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Impulsantwort

In diesem Artikel geben wir dir einen vollständigen Überblick zur Impulsantwort. Neben grundlegenden Informationen zur Impulsfunktion erfährst du auch, wie du die Impulsantwort im Zeit- und Bildbereich berechnest und wie du die Endwertsätze der Laplacetransformation richtig anwendest. Schau dir unser Video dazu an, in dem wir das wichtigste in unter fünf Minuten verständlich erklären.

Inhaltsübersicht

Impulsantwort

Als Impulsantwort wird das Ausgangssignal eines Systems bezeichnet, welches mit einem Impuls angeregt wurde.

Merke

In diesem Fall ist das Eingangssignal x_e(t) gleich der Impulsfunktion $\delta(t)$ . Das Ausgangssignal x_a(t) entspricht der Impulsantwort.

Die Impulsantwort wird häufig auch als Gewichtsfunktion bezeichnet und wird mit g(t) abgekürzt.

Impulsfunktion

Die Impulsfunktion $\delta(t)\$ beschreibt einen unendlich hohen und unendlich kurzen Impuls an dem Zeitpunkt t ist gleich 0. Dieser Impuls wird auch als Dirac-Impuls bezeichnet.

Im Koordinatensystem wird die unendliche Höhe durch einen Pfeil symbolisiert. Die Länge des Pfeils gibt dabei die Fläche an, die der Impuls mit der x-Achse einschließt. Eine wichtige Eigenschaft, ist, dass die Fläche unter dem Impuls gleich 1 ist.

$\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t)dt}=1$

Das beutet in diesem Fall, dass auch die Laplacetransformierte der Impulsfunktion gleich 1 ist.

$\mathcal{L}\ (\delta(t))=1$

Impulsantwort bestimmen

Übersicht der Signalbezeichnungen am Beispiel eines PT1-Systems

Im Folgenden wird die Berechnung der Impulsantwort am Beispiel eines PT1 Systems vorgenommen.

Impulsantwort berechnen im Zeitbereich

Im Zeitbereich lässt sich die Impulsantwort mit Hilfe des Faltungsintegrals berechnen, dieses sieht dann so aus:

$x_a(t)=\delta(t)\ \cdot\ g_{PT1}(t)=\int_{0}^{t}{\delta(\tau)\cdot g_{PT1}(\tau)d\tau}=g_{PT1}(t)=g(t)$

$\delta\left(t\right)$ entspricht der Impulsfunktion

$g_{PT1}(\tau)$ entspricht der Übertragungsfunktion des PT1 Systems im Zeitbereich

Die Impulsantwort entspricht also der Übertragungsfunktion des Systems im Zeitbereich.

Impulsantwort berechnen im Bildbereich

Die Übertragungsfunktion eines PT1-Systems lautet allgemein:

$G_{PT1}(s)\ \ =\frac{K}{T\cdot s+1}$

Die Faltung im Zeitbereich entspricht einer Multiplikation im Bildbereich.

Für die Impulsantwort im Bildbereich ergibt somit aus dem Produkt der Impulsfunktion und der Übertragungsfunktion des Systems:

$X_a(s)\ =\mathcal{L}\ (\delta(t)) \cdot G_{PT1}(s) = 1\cdot\frac{K}{T\cdot s+1}=\frac{K}{T\cdot s+1}= G(s)$

Anfangs -und Endwerte der Impulsantwort

Um Aussagen über die Parameter des Systems treffen zu können, bietet es sich an die Anfangs -und Endwerte der Impulsantwort zu bestimmen. Dafür wird der Endwertsatz der Laplacetransformation verwendet. Für den Anfangswert $(t\rightarrow0)$ ergibt sich:

$\lim\limits_{t\rightarrow0}\ g(t)=\lim\limits_{s\rightarrow\infty}\ s\cdot{G(s)\ \ = \lim\limits_{s\rightarrow\infty} \frac{s\cdot K}{T\cdot s+1}=\frac{K}{T}$

Für den Endwert $t\rightarrow\infty$ ergibt sich:

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\ g(t)=\lim\limits_{s\rightarrow0}\ s\cdot{G(s)\ \ =\lim\limits_{s\rightarrow0}\ \ \frac{s\cdot K}{T\cdot s+1}=\frac{0}{1}=0$

Rücktransformation der Impulsantwort in den Zeitbereich

Für die Rücktransformation vom Bild- in den Zeitbereich kann häufig anstatt der Laplacerücktransformation eine Korrespondenztabelle verwendet werden. Mit ihrer Hilfe ergibt sich hier:

$g(t)=\mathcal{L}^{-1}\ (G(s)) = \mathcal{L}^{-1}(\frac{K}{T\cdot s+1})=\frac{K}{T}\cdot\ e^\frac{-t}{T}$

Korrespondenztabelle durch Laplacerücktransformation

Grafische Darstellung der Impulsantwort

Mit den Erkenntnissen aus dem Endwertsatz und Rücktransformation, lässt sich die Impulsantwort eines PT1 Systems grafisch darstellen:

Darstellung der Impulsantwort eines PT1-Systems im Zeitbereich

Zu erkennen sind die ermittelten Anfangs- und Endwerte aus dem Endwertsatz der Laplacetransformation für $t\rightarrow0$ und $t\rightarrow\infty$ . Dazwischen folgt die Impulsantwort eines PT1-Glieds einer abfallenden e-Funktion.

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