Regelungstechnik

BODE-Diagramm

Inhaltsübersicht

Du gerätst ins Schwitzen, weil deine Regelungstechnikprüfung ansteht und du keine Ahnung von BODE-Diagrammen hast? In diesem Artikel zeigen wir dir wie du so ein Diagramm ganz einfach selbst zeichnest.

Graphische Darstellung der Kreisfrequenz

Das BODE-Diagramm stellt den Frequenzgang G(j\omega) eines Systems über die Kreisfrequenz ω grafisch dar. Dabei gliedert sich dieser in zwei Teile: in den Amplitudenverlauf A(\omega) und den Phasenverlauf \varphi(\omega).
Üblicherweise verwendet man eine logarithmische Skala. Die Amplitude trägt man in Dezibel auf:

A_{db}\left(\omega\right)=20\times l o g{A(\omega)}.

BODE-Diagramm
BODE-Diagramm

Beispiel

Für unser Beispiel wählen wir das Blockschaltbild G1, das aus drei Blöcken besteht. Jeder Block besitzt eine Übertragungsfunktion G. Um unser Diagramm zu zeichnen, müssen wir daraus aber erst einmal eine gemeinsame Übertragungsfunktion basteln. Da wir hier eine Rückkopplung in der Parallelschaltung haben, müssen wir diese erst auflösen. Dafür verwenden wir die Beziehung für solch eine Rückkopplungsschaltung:

Blockschaltbild BODE Diagramm
Blockschaltbild

Jetzt kannst du die G Funktionen einsetzen und erhältst:

GR\"uck(s)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}\times200}

Das Ganze noch gekürzt, ergibt dann:

GR\"uck(s)= \frac{1}{s+200}

Um die gesamte Übertragungsfunktion G_1(s) zu erhalten, multiplizierst du

GR\"uck(s) mit G_c(s).

Aus dieser Schreibweise kannst du jetzt drei Übertragungsglieder herauslesen:

P-Glied BODE-Diagramm
P-Glied und PT1-Glied

Umrechnung auf die logarithmische Skala

Und schon kann es losgehen! Wir rechnen unsere Übertragungsglieder in die logarithmische Skala um und lesen die Kreisfrequenz \omega heraus.
Für das Omega des P-Glieds errechnen wir:

20\times{log}_{10\ }10=20dB

Für das erste PT1-Glied lösen wir nach s1 auf: Omega 1 entspricht dem Betrag von s1, also 200 Dezibel. Für das zweite PT1-Glied lösen wir nach s2 auf und erhalten für Omega den Wert Zwei Dezibel.

Umrechnung
Umrechnung

Zeichnung

Diese Informationen können wir jetzt grafisch in das Diagramm übertragen. Zunächst zeichnen wir alle drei Übertragungsglieder einzeln ein: erst das P-Glied, dann das erste PT1-Glied und schließlich das zweite PT1-Glied.
Um eine einzige Kurve zu erhalten, die alle drei beinhaltet, können wir diese aufaddieren. Bis ω=2 folgt die Kurve dem P-Glied, danach fällt sie mit einer Steigung von -20 Db pro Dekade. Dekade steht für eine 10-er Einheit, da wir uns hier in der logarithmischen Skala befinden. Ab ω= 200 muss die Kurve dem zweitem PT1-Glied folgen und nochmal mit einer Steigung von -20 Db pro Dekade fallen. So ergibt sich schließlich eine Steigung von -40 db pro Dekade.

Übertragungsglieder BODE-Diagramm
Übertragungsglieder

Nun müssen wir uns noch dem zweiten Diagrammteil widmen, der den Phasenverlauf ϕ(ω) beschreibt.
Für das P-Glied, zeichnest Du konstant entlang der Null-Grad-Linie, da für dieses Übertragungsglied keine Steigung vorliegt. Das erste PT1-Glied hatte für den Amplitudenverlauf zuvor eine negative Steigung von minus 20 Dezibel pro Dekade. In diesem Diagrammteil zeichnen wir dafür bis zu Omega gleich 20 ebenfalls entlang der Null-Grad-Linie. Danach zeichnen wir nach unten, bis zur minus 45 Grad- Linie. Geschnitten wird die 45 Grad-Linie bei Omega gleich 200. Für das zweite PT1-Glied beginnen wir ebenfalls bei Null Grad und begeben uns wieder in den negativen Bereich, da wir hier zuvor eine negative Steigung von minus 20 Dezibel ermittelt haben. Unseren Schnittpunkt mit der minus 45 Grad-Linie bekommen wir wieder, indem wir uns an unseren Wert für Omega 2 erinnern. Dieser beträgt 2.
Um die drei einzelnen Funktionen der Übertragungsglieder im Phasenverlauf in eine gemeinsame zu verpacken, addieren wir sie wieder auf. Du siehst, dass sich die Werte für Omega an den Wendepunkten der Gesamtfunktion befinden.

Phasenverlauf BODE-Diagramm
Phasenverlauf

Versuche so genau wie möglich zu zeichnen und vergiss die Beschriftung der Achsen nicht, damit die Verläufe immer nachvollziehbar sind!
So, nachdem Du jetzt Schritt für Schritt aus einem Blockschaltbild ein BODE-Diagramm erstellt hast, werden Dir die Schweißperlen in der Klausur erspart bleiben!


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