Lineare Algebra

Für die Multiplikation von Matrizen gibt es ein ganz einfaches Berechnungsschema. Hier zeigen wir dir, wie es funktioniert und was du für die Matrixmultiplikation alles wissen musst.% Das Berechnungsschema lässt sich in einem Video anschaulicher erklären. Schaue gleich mal rein!<span style="color: #ff9900;">

Inhaltsübersicht

Matrixmultiplikation einfach erklärt

Die Matrizenmultiplikation bzw. Matrixmultiplikation bezeichnet die multiplikative Verknüpfung zweier Matrizen, dessen Ergebnis Produktmatrix heißt.

    \begin{gather*} \textbf{A} \cdot \textbf{B} = \textbf{C} \\ c_{ln}=\sum_{i=1}^{m}a_{li}\cdot b_{in} \end{gather*}

Du darfst zwei Matrizen multiplizieren, wenn die Zahl an Spalten der ersten Matrix gleich der Zahl an Zeilen in der zweiten Matrix ist. Wenn du eine l\times m\text{-Matrix} mit einer m\times n\text{-Matrix} multiplizierst, ist die Produktmatrix eine l\times n\text{-Matrix}.

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Zeilen- und Spaltenanzahl des Matrixprodukts

Matrizen multiplizieren

Eine anschauliche Möglichkeit zwei Matrizen zu multiplizieren ist das Falk-Schema. Wie rechnest du zum Beispiel das Matrixprodukt \textbf{C}=\textbf{A} \cdot \textbf{B} von

    \[ \textbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 2 \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad \textbf{B} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

aus? Beim Falk-Schema schreibst du dir deine Matrizen in eine Tabelle. Links steht die erste Matrix A und oben steht die zweite Matrix B. Dabei darfst du nicht vergessen, dass die Anzahl der Spalten von Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen von Matrix B sein muss. 

    \[ \begin{array}{ccc|cc} & & & \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \multicolumn{3}{c|}{\textbf{A} \cdot \textbf{B}} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{blue}{1} \\ & & & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{1} \\\cline{1-5} \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{1} & c_{\textcolor{olive}{1}\textcolor{red}{1}} & c_{\textcolor{olive}{1}\textcolor{blue}{2}} \\ \textcolor{orange}{3} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{4} & c_{\textcolor{orange}{2}\textcolor{red}{1}} & c_{\textcolor{orange}{2}\textcolor{blue}{2}}\\ \textcolor{teal}{1} & \textcolor{teal}{5} & \textcolor{teal}{2} & c_{\textcolor{teal}{3}\textcolor{red}{1}} & c_{\textcolor{teal}{3} \textcolor{blue}{2}} \end{array} \]

Im Falk-Schema kannst du jetzt leicht ablesen, aus welchen Spalten und Zeilen du das Skalarprodukt ermitteln musst, um alle Elemente deiner Produktmatrix auszurechnen.

    \[c_{\textcolor{olive}{1}\textcolor{red}{1}} &= \textcolor{olive}{1}\cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{olive}{2}\cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{olive}{1}\cdot \textcolor{red}{1} = 11\]

Zum Beispiel musst du, um das erste Matrixelement c11 auszurechnen, die erste Zeile von A (olive) und die erste Spalte von B (rot) kombinieren. Um die Zeile und Spalte zu kombinieren, multiplizierst du die ersten Elemente der Zeile und Spalte miteinander (\textcolor{olive}{1}\cdot \textcolor{red}{2}). Das Ergebnis addierst du zum Produkt der zweiten Elemente der Zeile und Spalte (\textcolor{olive}{2}\cdot \textcolor{red}{4}) und dem Produkt der dritten Elemente der Zeile und Spalte (\textcolor{olive}{1}\cdot \textcolor{red}{1}). So einfach funktioniert die Matrizenmultiplikation!

