Regelungstechnik

PI Regler

In diesem Artikel geben wir dir eine Zusammenfassung zum PI Regler. Dazu behandeln wir die Gleichung des PI Reglers im Zeitbereich, die Übertragungsfunktion sowie die Sprungantwort und das zugehörige Bodediagramm. Schau dir am besten direkt unser Video an, in dem wir dir das Wichtigste in Kürze erklären.

Inhaltsübersicht

Definition des PI Reglers

Der PI Regler setzt sich aus den Anteilen des P- und I- Gliedes zusammen und entspricht damit einem PI Glied.

Merke
Er vereint die positiven Eigenschaften der beiden Anteile. Das führt dazu, dass er schneller reagiert als ein I-Regler aber gleichzeitig im Gegensatz zum P-Regler keine Regelabweichung aufweist.

Aufgrund dieser Vorteile und seinem vergleichsweisen unkomplizierten Aufbau ist der PI Regler, der in der Praxis am häufigsten verwendete Regler.

PI Schalter, Regelungstechnik
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Symbol des PI Reglers im Blockschaltbild

Im Blockschaltbild lässt sich der PI Regler in der Parallelstruktur folgendermaßen darstellen:

Regelungstechnik
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PI Regler in der Parallelstruktur

Gleichung des PI Reglers im Zeitbereich

Aus dem Blockschaltbild lässt sich die Gleichung für die Stellgröße y(t) abhängig von der Regeldifferenz e(t) ableiten:

y(t)=K_P\cdot e(t)\ {+\ K}_I\cdot\int_{0}^{t}{e(\tau)\ d\tau}

Um die Gleichung in der Standartform zu erhalten wird K_I durch \frac{K_P}{T_N} ersetzt und anschließend K_P ausgeklammert. Für die Reglergleichung ergibt sich damit:

y(t)=K_P\cdot\left(e(t)\ +\frac{1}{T_N}\cdot\int_{0}^{t}{e(\tau)\ d\tau}\right)

Nachstellzeit des PI Reglers

T_N wird dabei als Nachstellzeit des Reglers bezeichnet. Die Nachstellzeit, bezeichnet die Zeit, die verstreichen muss, damit der I-Anteil gleich dem P-Anteil ist. Gleichzeitig gibt sie ein Maß dafür an wie stark der Einfluss des I-Anteils ist. Ist die Nachstellzeit groß, so ist der Einfluss des I-Anteils gering und umgekehrt.

PI Regler Übertragungsfunktion

Aus der Reglergleichung im Zeitbereich lässt sich durch Laplacetransformation die Übertragungsfunktion des PI Reglers bilden:

G_{PT1}(s)=\frac{Y(s)}{E(s)}=K_P\cdot\left(1+\frac{1}{T_N\cdot s}\right)

Herleitung der Übertragungsfunktion aus der Differenzialgleichung

Die Differenzialgleichung des PI Reglers lautet wie bereits oben erwähnt:

y(t)=K_P\cdot\left(e(t)\ +\frac{1}{T_N}\cdot\int_{0}^{t}{e(\tau)\ d\tau}\right)

Nach der Transformation in den Bildbereich ergibt sich:

Y(s)=\ K_P\cdot\left(E(s)+\frac{1}{T_N}\cdot\frac{E(s)}{s}\right)

Durch Ausklammern von E(s) ergibt sich:

Y(s)=\ K_P\cdot E(s)\left(1+\frac{1}{T_N}\cdot\frac{1}{s}\right)
Y(s)=\ K_P\cdot E(s)\left(1+\frac{1}{T_N\cdot s}\right)

Da die Übertragungsfunktion das Verhältnis von Ein- zu Ausgang beschreibt, wird die Gleichung noch nach \frac{Y(s)}{E(s)} umgeformt.
Für die Übertragungsfunktion des PI Reglers ergibt sich also:

\frac{Y(s)}{E(s)}=K_P\cdot\left(1+\frac{1}{T_N\cdot s}\right)=G_{PT1}(s)

 

Sprungantwort des PI Reglers

In Bezug auf die Parallelstruktur des PI Reglers im Blockschaltbild lässt sich die Sprungantwort aus der Summe der Sprungantworten eines P-Reglers und eines I-Reglers bilden.

P-Regler, I-Regler, Sprungantwort, Reglungstechnik
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PI Regler Sprungantwort

Aus der Sprungantwort können die Reglerparameter K_P und T_N  ermittelt werden.

Berechnung der Sprungantwort des PI Reglers

Die Sprungantwort H(s) des PI Reglers im Bildbereich ergibt sich aus dem Produkt des Einheitssprungs und der Übertragungsfunktion des Reglers:

H(s)=\frac{1}{s}\cdot G_{PT1}(s)=\frac{1}{s}\cdot\ K_P\cdot\left(1+\frac{1}{T_N\cdot s}\right)=
=\ \frac{K_P}{s}\ +\frac{K_P}{T_N\cdot s^2}

 

Durch Umformung in den Zeitbereich durch zur Hilfenahme einer Korrespondenztabelle ergibt sich:

Reglungstechnik, PI Regler
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PI Regler Korrespondenztabelle

Dies entspricht einer Geraden mit der Steigung \frac{K_P}{T_N} welche die y-Achse in K_P schneidet und stimmt damit mit der oberen Abbildung überein (negative Zeiten t werden nicht betrachtet).

 

Bodediagramm des PI Reglers

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Bodediagramm des PI Reglers

Aus dem Bodediagramm des PI Reglers geht hervor, dass er sich für Signale niedriger Frequenz (\omega<\omega_N) ähnlich wie ein I-Regler verhält, für Signale höherer Frequenz (\omega>\omega_N)  verhält er sich wie ein P-Regler.

\omega_N=\frac{1}{T_N}

PI Regler, Reglungstechnik
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Phasengang des PI Reglers

Außerdem ist zu erkennen, dass ein PI-Regler dazu dienen kann die Phase einer Regelstrecke von 0° bis -90°abzusenken, um beispielsweise einen gewünschten Phasenrand zu erhalten. Für Signale der Frequenz  beträgt die Phasendifferenz genau -45°. Ab diesem Punkt fällt bzw. steigt die Phase mit 45° pro Dekade bis -90° bzw. 0°.

Aus dem Bodediagramm ist es also möglich die Kennwerte K_P  und \omega_N abzulesen und daraus auf die Übertragungsfunktion des PI Reglers zu schließen.

Überblick über die Eigenschaften des PI Reglers

Aufgrund seines I-Anteils weist der PI-Regler keine bleibende Regelabweichung auf, der Soll- und der Istwert der Regelgröße stimmen also nach einiger Zeit überein.

Der P-Anteil führt außerdem dazu, dass der PI- Regler im Vergleich zu einem I-Regler schneller auf Änderungen der Führungsgröße reagiert.

Allgemein eignet sich das PI Glied vor allem für das Regeln von Regelstrecken geringerer Ordnung (1. und 2. Ordnung) und kommt aufgrund seines relativ unkomplizierten Aufbaus (nur zwei Einstellparameter K_P und T) in der Praxis häufig zum Einsatz.

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