Du willst wissen, was Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz sind? Wir erklären dir hier und im Video diese drei wichtigen Rechengesetze!
Was sind die drei Rechengesetze?
Beim Rechnen musst du grundsätzlich zwei Regeln beachten: Klammer zuerst und Punkt vor Strich.
Daraus ergeben sich drei Rechengesetze, die dir das Rechnen erleichtern. Denn mit ihnen kannst du Klammern umformen oder Zahlen vertauschen.
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Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) — Du darfst Summanden und Faktoren beliebig tauschen.
➕Addition → a + b = b + a
✖️Multiplikation → a · b = b · a
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Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) — Du darfst Klammern beliebig um Summanden oder Faktoren setzen.
➕Addition → a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
✖️Multiplikation → a · b · c = (a· b) · c = a · (b · c)
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Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) — Du darfst Faktoren auf jeden Summanden in einer Klammer verteilen.
✖️Multiplikation → a · (b ± c) = a · b ± a · c
Wie nutzt du das Kommutativgesetz?
Das Kommutativgesetz kannst du bei Addition und Multiplikation anwenden. Es besagt, dass du die Reihenfolge der Zahlen vertauschen darfst, ohne das Ergebnis zu verändern.
➡️Beispiele:
✓ 6 + 3 = 9 ↔ 3 + 6 = 9
✓ 4 · 7 = 28 ↔ 7 · 4 = 28
Bei einer Subtraktion oder Division funktioniert das jedoch nicht. Dort liefert eine andere Reihenfolge ein anderes Ergebnis:
✗ 8 − 3 = 5 ↔ 3 − 8 = −5
✗ 20 : 4 = 5 ↔ 4 : 20 = 0,2
Tipp: Das Kommutativgesetz hilft dir besonders beim Kopfrechnen. Du kannst Zahlen zum Beispiel so anordnen, dass Vielfache von 10 nebeneinanderstehen.
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Wie nutzt du das Assoziativgesetz?
Auch das Assoziativgesetz kannst du nur für Addition und Multiplikation anwenden. Damit darfst du Klammern umsetzen, ohne das Ergebnis zu verändern.
➡️Beispiele:
✓ (6 + 3) + 2 = 11 ↔ 6 + (3 + 2) = 11
✓ (2 · 5) · 4 = 40 ↔ 2 · (5 · 4) = 40
Bei Subtraktion und Division klappt das auch hier nicht. Dort verändern Klammern das Ergebnis:
✗ (8 − 3) − 2 = 3 ↔ 8 − (3 − 2) = 7
✗ (24 : 6) : 2 = 2 ↔ 24 : (6 : 2) = 8
Tipp: Nutze das Assoziativgesetz beim Kopfrechnen, indem du Zahlen gruppierst, die ein rundes Ergebnis bilden.
Wie nutzt du das Distributivgesetz?
Das Distributivgesetz kannst du nur bei Multiplikationen nutzen, bei denen ein Faktor a mit einer Summe oder Differenz (b ± c) multiplizierst.
a · (b ± c)
Mit dem Distributivgesetz kannst du jetzt die Klammer auflösen. Dafür multiplizierst du a mit beiden Zahlen in der Klammer. Die Teilergebnisse verbindest du dann mit dem Rechenzeichen in der Klammer.
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➡️Beispiel Addition: 7 · (10 + 3) = |
➡️Beispiel Subtraktion: 3 · (8 − 2) = |
Das Distributivgesetz funktioniert auch bei einer Division. Du darfst eine Summe oder Differenz durch eine Zahl teilen, indem du jedes Glied einzeln teilst:
✓ (16 + 4) : 4 = 5 ↔ 16 : 4 + 4 : 4 = 4 + 1 = 5
✓ (36 – 18) : 6 = 3 ↔ 36 : 6 – 18 : 6 = 6 – 3 = 3
Wenn du aber eine Zahl durch eine Summe oder Differenz teilst, darfst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
✗ 20 : (2 + 2) = 5 ↔ 20 : 2 + 20 : 2 = 20
✗ 49 : (10 – 3) = 7 ↔ 49 : 10 – 49 : 3 = -11,43
Bei einer Summe oder Differenz kannst du durchs Ausklammern den gemeinsamen Teiler (Divisor) vor die Klammer ziehen. In der Klammer stehen die übrig gebliebenen Quotienten mit dem ursprünglichen Rechenzeichen.
➡️Beispiel:
18 + 12 =
6 · 3 + 6 · 2 =
6 · (3 + 2)
Tipp: Auch das Distributivgesetz hilft dir beim Kopfrechnen: Du kannst einen schwierigen Faktor in zwei einfachere Teile zerlegen.
➡️Beispiel:
27 · 6 =
(20 + 7) · 6 =
20 · 6 + 7 · 6 =
120 + 42 = 162
Wie kombinierst du Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz?
Du kannst die drei Rechengesetze auch miteinander kombinieren. So meisterst du auch kompliziertere Aufgaben.
| ➡️Beispiel: 3 · (8 − 2) + 25 + 15 |
Um solche Aufgabe zu lösen, gehst du in drei Schritten vor:
Schritt 1: Distributivgesetz
Löse zuerst die Klammer auf. Dafür verteilst du den Faktor auf beide Zahlen in der Klammer:
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➡️Beispiel: 3 · (8 − 2) + 25 + 15 = |
Schritt 2: Kommutativgesetz
Ordne die Summanden so um, dass günstige Paare nebeneinanderstehen:
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➡️Beispiel: 3 · (8 − 2) + 25 + 15 = |
Schritt 3: Assoziativgesetz
Setze jetzt Klammern um die günstigen Paare:
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➡️Beispiel: 3 · (8 − 2) + 25 + 15 = |
Rechengesetze — Zusammenfassung
Hier haben wir dir nochmal alles zum Thema Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz zusammengefasst:
| Gesetz | Beschreibung | Formel | Beispiel |
| Kommutativgesetz | Summanden oder Faktoren tauschen |
a + b = b + a a · b = b · a |
7 + 3 = 3 + 7 = 10 4 · 5 = 5 · 4 = 20 |
| Assoziativgesetz | Klammern um Summanden oder Faktoren setzen |
a + b + c = a · b · c = |
7 + 13 + 2 = 8 · 5 · 2 = |
| Distributivgesetz | Faktoren auf Summanden in einer Klammer verteilen |
a · (b + c) = a · (b – c) = |
3 · (5 + 7) = 6 · (9 – 2) = |
Rechengesetze verstehen
Das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gehören zu den Rechengesetzen in der Mathematik. Du ordnest Zahlen, setzt Klammern passend und teilst Aufgaben in einfache Schritte. So erkennst du, wie Rechenwege übersichtlicher werden und warum Plus, Mal und Klammern nicht immer gleich behandelt werden. Weitere Videos dazu findest du in unserem Mathematikbereich.