Lineare Algebra

Matrizen multiplizieren

Für die Multiplikation von Matrizen gibt es ein ganz einfaches BerechnungsSchema. Hier erklären wir dir in einfachen Worten zunächst, was eine Matrixmultiplikation bedeutet und welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese durchzuführen. Darüber hinaus behandeln wir verschiedene Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen und wenden eine Matrixmultiplikation in einem Beispiel an.

Gerade das Schema zur Berechnung lässt sich in einem Video viel anschaulicher erklären. Und genau deshalb haben wir das Thema Matrizen multiplizieren  audiovisuell aufbereitet. Schau rein!

Inhaltsübersicht

Matrizenmultiplikation einfach erklärt

Die Matrizenmultiplikation bzw. Matrixmultiplikation bezeichnet die multiplikative Verknüpfung zweier Matrizen, dessen Ergebnis Produktmatrix heißt. Ihr Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ergibt sich als Skalarprodukt der i-ten Zeile der ersten Matrix mit der j-ten Spalte der zweiten Matrix. Das heißt, es muss die Spaltenzahl der ersten, mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.

Definition Matrixmultiplikation

Merke
Das Produkt A\cdot B der zwei Matrizen A und B ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmt. Das heißt wenn A eine n\times m-Matrix ist, muss B eine m\times k-Matrix sein. Dann ist die Produktmatrix C=A\cdot B eine n\times k-Matrix und ihr Eintrag c_{ij} der i-ten Zeile und j-ten Spalte berechnet sich nach folgender Vorschrift: c_{ij}=\sum_{l=1}^{m}a_{il}\cdot b_{lj}

Matrizen multiplizieren Vorgehen 

Im Folgenden zeigen wir die das Berechnungsschema, um zwei oder mehrer Matrizen miteinander zu multiplizieren.

Berechnung: Falk-Schema

Will man Matrizen multiplizieren eignet sich hierfür ein einfaches Schema, bei dem die zu multiplizierenden Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben werden. Dieses wird Falk-Schema genannt und es soll anhand eines Beispiels hier aufgezeigt werden.

Gegeben seien die Matrizen A=\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right) und B=\left( \begin{array}{cc} 9&8\\7&6\\5&4\end{array}\right). Will man diese Matrizen multiplizieren – also das Produkt A\cdot B bestimmen -, so notiert man im Falkschema die Matrix B folgendermaßen rechts über der Matrix A:

9
7
5
8
6
4
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Dadurch ergibt sich eine Tabelle, deren Einträge die Einträge c_{ij} der Produktmatrix C=A\cdot B darstellen:

9
7
5
8
6
4
1 2 3 c11 c12
4 5 6 c21 c22
7 8 9 c31 c32

Jeder Eintrag wird als Skalarprodukt des zugehörigen Zeilenvektors mit dem passenden Spaltenvektor  berechnet. Der Eintrag c_{22} berechnet sich beispielsweise folgendermaßen:

9
7
5
8
6
4
1 2 3 c11 c12
4 5 6 c21 4x8 + 5x6 + 6x4
7 8 9 c31 c32

So lassen sich schließlich alle Einträge der Produktmatrix bestimmen und man erhält

A\cdot B=C=\left( \begin{array}{cc} 38&32\\101&86\\164&140\end{array}\right)

3 Matrizen multiplizieren

Will man 3 oder noch mehr Matrizen multiplizieren, so kann man dies Schritt für Schritt durchführen. Soll beispielsweise die Matrixmultiplikation A\cdot B\cdot C durchgeführt werden, gibt es zwei Möglichkeiten dies zu tun. Zum einen kann zuerst das Produkt A\cdot B=:D berechnet werden und das Ergebnis mit der Matrix C multipliziert werden: D\cdot C. Andererseits könnte man auch zuerst das Produkt B\cdot C=:E bestimmen und die Matrix A mit diesem multiplizieren A\cdot E. Die Matrizenmultiplikation ist nämlich assoziativ.

Eigenschaften und Regeln der Matrixmultiplikation

Hier soll noch auf weitere Eigenschaften beim Matrizen Multiplizieren eingegangen werden.

Matrizen multiplizieren: Spezialfälle

Beim Matrizen Multiplizieren können einige besondere Fälle auftreten, welche einem merkwürdig erscheinen mögen aber durchaus verträglich mit der Definition der Matrizenmultiplikation sind. Diese Spezialfälle sollen im Folgenden betrachtet werden.

Zeilenvektor mal Spaltenvektor

Falls die erste Matrix nur aus einer Zeile und die zweite Matrix nur aus einer Spalte besteht, ist die Produktmatrix eine 1\times 1-Matrix, also ein Skalar. Das Produkt des Zeilenvektors mit dem Spaltenvektor liefert das selbe Ergebnis wie das Standardskalarprodukt dieser beiden Vektoren.

Spaltenvektor mal Zeilenvektor

Ist umgekehrt die erste Matrix nur ein einzelner Spaltenvektor mit m Einträgen und die zweite Matrix ein einzelner Zeilenvektor der Länge n, so stellt das Produkt eine m\times n-Matrix dar.

Matrix mal Spaltenvektor

Wird eine Matrix mit m Zeilen mit einem Spaltenvektor multipliziert, so ist das Ergebnis wiederum ein Spaltenvektor mit m Zeilen.

Zeilenvektor mal Matrix

Multipliziert man hingegen einen Zeilenvektor mit einer Matrix mit n Spalten, ist das Ergebnis wieder ein Zeilenvektor mit n Spalten.

Rechenregeln der Matrizenmultiplikation 

Im Folgenden sind die wichtigsten Rechenregeln, die beim Matrizen Multiplizieren zu beachten sind, zusammengefasst.

Assoziativität

(A\cdot B) \cdot C=A\cdot (B \cdot C)

Distributivität

(A+B) \cdot C=A\cdot C+B \cdot C sowie C \cdot (A+B)  =C\cdot A+C \cdot B

Nichtkommutativität

A\cdot B \neq B\cdot A

Transponierte

(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T

Spur

Für A\in R^{m\times n} und B\in R^{n\times m} gilt:

\mathrm{spur}(A\cdot B)=\mathrm{spur}(B\cdot A)

Determinante

Sind A und B quadratische Matrizen, so gilt:

\mathrm{det}(A\cdot B)=\mathrm{det}(A)\cdot \mathrm{det}(B)=\mathrm{det}(B)\cdot \mathrm{det}(A)=\mathrm{det}(B\cdot A)


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