformel eine anschauliche Gestalt in Form eines konkreten Funktionsgraphen geben. Hierzu wählen wir die Parameter der Lösungsformel für beschränktes Wachstum folgendermaßen: S = 100, B(0) = 0 und k = 0,05. Setzen wir diese Werte in die allgemeine Formel ein, erhalten wir

B(t) = S - (S - B(0))e^{-kt} = 100 - (100 - 0)e^{-0,05t}.

Wenn wir diese Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnen, bekommen wir den folgenden Funktionsgraphen.

Beschränktes Wachstum Beispiel, Begrenztes Wachstum Beispiel
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Beschränktes Wachstum für S = 100, B(0) = 0 und k = 0,05.

Diese Funktion könnte beispielsweise die Anzahl an zugestellten Zeitschriften in einer Gegend von 100 Haushalten modellieren. Das B(0) = 0 ist, spiegelt in diesem Fall die Tatsache wieder, dass zu Beginn noch keine Zeitschriften zugestellt wurden. Du kannst an diesem Bild die Wirkung der Schranke S erkennen. Je größer t wird, umso näher befinden sich die Funktionswerte an der Schranke S. Sie werden aber niemals größer. Das macht im Fall der zugestellten Zeitschriften auch Sinn, denn der Zusteller liefert den 100 Haushalten auch nur 100 Exemplare einer gegebenen Zeitschrift. Wir haben hier also einen klassischen Fall für ein nach oben beschränktes Wachstum.

Herleitung anhand eines einfachen Beispiels

Nehmen wir uns nochmal das Beispiel von vorhin her und zeichnen im Intervall [0, 100] für jeden zehnten Wert das Sättigungsmanko ein. Dazu teilen wir das Intervall in zehn Abschnitte, die jeweils die Breite 10 besitzen. Für den Wert der Population B(t) in der Differenz S - B(t) nehmen wir immer den Anfang jedes Teilintervalls. Das folgende Bild soll diesen Prozess illustrieren.

Sättigungsmanko
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Illustration des Sättigungsmankos bei beschränktem Wachstum.

Die blauen Punkte entsprechen genau den Werten am Anfang jedes Teilintervalls. Die türkis gefärbte Fläche entspricht der Differenz S - B(t), also dem Sättigungsmanko. Wenn wir uns nur auf das Sättigungsmanko konzentrieren und die zehn Werte in ein eigenes Koordinatensystem einzeichnen, erhalten wir die folgende Grafik.

Sättigungsmanko Verlauf, Beschränktes Wachstum Sättigungsmanko
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Verlauf des Sättigungsmanko des vorherigen Beispiels.

An der Grafik können wir erkennen, dass der Verlauf des Sättigungsmankos dem einer exponentiellen Abnahme% Verlinken sobald Beitrag zu exponentiellen Wachstum vorhanden ist gleicht. Wir können also festhalten, dass folgende Gleichung für das Sättigungsmanko gilt

Sättigungsmanko: S - B(t) = c \cdot e^{-kt}.

Hier ist c eine Konstante, die zu bestimmen ist und k die Wachstumskonstante. Der Wert von c gibt den Wert des Sättigungsmankos zum Zeitpunkt t = 0 an. Für das konkrete Beispiel ist c = 100 und k = 0,05. Somit gilt

S - B(t) = 100 e^{-0,05t}

\Leftrightarrow B(t) = S - 100 e^{-0,05t}.

Zum Zeitpunkt t = 0 ist B(t) = 0, also folgt das S = 100 ist. Wir erhalten daher

B(t) = 100 - 100  e^{-0,05t} = 100 - (100 - 0) e^{-0,05t},

was gerade die Funktionvorschrift unseres Beispiels war. 

Im Allgemeinen muss nicht B(0) = 0 gelten. Dann ist c = S - B(0) und wir bekommen

B(t) = S - (S - B(0))e^{-kt}.

Diese Gleichung ist gerade die allgemeine Lösungsformel für beschränktes Wachstum.

Beschränkter Zerfall / Beschränkte Abnahme

Bisher haben wir uns nur den Fall S > B(0) angesehen, der beschränktes Wachstum beziehungsweise begrenztes Wachstum darstellt. Für S < B(0) erhalten wir den Fall des sogenannten beschränkten Zerfalls oder der beschränkten Abnahme. Die Lösungsformel dafür ist

B(t) = S - (S - B(0))e^{-kt}.

Sie sieht genau so aus wie für das begrenzte Wachstum. Wo liegt also der Unterschied? Der Unterschied liegt im Vorzeichen des Sättigungsmankos S - B(0) zum Zeitpunkt t = 0. Für begrenztes Wachstum war dieses positiv und wir hatten gesehen, dass die Population dann tatsächlich mit der Zeit wächst. Für den beschränkten Zerfall ist das Vorzeichen negativ. Die genau gleiche Argumentation wie für begrenztes Wachstum führt zum Schluss, dass die Population B(t) abnimmt. Für fortschreitende Zeit t, werden die Funktionswerte B(t) immer kleiner, unterschreiten jedoch nicht die Schranke S. In diesem Zusammenhang spricht man davon, dass S die Population nach unten beschränkt

Wenn wir unser oberes begrenztes Wachstum Beispiel nehmen und den Anfangswert B(0) auf 200 statt 0 setzen, erhalten wir folgenden Funktionsgraphen.

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Beschränkter Zerfall für S = 100, B(0) = 200 und k = 0,05.