    \begin{align*} c_{\textcolor{olive}{1}\textcolor{red}{1}} &= \textcolor{olive}{1}\cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{olive}{2}\cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{olive}{1}\cdot \textcolor{red}{1} = 11 & c_{\textcolor{olive}{1}\textcolor{blue}{2}} &= \textcolor{olive}{1}\cdot\textcolor{blue}{3} + \textcolor{olive}{2}\cdot\textcolor{blue}{1} + \textcolor{olive}{1}\cdot\textcolor{blue}{1} = 6 \\ c_{\textcolor{orange}{2}\textcolor{red}{1}} &= \textcolor{orange}{3}\cdot\textcolor{red}{2}+\textcolor{orange}{1}\cdot\textcolor{red}{4}+\textcolor{orange}{4}\cdot\textcolor{red}{1} = 14 & c_{\textcolor{orange}{2}\textcolor{blue}{2}} &= \textcolor{orange}{3}\cdot\textcolor{blue}{3}+\textcolor{orange}{1}\cdot\textcolor{blue}{1}+\textcolor{orange}{4}\cdot\textcolor{blue}{1} = 14 \\ c_{\textcolor{teal}{3}\textcolor{red}{1}} &= \textcolor{teal}{1}\cdot\textcolor{red}{2}+\textcolor{teal}{5}\cdot\textcolor{red}{4}+\textcolor{teal}{2}\cdot\textcolor{red}{1} = 24 & c_{\textcolor{teal}{3}\textcolor{blue}{2}} &= \textcolor{teal}{1}\cdot\textcolor{blue}{3}+\textcolor{teal}{5}\cdot\textcolor{blue}{1}+\textcolor{teal}{2}\cdot\textcolor{blue}{1} = 10 \end{align*}

    \[ \textbf{C}=\textbf{A} \cdot \textbf{B} = \begin{pmatrix} 11 & 6 \\ 14 & 14 \\ 24 & 10 \end{pmatrix} \]

Eigenschaften Matrizenmultiplikation

Natürlich gibt es auch beim Matrizenmultiplizieren Regeln. Anders als beim Multiplizieren von Zahlen gilt nicht das Kommutativgesetz. Das bedeutet, du darfst zwei Matrizen A und B bei der Matrixmultiplikation nicht vertauschen.

    \[ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\cdot\mathbf{A} \]

    \begin{align*} \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} &= \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\ 1&1\end{pmatrix} \\ \mathbf{B}\cdot\mathbf{A} &= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\ 1&2\end{pmatrix} \end{align*}

Aufgepasst! \mathbf{B}\cdot\mathbf{A} muss nicht definiert sein, nur weil \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} definiert ist. Wenn zum Beispiel A eine 2\times 3-Matrix und B eine 3\times 4-Matrix  ist, kannst du das Matrixprodukt \mathbf{B}\cdot\mathbf{A} nicht ausrechnen, weil A weniger Zeilen besitzt als B Spalten hat.%Warum? <span style="color: #008000;">DONE</span>

Dagegen gilt bei der Matrizenmultiplikation das Distributivgesetz. Das bedeutet, du kannst Matrixmultiplikationen ausklammern und ausmultiplizieren.

    \[ (\mathbf{A}+\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C} \]

Außerdem gilt bei der Matrizenmultiplikation das Assoziativgesetz. Das bedeutet, dass die Rechenreihenfolge egal ist, wenn du 3 Matrizen multiplizieren willst.

    \[ (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\cdot\mathbf{C} = \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}) \]

Inverse Matrix

Die Rechengesetze kennst du schon von dem Multiplizieren von Zahlen. Ein Konzept, das du ebenfalls von dem%daher kennst <span style="color: #008000;">Daher ist eigentlich eine Kausalkonjugation. Das wäre mir hier zu umgangssprachlich.</span> Multiplizieren von Zahlen kennst, ist der Kehrwert. Multiplizierst du eine Zahl mit ihrem Kehrwert, ist das Ergebnis 1. Bei der Matrizenmultiplikation nennst du den Kehrwert die inverse Matrix und das Ergebnis die Einheitsmatrix. Schaue dir gleich unser passendes Video dazu an!

 

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