Lineare Algebra

Matrizen addieren

In diesem Artikel erklären wir dir, wie du zwei oder mehr Matrizen addieren kannst. Du willst es visuell erklärt bekommen? Dann schau unser Video  an! Dort haben wir alles anschaulich erklärt.

Inhaltsübersicht

Matrizen addieren einfach erklärt  

Bei der Matrix Addition musst du nur die jeweiligen Einträge aus den beiden Matrizen zusammenrechnen, also zum Beispiel den ersten Eintrag der ersten Matrix 1 mit dem ersten Eintrag der zweiten Matrix 3.

\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{1}&\textcolor{blue}{2}\\\textcolor{green}{4}&0\\\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{3}&\textcolor{blue}{0}\\\textcolor{green}{5}&1\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{1+3}&\textcolor{blue}{2+0}\\\textcolor{green}{4+5}&0+1\\\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{4}&\textcolor{blue}{2}\\\textcolor{green}{9}&1\\\end{array}\right)

So machst du das für jeden Eintrag der Matrix. Dabei kannst du nur zwei Matrizen addieren, die die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten haben.

Matrix Addition  

Ganz allgemein ergibt sich die sogenannte Summenmatrix also durch das Addieren der einzelnen Matrixeinträge.

A=\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{a_{11}}&\textcolor{blue}{a_{12}}\\\textcolor{green}{a_{21}}&a_{22}\\\end{array}\right)

B=\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{b_{11}}&\textcolor{blue}{b_{12}}\\\textcolor{green}{b_{21}}&b_{22}\\\end{array}\right)

A+B=\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{a_{11}+b_{11}}&\textcolor{blue}{a_{12}+b_{12}}\\\textcolor{green}{a_{21}+b_{21}}&a_{22}+b_{22}\\\end{array}\right)

Die Matrix A und die Matrix B haben beide zwei Zeilen und drei Spalten. Deshalb funktioniert die Matrix Addition ohne Probleme. Die Summenmatrix A+B hat dann natürlich die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten.

C=\left(\begin{array}{rr}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\\c_{31}&c_{32}\\\end{array}\right) 

D=\left(\begin{array}{rrr}d_{11}&d_{12}&d_{13}\\d_{21}&d_{22}&d_{23}\\\end{array}\right)

Die beiden Matrizen C und D kannst du nicht addieren, weil sie eine unterschiedliche Anzahl an Zeilen und Spalten haben.

Matrizen addieren Rechenregeln

Ähnlich wie beim Rechnen mit Zahlen gibt es auch bei der Matrix Addition ein paar Regeln zu beachten.

Die Reihenfolge ist egal, wenn du Matrizen addieren willst. Das heißt, die Matrix Addition ist kommutativ. Im Allgemeinen gilt also

A+B=B+A.

Außerdem gilt das Assoziativgesetz.

(A+B)+C=A+(B+C)

Du kannst die Klammern also setzen, wie du möchtest, oder sie ganz weglassen. Hier siehst du das nochmal an einem Beispiel.

\left( \left(\begin{array}{rr}1&0\\-2&2\\\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\\\end{array}\right) \right) + \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{rr}1&-1\\-1&2\\\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}2&-1\\-1&3\\\end{array}\right)

Du kommst zum selben Ergebnis, wenn du die Klammern anders setzt.

\left(\begin{array}{rr}1&0\\-2&2\\\end{array}\right) + \left( \left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\\\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right)\right)

=\left(\begin{array}{rr}1&0\\-2&2\\\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr}1&-1\\1&1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}2&-1\\-1&3\\\end{array}\right)

Matrizen subtrahieren  

Natürlich kannst du nicht nur Matrizen addieren, sondern auch subtrahieren. Das funktioniert nach dem gleichen Prinzip.

\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{1}&\textcolor{blue}{2}\\\textcolor{green}{4}&0\\\end{array}\right)-\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{3}&\textcolor{blue}{0}\\\textcolor{green}{5}&1\\\end{array}\right)

= \left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{1-3}&\textcolor{blue}{2-0}\\\textcolor{green}{4-5}&0-1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{-2}&\textcolor{blue}{2}\\\textcolor{green}{-1}&-1\\\end{array}\right)

Auch hier kannst du natürlich nur solche Matrizen subtrahieren, die die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten haben. Ist diese Voraussetzung erfüllt, dann ist es wieder ganz egal, welche Einträge die Matrizen haben.

A=\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{a_{11}}&\textcolor{blue}{a_{12}}\\\textcolor{green}{a_{21}}&a_{22}\\\end{array}\right)

B=\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{b_{11}}&\textcolor{blue}{b_{12}}\\\textcolor{green}{b_{21}}&b_{22}\\\end{array}\right)

A-B=\left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{a_{11}-b_{11}}&\textcolor{blue}{a_{12}-b_{12}}\\\textcolor{green}{a_{12}-b_{12}}&a_{22}-b_{22}\\\end{array}\right)

Matrizen multiplizieren

Auch das Multiplizieren von Matrizen ist im Prinzip nicht schwer. Wir erklären es dir ausführlich in unserem Video dazu. Schau es dir an!

Zum Video: Matrizen multiplizieren
Zum Video: Matrizen multiplizieren

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