Da die Differenz S - B(0) negativ ist, findest du manchmal für den beschränkten Zerfall auch die Darstellung

B(t) = S + (B(0) - S)e^{-kt}.

Wie beim beschränkten Wachstum solltest du dich nicht davon irritieren lassen, dass hier zwei Zahlen S und (B(0) - S)e^{-kt} miteinander addiert werden, obwohl wir hier einen Zerfall beziehungsweise eine Abnahme vorliegen haben. Die Zahl (B(0) - S)e^{-kt}, die zu S addiert wird, wird aufgrund der Exponentialfunktion immer kleiner. Damit wird auch die Addition S + (B(0) - S)e^{-kt} immer kleiner – also nimmt die Population B(t) tatsächlich ab.

Beschränktes Wachstum Aufgaben

In diesem Abschnitt stellen wir dir zwei Aufgaben vor. Bei der ersten geht es um das Bestimmen aller Parameter der Lösungsformel und um den Umgang mit der Lösungsformel beim Berechnen bestimmter Zeitpunkte. Bei der zweiten Aufgabe hingegen ist die Funktion gegeben und es sind aus ihr die Parameter zu extrahieren.

Aufgabe 1: Parameter für beschränktes Wachstum bestimmen

In einer Stadt mit 10.000 Einwohnern hat der Hersteller der brandneuen Spielekonsole „GAM G Pro“ einen neuen Standort eröffnet. Mit 20% Rabatt für eine Konsole pro Haushalt, versucht der Hersteller seine Konsole zu verkaufen. Die Werbung funktioniert und bereits nach 3 Tagen wurden 4.000 Exemplare verkauft. 

(a) Die Anzahl an verkauften „GAM G Pro“-Konsolen soll als beschränktes Wachstum modelliert werden. Bestimme hierzu die Parameter S, B(0) und k und schreibe die Lösungsformel mit allen Parameterwerten hin.

(b) Der Hersteller der Konsole interessiert sich dafür, wann 90% der Haushalte eine Konsole besitzen. Bestimme den dazugehörigen Zeitpunkt t_{\mathsf{90}}.

Lösung Aufgabe 1

(a) Da jeder Haushalt nur eine Konsole verkauft bekommt, kann die Anzahl an verkauften Konsolen nicht 10.000 übersteigen. Damit ist die Schranke S = 10.000. Zu Beginn wurden noch keine Konsolen verkauft. Somit ist B(0) = 0. Zum Bestimmen der Wachstumskonstante k nutzen wir die Information, dass nach drei Tagen 4.000 Konsolen verkauft wurden. Es gilt

B(3) = 4.000 = 10.000 - (10.000 - 0)e^{-k \cdot 3}

\Leftrightarrow k = \frac{-1}{3} \cdot \ln \left (\frac{10.000 - 4.000}{10.000 - 0} \right ) = 0,17.

Wir haben somit alle Parameter berechnet und die Funktionsvorschrift lautet

B(t) = 10.000 - (10.000 - 0)e^{-0,17t}

= 10.000 - 10.000e^{-0,17t

(b) 90% der Haushalte, an denen Konsolen verkauft wurden, entspricht 9.000 verkauften Konsolen. Um den Zeitpunkt t_{\mathrm{90}} zu bestimmen, setzen wir die bekannten Informationen ein und erhalten

B(t_{\mathrm{90}}) = 10.000 - 10.000 e^{-0,17t_{\mathrm{90}}} = 9.000.

Stellen wir diese Gleichung nach t_{\mathrm{90}} um, bekommen wir

t_{\mathrm{90}} = \frac{-1}{0,17} \cdot \ln \left (\frac{10.000 - 9.000}{10.000} \right ) = 13.54.

Das heißt, nach etwa 14 Tagen wird der Hersteller an 90% der Haushalte seine Konsole verkauft haben. 

Aufgabe 2: Ablesen von Parameter und Wachstumsgeschwindigkeit

Die folgende Lösungsformel 

B(t) = 300 - 220e^{-0,02t}

soll begrenztes Wachstum modellieren. 

(a) Bestimme aus der gegebenen Lösungsformel die Parameter S, B(0) und k.

(b) Bestimme den Zeitpunkt t_{\mathrm{3}} zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit genau 3 beträgt.

Lösung Aufgabe 2

(a) Für t \rightarrow \infty nähern sich die Funktionswerte B(t) dem Wert 300. Damit ist S = 300. Die Wachstumskonstante ist gerade der Faktor vor der Zeit t innerhalb des Arguments der Exponentialfunktion. Somit ist k = 0,02. Der Faktor vor der Exponentialfunktion entspricht S - B(0) und folglich gilt

S - B(0) = 220

oder nach B(0) umgestellt

B(0) = S - 220 = 300 - 220 = 80.

(b) Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu bestimmen, berechnen wir die erste Ableitung der gegebenen Funktion

B(t) = 300 - 220e^{-0,02t}

Wir erhalten

B'(t) = (-0,02) \cdot (-220e^{-0,02t}) = 4,4 e^{-0,02t}.

Zum Zeitpunkt t_{\mathrm{3}} gilt

B'(t_{\mathrm{3}}) = 3 = 4,4 e^{-0,02t_{\mathrm{3}}}

und umgestellt nach t_{\mathrm{3}}

t_{\mathrm{3}} = \frac{-1}{0,02} \cdot \ln \left (\frac{3}{4,4} \right ) = 19,15.

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