Lineare Algebra

Inverse Matrix

Du willst wissen, was eine inverse Matrix ist? Dann bist du hier genau richtig! Alles Wichtige erfährst du in kürzester Zeit, wenn du unser Video anschaust!

Inhaltsübersicht

Inverse Matrix einfach erklärt  

Erinnere dich kurz an die Potenzgesetze. Da gab es die Zahl hoch minus 1, das steht für den Kehrwert einer Zahl.

3 \cdot 3^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1

So eine ähnliche Regel gibt es auch für Matrizen. Eine Matrix hoch minus 1 steht dabei für die inverse Matrix. Multiplizierst du eine Matrix A mit ihrer inversen Matrix A^{-1}, dann erhältst du die Einheitsmatrix E. Das ist die Matrix, bei der alle Einträge auf der Hauptdiagonalen 1 sind. 

A \cdot A^{-1}=E

\left(\begin{array}{rrr}3&1&0\\-1&3&-1\\0&-3&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}0&-1&1\\1&3&3\\3&9&10\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)

Merke

Die inverse Matrix A^{-1} ist die Matrix, die multipliziert mit der ursprünglichen Matrix A die Einheitsmatrix E ergibt.

Zum Berechnen der Inversen bietet sich der Gauß-Algorithmus , die Adjunkte oder die Cramersche Regel an. Mehr dazu findest du im Video zum Thema Inverse Matrix berechnen .

Invertierbare Matrix  

Leider ist nicht jede beliebige Matrix invertierbar, sondern nur solche Matrizen, die bestimmte Voraussetzungen erfüllen. Es stellt sich also die Frage, wann ist eine Matrix invertierbar? Dazu musst du prüfen, ob du eine quadratische Matrix vorliegen hast und ob die Determinante der Matrix ungleich Null ist.

A=\left(\begin{array}{rrr}3&1&0\\-1&3&-1\\0&-3&1\\\end{array}\right)

Die Beispielmatrix A hat drei Zeilen und drei Spalten, sie ist also eine quadratische Matrix. Außerdem gilt \det(A)=1 und damit ist \det(A) \neq 0. Die Matrix A ist damit eine invertierbare Matrix. Die inverse Matrix zu A sieht dabei wie folgt aus

A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}0&-1&1\\1&3&3\\3&9&10\\\end{array}\right).

Wie du die Inverse genau bestimmen kannst, erfährst du in unserem Video Inverse Matrix berechnen .

Meistens lohnt es sich, vorher kurz die Invertierbarkeit der Matrix zu überprüfen.

Hinweis: Übrigens, eine invertierbare Matrix nennt man regulär. Ist eine Matrix nicht invertierbar, so nennt man sie singulär.

Inverse Matrix Eigenschaften

Ist eine Matrix invertierbar, dann kannst du natürlich auch weiter mit ihr rechnen. Hier haben wir die wichtigsten Regeln und Eigenschaften für dich zusammengefasst.

Bei der Multiplikation von zwei Matrizen kannst du erst das Produkt bilden und davon die inverse Matrix bestimmen. Oder du multiplizierst gleich die inversen Matrizen, dann aber in umgekehrter Reihenfolge.

\left(A \cdot B\right)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}

Ganz ähnlich funktioniert es, wenn du die Matrix mit einer Zahl k multiplizierst. Da brauchst du dann den Kehrwert k^{-1} der Zahl k, also zum Beispiel \frac{1}{2} für k=2.

\left(k \cdot A\right)^{-1}=k^{-1} \cdot A^{-1}

Eine inverse Matrix ist selbst wieder eine invertierbare Matrix. Und die Inverse der inversen Matrix ist wieder die ursprüngliche Matrix.

\left(A^{-1}\right)^{-1} = A

Du kannst eine inverse Matrix auch transponieren. Das Ergebnis ist das Gleiche, wie wenn du die Inverse einer transponierten Matrix  bildest.

\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1}

Bei einer orthogonalen Matrix  sind die beiden sogar gleich.

A^{-1}=A^T

Der Rang einer Matrix ändert sich nicht, es gilt also

Rang(A^{-1})=Rang(A).

Und es gibt auch einen Zusammenhang zwischen der Determinante einer Matrix und der Determinante der inversen Matrix.

\det(A^{-1})=\left(\det(A)\right)^{-1}

Inverse Matrix Aufgabe  

Prüfe die Matrix A auf Invertierbarkeit.

A=\left(\begin{array}{rr}-2&0\\2&1\\\end{array}\right)

Lösung

Die Matrix A ist eine invertierbare Matrix, weil sie quadratisch ist und es gilt

\det(A)=-2\neq0.

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