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Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln

Mit Formeln zur Wahrscheinlichkeitsrechnung kannst du Wahrscheinlichkeiten ganz leicht ermitteln. Hier siehst du alle wichtigen Formeln auf einen Blick!

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Inhaltsübersicht

Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln einfach erklärt

Schau dir zuerst zwei grundlegende Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung an:

  • Baumdiagramm : Um die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis A zu berechnen, bestimmst du alle Pfade, die zu A gehören. Dann multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang jedes Pfades (1. Pfadregel ). Um die verschiedenen Pfade zusammenzufassen, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel )

Ergebnisse und Ereignisse 

Für Ereignisse gibt es einige wichtige Formeln, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Schau sie dir gleich an!

  • Normierung: Wenn A1, A2, A3, … die verschiedenen Ergebnisse eines Zufallsexperiments sind, dann ist

P(A1) + P(A1) + P(A3) + … = 1

  • Gegenereignis: Die Wahrscheinlichkeit , dass das Gegenereignis zu A eintritt, also \overline{A}, ist

        \[\bold{P(\overline{A}) = 1 - P(A)}\]

  • Additionsregel für disjunkte Ereignisse: Zwei Ereignisse A und B sind disjunkt, wenn sie nie gleichzeitig eintreten können. Dann gilt

P(A oder B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 

  • Additionsregel für nicht disjunkte Ereignisse:

P(A oder B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 

Abhängige und unabhängige Ereignisse

  • Stochastische Unabhängigkeit (Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse): Du nennst zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, so groß ist wie P(A) mal P(B). Als Formel sind A und B statistisch (stochastisch) unabhängig, wenn

P(A ∩ B) = P(A) • P(B)  oder anders formuliert: PB(A) = P(A)

Bernoulli -Wahrscheinlichkeitsformel

Die Bernoulli Formel sagt dir: Die Wahrscheinlichkeit, bei n Durchgängen genau k Treffer zu ziehen bei einer Trefferwahrscheinlichkeit p, ist

    \[P(X=\textcolor{red}{k}) = \left( \begin{array}{c} \textcolor{blue}{n}\\\textcolor{red}{k} \end{array}\right) \cdot {\textcolor{orange}{p}}^{\textcolor{red}{k}} \cdot (1-\textcolor{orange}{p}})^{\textcolor{blue}{n}-\textcolor{red}{k}}\]

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Kombinatorik

Auch zur Kombinatorik solltest du einige Stochastik Formeln kennen:

n!

  • Permutation mit Wiederholung : n Objekte sind in m Gruppen unterteilt. Die erste Gruppe hat n1 Objekte, die m-te Gruppe nm Objekte. Innerhalb einer Gruppe kannst du die Objekte nicht unterscheiden. Dann kannst du die Anzahl der (unterscheidbaren) Möglichkeiten berechnen, die n Objekte anzuordnen:

        \[\frac{\textcolor{blue}{n}!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...\cdot n_\textcolor{red}{m}!}\]

  • Kombination ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen, wenn du ein Objekt nicht mehrfach wählen darfst:

        \[\binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{red}{k}}\]


  • Kombination mit Wiederholung (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen, wenn du Objekte mehrfach wählen darfst:

        \[\binom{\textcolor{blue}{n}+\textcolor{red}{k}-1}{\textcolor{red}{k}}\]

  • Variation ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen und anzuordnen, wenn du ein Objekt nicht mehrfach wählen darfst:

        \[\frac{\textcolor{blue}{n}!}{(\textcolor{blue}{n}-\textcolor{red}{k})!}\]

  • Variation mit Wiederholung (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen und anzuordnen, wenn du Objekte mehrfach wählen darfst:

nk

Diese Formeln zur Stochastik gingen dir zu schnell? Dann schau dir ganz in Ruhe unser Video zur Kombinatorik an. Viel Spaß!

zum Video: Kombinatorik

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