Lineare Algebra

Rang einer Matrix

In diesem Artikel erklären wir, was unter dem Rang einer Matrix zu verstehen ist und stellen einige Eigenschaften vor, die er besitzt. Zusätzlich zeigen wir, anhand eines Beispiels, wie man den Rang einer Matrix bestimmen kann und in welchem Zusammenhang dieser mit der Invertierbarkeit und dem Lösen von Gleichungssystemen steht.

Wenn du in kürzester Zeit verstehen möchtest was der Rang einer Matrix ist und wie du ihn berechnen kannst, solltest du dir am besten unser Video  ansehen.

Inhaltsübersicht

Rang einer Matrix einfach erklärt

Der Zeilenrang einer Matrix entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger  Zeilen in der Matrix. Der Spaltenrang ist entsprechend die maximale Zahl linear unabhängiger Spalten. Da Zeilen- und Spaltenrang bei einer Matrix mit Einträgen aus einem Körper gleich sind, spricht man daher im Allgemeinen vom Rang einer Matrix. Zu den bekanntesten Körpern zählen die reellen Zahlen \mathbb{R}, die rationalen Zahlen \mathbb{Q} und die komplexen Zahlen \mathbb{C}, jeweils versehen mit der Addition und Multiplikation.

Für den Rang einer Matrix A werden häufig folgende Schreibweisen verwendet: Rang(A), rang(A) oder rg(A)

Rang einer Matrix bestimmen

Um den Rang einer Matrix bestimmen zu können, benötigt man also die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten. Eine Möglichkeit diese zu bestimmen, ist über das Gaußsche Eliminationsverfahren .

Rang einer Matrix berechnen mit Gaußschem Eliminationsverfahren

Bei diesem Verfahren wird die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in eine Stufenform gebracht. Diese Matrix ist äquivalent zu unserer Ausgangsmatrix, weshalb sie den selben Rang besitzen. Der Rang der Matrix in Stufenform kann einfach abgelesen werden, indem man die Zeilen zählt, welche nicht nur aus Nullen bestehen.

Demnach gilt: Die Anzahl der Nichtnullzeilen der Matrix in Stufenform, entspricht dem Rang der Matrix.

Wir veranschaulichen das Vorgehen an einigen Beispielen.

Beispiele: Rang einer Matrix berechnen

Im Folgenden formen wir entsprechend dem Gaußschen Eliminationsverfahren die gegebenen Matrizen in Stufenform um und lesen dann die Nichtnullzeilen ab.

A=\left(\begin{array}{ccc}1&5&3 \\0&2&1\\0&6&2\\\end{array}\right) ~ \left(\begin{array}{ccc}1&5&3 \\0&2&1\\0&0&-1\\\end{array}\right)

Es sind keine Nullzeilen vorhanden, weshalb Rang(A) = 3 gilt.

B=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3 \\0&2&1\\0&6&3\\\end{array}\right) ~ \left(\begin{array}{ccc}1&2&3 \\0&2&1\\0&0&0\\\end{array}\right)

Hier liegen zwei Nichtnullzeilen vor, weshalb Rang(B)=2 gilt.

C=\left(\begin{array}{ccc}2&2 \\0&3\\4&1\\\end{array}\right) ~ \left(\begin{array}{ccc}2&2\\0&3\\0&-3\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2&2\\0&3\\0&0\\\end{array}\right)

Die Matrix hat zwei Nichtnullzeilen, deshalb gilt Rang(C) = 2.

Quadratische Matrizen

Eine m\times n – Matrix entspricht einer Matrix mit m Zeilen und n Spalten. Da der Zeilenrang dem Spaltenrang entspricht, gilt im Allgemeinen, dass der Rang einer Matrix kleiner oder gleich dem Minimum von m und n ist. Wenn Gleichheit gilt, d.h. Rang(A) = Min(m,n), spricht man von einem vollen Rang.

Entspricht die Anzahl der Zeilen einer Matrix der ihrer Spalten, also gilt m=n, spricht man von einer quadratischen Matrix. Man unterscheidet bei quadratischen Matrizen zwischen regulären und singulären Matrizen.

Reguläre Matrix

Unter einer regulären Matrix versteht man eine invertierbare Matrix. Das bedeutet es gibt eine sogenannte inverse Matrix A^{-1}, sodass A A^{-1} = A^{-1}A = E der Einheitsmatrix entspricht. Diese Inverse einer Matrix mit Einträgen aus einem Körper existiert genau dann, wenn die Determinante von A ungleich Null ist, bzw. wenn die Matrix vollen Rang hat.

\det(A)= \det\left(\begin{array}{cc}2&2 \\0&3\\\end{array}\right) = 2\cdot 3 - 0 \cdot 2 = 6

Die Determinante ist ungleich Null, weshalb A regulär ist. Man sieht aber auch direkt, dass die Zeilen und Spalten linear unabhängig sind, also der Rang(A)=2 voll ist.

Singuläre Matrix

Ist die Determinante gleich Null oder besitzt sie keinen vollen Rang, so ist die Matrix singulär. Das bedeutet sie besitzt keine Inverse, wie z.B. in folgendem Fall:

\det(A)= \det\left(\begin{array}{cc}2&1 \\6&3\\\end{array}\right) = 2 \cdot 3 - 6\cdot 1 = 0

Man sieht auch direkt, dass die Zeilen, bzw. die Spalten, linear abhängig sind. Beispielsweise ergibt sich die erste Spalte durch Multiplikation der zweiten Spalte mit 2.

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem kann als Matrixgleichung  Ax=b dargestellt werden, wobei A die Koeffizientenmatrix, x den Variablen- und b den Ergebnisvektor darstellt. Entspricht der Rang der Koeffizientenmatrix A dem der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b), so besitzt das lineare Gleichungssystem mindestens eine Lösung. Andernfalls ist es nicht lösbar.

Eigenschaften

Der Rang einer Matrix A ist gleich dem Rang ihrer Transponierten A^T. Diese erhält man, indem man die Zeilen und Spalten vertauscht, d.h. die i-te Zeile von A^T entspricht der i-ten Spalte von A.

Eine lineare Abbildung f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, f(x)=Ax ist genau dann surjektiv , wenn ihr Bild dem gesamten \mathbb{R}^m entspricht. Das ist der Fall, wenn alle Zeilen der m\times n-Matrix A linear unabhängig sind, also Rang(A) = m gilt.

Eine lineare Abbildung f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, f(x)=Ax ist genau dann injektiv , wenn Rang(A) = n gilt.

Dementsprechend ist die Abbildung bijektiv,  wenn Rang(A) = n = m gilt. Das bedeutet es existiert eine Umkehrabbildung f^{-1}, deren Koeffizienten in einer Matrix dargestellt werden können, der Inversen Matrix A^{-1}, sodass sich der Kreis zur Invertierbarkeit quadratischer Matrizen schließt.

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