Regelungstechnik

PT2-Glied – Übung

Aus der Mechanik ist dir sicher ein System bestehend aus einem Dämpfer, einer Masse und einer Feder bekannt! So ein System wird durch eine äußere Kraft F angeregt, wodurch es eine Auslenkung erfährt.

Inhaltsübersicht

PT2-Glied Beispiel

Du hast sicherlich bereits gelernt, dass sich Systeme durch eine Differentialgleichung beschreiben lassen! In unserem Beispiel soll sie die Auslenkung als Funktion der Kraft F abbilden. Wir rufen uns dazu die Abhängigkeiten der Kraft in Erinnerung:

F_m\left(t\right)=m\ast a\left(t\right)

F_D\left(t\right)=D\ast v\left(t\right)

F_c\left(t\right)=c\ast x(t)

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
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System und Kraft

Daraus ergibt sich nachfolgende Differentialgleichung. Dieses System lässt sich in der Regelungstechnik als PT2- Glied darstellen, das sich aus P-und T-Gliedern zusammensetzt.

Funktionalbeziehung PT2-Glied

Die Funktionalbeziehung eines PT2-Glieds lautet wie in der Abbildung ersichtlich. T ist die Zeitkonstante, d der Dämpfungsfaktor und K der Verstärkungsfaktor. Unser Ziel ist es, die Übertragungsfunktion für dieses System zu bestimmen.

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
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Funktionalbeziehung eines PT2-Glieds

Mit Hilfe der Korrespondenzen der Laplace-Transformation können wir die Differentialgleichung dann in den Bildbereich übertragen. Diesen Ausdruck vereinfachen wir noch weiter:

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
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Differentialgleichung im Bildbereich

Wenn wir die Übertragungsfunktion erhalten wollen, müssen wir den Quotienten aus der transformierten Aus- und Eingangsgröße bilden:

G\left(s\right)=\frac{X(s)}{F(s)}

Mit Hilfe unserer Funktionalbeziehung gelangen wir jetzt durch Einsetzen von X(s) und F(s) zu unserer Übertragungsfunktion! Dafür stellen wir den Term zunächst um, ziehen wir das c in den Zähler und erhalten damit:

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
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Von der Funktionalbeziehung zur Übertragungsfunktion

Wir können die Übertragungsfunktion auch direkt aus der Funktionalbeziehung herleiten. Es ergibt sich:

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
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Alternative Herleitung der Übertragungsfunktion

Damit haben wir aus anfänglichen Bilanzen eine Darstellungsform gefunden, die das Ein- und Ausgangsverhalten eines Systems in all seinen Facetten abbildet.


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