Lineare Algebra

Spur einer Matrix

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der Spur einer Matrix. Wir zeigen dir wie du sie berechnen kannst und welche Eigenschaften sie besitzt. Schau dir unser Video%Verweis dazu an!

Inhaltsübersicht

Spur einer Matrix einfach erklärt

In Worten gefasst entspricht die Spur einer Matrix A der Summe der Elemente entlang der Hauptdiagonale dieser Matrix A.

Die Elemente entlang der Hauptdiagonale sind dadurch charakterisiert, dass beide Indizes, die den Standort des Elements innerhalb der Matrix festlegen, denselben Wert annehmen. 

Spur Matrix: Formel mit Summenzeichen

Wenn wir die Elemente von A entlang der Hauptdiagonale mit A_{ii} bezeichnen, dann kannst du die Spur folgendermaßen berechnen

\mathsf{Spur}(A) = A_{11} + A_{22} + A_{33} + ... + A_{nn} = \sum \limits_{i = 1}^n A_{ii}.

Beispielsweise ergibt sich für die Matrix

A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&2 \\44&2&3\\12&63&7\\\end{array}\right)

die Spur aus der Summe der Diagonalelemente

\mathsf{Spur}(A) = 1+2+7=10.

Weitere Notationen für die Spur sind spur, spr, Sp, sp oder auch Trace, trace, Tr oder tr für die englische Bezeichnung trace.

Spur einer Matrix berechnen

Wenn du eine quadratische Matrix A gegeben hast

A=\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\dots&A_{1n} \\A_{21}&A_{22}&\dots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\dots&A_{nn}\\\end{array}\right),

dann kannst du mit

\mathsf{Spur}(A) = A_{11} + A_{22} + A_{33} + ... + A_{nn} = \sum \limits_{i = 1}^n A_{ii}

die Spur von A ausrechnen. In diesem Abschnitt schauen wir uns zwei konkrete Beispiele an.

Beispiel 1: Spur einer 3×3-Matrix

Wir haben folgende Matrix gegeben

A=\left(\begin{array}{ccc}3&3&5 \\11&4&9\\7&7&15\\\end{array}\right).

Die Elemente entlang der Hauptdiagonale lauten

A_{11} = 3, A_{22} = 4 und A_{33} = 15.

Damit ergibt sich die Spur von A zu

\mathsf{Spur}(A) = \sum \limits_{i = 1}^3 A_{ii} = A_{11} + A_{22} + A_{33} = 3 + 4 + 15 = 22.

Beispiel 2: Spur einer 4×4-Matrix

Wir haben folgende Matrix gegeben

A=\left(\begin{array}{cccc}-4&12&12&52 \\15&-6&-12&-1\\64&22&12&-34\\112&65&-72&5\\\end{array}\right).

Die Elemente entlang der Hauptdiagonale lauten

A_{11} = -4, A_{22} = -6, A_{33} = 12 und A_{44} = 5.

Damit ergibt sich die Spur von A zu

\mathsf{Spur}(A) = \sum \limits_{i = 1}^4 A_{ii} = A_{11} + A_{22} + A_{33} + A_{44} = -4 + (-6) + 12 + 5 = 7.

Spur Matrix Eigenschaften

In diesem Abschnitt geben wir dir eine Auflistung verschiedener Eigenschaften, die die Spur besitzt.

  • Eigenwerte und Spur Matrix: Die Spur einer Matrix entspricht der Summe ihrer Eigenwerte .
  • Charakteristisches Polynom und Spur Matrix: Wenn du das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix berechnest, wirst du feststellen, dass der zweithöchste Koeffizient dieses Polynoms gerade das Negative der Spur der dazugehörigen Matrix ist.
  • Transponieren und Spur Matrix: Die Spur einer Matrix A und die Spur der transponierten Matrix A^T sind gleich, das heißt, es gilt:
    \mathsf{Spur}(A) = \mathsf{Spur}(A^T).
  • Lineare Abbildungen und Spur Matrix: Die Spur einer Matrix ist eine lineare Abbildung, das heißt es gilt:
    \mathsf{Spur}(a \cdot A + b \cdot B) = a\cdot \mathsf{Spur}(A) + b \cdot \mathsf{Spur}(B).
  • Kommutativität und Spur Matrix: Die Multiplikation zweier Matrizen muss nicht unbedingt kommutativ sein. Unter der Wirkung der Spur, kannst du aber die Matrizen vertauschen und das Ergebnis bleibt dasselbe, auch wenn die Größe der resultierenden Matrix unterschiedlich sein kann. Konkret gilt:
    \mathsf{Spur}(A \cdot B) = \mathsf{Spur}(B \cdot A),
    wobei A und B Matrizen mit der „richtigen Größe“ sind, sodass die beiden Produkte A \cdot B und B \cdot A definiert sind und quadratische Matrizen ergeben. 
  • Definitheit und Spur Matrix: Sind A und B n \times n-Matrizen und ist A positiv definit und B nicht negativ, dann gilt:
    \mathsf{Spur}(A \cdot B) \geq 0.
  • Ähnliche Matrizen: Die Spur zweier zueinander ähnlichen Matrizen ist gleich, das heißt, es gilt:
    \mathsf{Spur}(B^{-1} \cdot A \cdot B) = \mathsf{Spur}(A),
    wobei A eine n \times n-Matrix und B eine invertierbare n \times n-Matrix ist.

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