Lineare Algebra
Matrix - Eigenschaften
 – Video

Du möchtest den Rang einer Matrix bestimmen und wissen, was ein voller Rang einer Matrix bedeutet? Dann ist dieser Artikel und das entsprechende Video genau das Richtige für dich.

Rang einer Matrix einfach erklärt

Der Spaltenrang einer Matrix sagt dir, wie viele linear unabhängige Spaltenvektoren du in der Matrix maximal finden kannst. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren ist der Zeilenrang. In jeder Matrix sind Zeilenrang und Spaltenrang gleich. Deshalb sprichst du oft nur vom Rang einer Matrix.

Beispiel:

    \[A = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{2} & 7 \\ \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{4} & 2 \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{blue}{6} & 9 \end{pmatrix}\]

Die zweite Spalte der Matrix A ist das Doppelte der ersten Spalte. Die ersten beiden Spaltenvektoren sind also linear abhängig. Die dritte Spalte ist aber kein Vielfaches der ersten Spalte, also sind sie linear unabhängig. Daher findest du maximal zwei linear unabhängige Spaltenvektoren in der Matrix. Also ist der Rang von A gleich 2: rang(A) = 2.

Der Rang einer beliebigen m x n Matrix B ist immer kleiner als oder gleich groß wie das Minimum aus Zeilenanzahl und Spaltenanzahl:

    \[\text{rang(B)} \leq \min(m, n)\]

Wenn alle Zeilenvektoren (oder Spaltenvektoren) linear unabhängig sind, gilt sogar Gleichheit: rang(B) = min(m, n). Man sagt dann: die Matrix B hat vollen Rang. Beispiel: Die Matrix A hat 3 Zeilen und 3 Spalten. Sie hat aber nur Rang 2 (< 3), also keinen vollen Rang.

Rang einer Matrix bestimmen

Oft siehst du den Vektoren einer Matrix aber nicht direkt an, ob sie linear unabhängig sind. Deshalb kannst du nach einem allgemeinen Schema vorgehen, um den Rang einer Matrix zu bestimmen.

Rang einer Matrix berechnen
  1. Bringe die Matrix mit dem Gauß-Algorithmus in Zeilenstufenform
  2. Die Anzahl der Zeilen, die in Zeilenstufenform keine Nullzeilen sind, ist der Rang der Matrix.

Beispiel 1:

    \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\]

1. Zeilenstufenform:

    \[\begin{tabular} {c c c | c} 1 & 2 & 7 & \\ 2 & 4 & 2 & II - 2 \cdot \text{ I} \\ 3 & 6 & 9 & III - 3 \cdot \text{ I} \\ \hline 1 & 2 & 7 & \\ \textcolor{red}{0} & 0 & -12 & \\ \textcolor{red}{0} & 0 & -12 & III - \text{ II} \\ \hline 1 & 2 & 7 & \\ \textcolor{red}{0} & 0 & -12 & \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & 0 & \end{tabular} \]

2. Nichtnullzeilen zählen:

Du siehst, dass in Zeilenstufenform zwei Zeilen keine Nullzeilen sind. Also ist rang(A) = 2.

Beispiel 2:

    \[B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -4 \\ 3 & -5 & 1 & -7 \\ 2 & -5 & -1 & 0 \end{pmatrix}\]

1. Zeilenstufenform: 

    \[\begin{tabular} {c c c c | c} 1 & 0 & 2 & -4 & \\ 3 & -5 & 1 &-7 & II - 3 \cdot \text{ I} \\ 2 & -5 & -1 & 0 & III - 2 \cdot \text{ I} \\ \hline 1 & 0 & 2 & -4 & \\ \textcolor{red}{0} & -5 & -5 & 5 & \\ \textcolor{red}{0} & -5 & -5 & 8 & III - \text{ II} \\ \hline 1 & 0 & 2 & -4 & \\ \textcolor{red}{0} & -5 & -5 & 5 & \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & 0 & 3 &  \end{tabular} \]

2. Nichtnullzeilen zählen:

Du siehst, dass in Zeilenstufenform keine Nullzeile vorhanden ist. Alle drei Zeilen sind Nichtnullzeilen. Also ist rang(B) = 3.

Der Rang entspricht also der Zeilenanzahl. Deshalb hat B vollen Rang.

Quadratische Matrizen

Bei quadratischen Matrizen kannst du den Rang auch ohne die Zeilenstufenform bestimmen. Eine reguläre (d.h. invertierbare ) Matrix hat immer vollen Rang. Der Rang entspricht dann also der Zeilen- bzw. Spaltenanzahl.

Eine singuläre (d.h. nicht invertierbare) Matrix hat nie vollen Rang. Der Rang ist also immer kleiner als die Zeilen- bzw. Spaltenanzahl.

Beispiel 1:

    \[A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 7 & 4 \end{pmatrix} \]

Erinnere dich, dass eine Matrix A genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante det(A) ≠ 0 ist.

det(A) = 24 + 8 + 28 – 16 – 16 – 21 = -7

Die Determinante ist nicht Null, also ist die Matrix regulär. Sie hat also vollen Rang. Weil sie 3 Zeilen bzw. 3 Spalten hat, ist rang(A) = 3.

Beispiel 2:

    \[B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\]

Berechne wieder zuerst die Determinante:

det(B) = 36 + 94 + 12 – 94 – 36 – 12 = 0

Weil die Determinante gleich Null ist, ist die Matrix singulär. Du weißt also nur, dass sie keinen vollen Rang hat. Also ist rang(B) < 3.

Du kannst jetzt entweder den Gauß-Algorithmus anwenden oder die Spalten- oder Zeilenvektoren nach linearer Unabhängigkeit untersuchen.
Weil der dritte Vektor offenbar kein Vielfaches vom ersten Vektor ist, hast du schon zwei zueinander linear unabhängige Spaltenvektoren gefunden. Der Rang ist also mindestens 2. Weil du außerdem weißt, dass er kleiner als 3 ist, weißt du: rang(B) = 2.

Eigenschaften von Matrizen

Neben dem Rang haben Matrizen weitere Eigenschaften, die du kennen solltest. Besonders wichtig sind der Kern , die Spur sowie die Eigenwerte und Eigenvektoren . Auch zu diesen Themen haben wir bereits Videos und Artikel für dich bereitgestellt. Schaue sie dir gleich einmal an! 

Zum Video: Eigenwert
Zum Video: Eigenwert

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.