Matrizen multiplizieren
Für die Multiplikation von Matrizen gibt es ein ganz einfaches Berechnungs–Schema. Hier erklären wir dir in einfachen Worten zunächst, was eine Matrixmultiplikation bedeutet und welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese durchzuführen. Darüber hinaus behandeln wir verschiedene Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen und wenden eine Matrixmultiplikation in einem Beispiel an.
Gerade das Schema zur Berechnung lässt sich in einem Video viel anschaulicher erklären. Und genau deshalb haben wir das Thema Matrizen multiplizieren audiovisuell aufbereitet. Schau rein!
Matrizenmultiplikation einfach erklärt
Die Matrizenmultiplikation bzw. Matrixmultiplikation bezeichnet die multiplikative Verknüpfung zweier Matrizen, dessen Ergebnis Produktmatrix heißt. Ihr Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ergibt sich als Skalarprodukt der i-ten Zeile der ersten Matrix mit der j-ten Spalte der zweiten Matrix. Das heißt, es muss die Spaltenzahl der ersten, mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.
Definition Matrixmultiplikation















Matrizen multiplizieren Vorgehen
Im Folgenden zeigen wir die das Berechnungsschema, um zwei oder mehrer Matrizen miteinander zu multiplizieren.
Berechnung: Falk-Schema
Will man Matrizen multiplizieren eignet sich hierfür ein einfaches Schema, bei dem die zu multiplizierenden Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben werden. Dieses wird Falk-Schema genannt und es soll anhand eines Beispiels hier aufgezeigt werden.
Gegeben seien die Matrizen und
. Will man diese Matrizen multiplizieren – also das Produkt
bestimmen -, so notiert man im Falkschema die Matrix
folgendermaßen rechts über der Matrix
:
9 7 5 |
8 6 4 |
|
1 2 3 | ||
4 5 6 | ||
7 8 9 |
Dadurch ergibt sich eine Tabelle, deren Einträge die Einträge der Produktmatrix
darstellen:
9 7 5 |
8 6 4 |
|
1 2 3 | c11 | c12 |
4 5 6 | c21 | c22 |
7 8 9 | c31 | c32 |
Jeder Eintrag wird als Skalarprodukt des zugehörigen Zeilenvektors mit dem passenden Spaltenvektor berechnet. Der Eintrag berechnet sich beispielsweise folgendermaßen:
9 7 5 |
8 6 4 |
|
1 2 3 | c11 | c12 |
4 5 6 | c21 | 4x8 + 5x6 + 6x4 |
7 8 9 | c31 | c32 |
So lassen sich schließlich alle Einträge der Produktmatrix bestimmen und man erhält
3 Matrizen multiplizieren
Will man 3 oder noch mehr Matrizen multiplizieren, so kann man dies Schritt für Schritt durchführen. Soll beispielsweise die Matrixmultiplikation durchgeführt werden, gibt es zwei Möglichkeiten dies zu tun. Zum einen kann zuerst das Produkt
berechnet werden und das Ergebnis mit der Matrix
multipliziert werden:
. Andererseits könnte man auch zuerst das Produkt
bestimmen und die Matrix
mit diesem multiplizieren
. Die Matrizenmultiplikation ist nämlich assoziativ.
Eigenschaften und Regeln der Matrixmultiplikation
Hier soll noch auf weitere Eigenschaften beim Matrizen Multiplizieren eingegangen werden.
Matrizen multiplizieren: Spezialfälle
Beim Matrizen Multiplizieren können einige besondere Fälle auftreten, welche einem merkwürdig erscheinen mögen aber durchaus verträglich mit der Definition der Matrizenmultiplikation sind. Diese Spezialfälle sollen im Folgenden betrachtet werden.
Zeilenvektor mal Spaltenvektor
Falls die erste Matrix nur aus einer Zeile und die zweite Matrix nur aus einer Spalte besteht, ist die Produktmatrix eine -Matrix, also ein Skalar. Das Produkt des Zeilenvektors mit dem Spaltenvektor liefert das selbe Ergebnis wie das Standardskalarprodukt dieser beiden Vektoren.
Spaltenvektor mal Zeilenvektor
Ist umgekehrt die erste Matrix nur ein einzelner Spaltenvektor mit Einträgen und die zweite Matrix ein einzelner Zeilenvektor der Länge
, so stellt das Produkt eine
-Matrix dar.
Matrix mal Spaltenvektor
Wird eine Matrix mit Zeilen mit einem Spaltenvektor multipliziert, so ist das Ergebnis wiederum ein Spaltenvektor mit
Zeilen.
Zeilenvektor mal Matrix
Multipliziert man hingegen einen Zeilenvektor mit einer Matrix mit Spalten, ist das Ergebnis wieder ein Zeilenvektor mit
Spalten.
Rechenregeln der Matrizenmultiplikation
Im Folgenden sind die wichtigsten Rechenregeln, die beim Matrizen Multiplizieren zu beachten sind, zusammengefasst.
Assoziativität
Distributivität
sowie
Nichtkommutativität
Transponierte
Spur
Für und
gilt:
Determinante
Sind und
quadratische Matrizen, so gilt: