Regelungstechnik

Stabilitätskriterium nach Nyquist – Übung

Hallo! Du möchtest dein Wissen zum Nyquist-Kriterium in Ortskurvendarstellung überprüfen? Dann legen wir gleich los!

Inhaltsübersicht

Zuordnung der Übertragungsfunktion zur Ortskurve

In den vorherigen Artikeln zum Stabilitätskriterium nach Nyquist hast du neben der Theorie auch die grafische Darstellungsform kennenglernt.  Jedes Übertragungsglied hat eine charakteristische Ortskurve und eine Übertragungsfunktion. Hast du zum Beispiel die Übertragungsfunktion gegeben, kannst du mit etwas Übung auch die passende Ortskurve zuordnen!
Fangen wir doch mit einer überschaubaren Übertragungsfunktion an, die wir „G Eins von S“ nennen:

G_1\left(s\right)=\frac{1}{50s}

Wenn du dich jetzt an Übertragungsglieder erinnerst, weißt du, dass diese Funktion zu einem Integrierglied passt. Die Ortskurve dazu verläuft gerade auf der negativen Imaginärachse in Richtung Ursprung. Wenn du dir vorstellst, dass du die Ortskurve im Uhrzeigersinn mit einem Auto in Richtung Ursprung entlangfährst, dann muss sich der kritische Punkt immer zu deiner Linken befinden. Da das hier der Fall ist, ist dieses System stabil.

Übertragungsfunktion
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Übertragungsfunktion

Diese Ortskurve sieht hingegen etwas anders aus:

Stabilitätskriterium Nyquist System Totzeit
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System mit einer Totzeit > 0

So ein Verlauf muss einem System zuzuschreiben sein, das eine Totzeit beinhaltet, die größer Null ist. Ein Totzeitglied bewirkt, dass mit zunehmender Frequenz Omega eine linear wachsende negative Phasendrehung entsteht.

Diese Drehung äußert sich als eben diese Spirale. Die passende Übertragungsfunktion „G Zwei von S“ lautet:

G_2\left(s\right)=\frac{1}{1+0.01s}\times e^{-0,01s}

Die 0,01s im Exponenten sind die Totzeit T.
In der Prüfung wird dir meist eine Übertragungsfunktion mit bestimmten Werten vorgegeben. Dann musst du dir überlegen wo die Ortskurve beginnt und wie sie verläuft. Die Übertragungsfunktion G von S

G\left(s\right)=\frac{K\times e^{-sT_t}}{1+sT_1}

und ihre zugehörigen Parametern

T_t=0.2s; \ \ T_1=0.1s; \ \ K=0,9

sind ein gutes Beispiel dafür.
Den Startpunkt der Ortskurve gibt dir das K in der Übertragungsfunktion an. Du beginnst in der rechten Halbebene auf der reellen Achse bei 0,9. Im Uhrzeigersinn drehend, muss es jetzt weiter gehen. Da unsere Totzeit mit 0,2 Sekunden vorgegeben ist und größer Null ist, kannst du die Ortskurve ohne großes Überlegen zeichnen.

Sie bewegt sich wie ein Strudel in den Ursprung hinein. Auch hier gilt: Lässt du beim Entlangfahren der Ortskurve den kritischen Punkt „links liegen“, ist dein System stabil.

Übersicht

Damit dir der Umgang mit Ortskurven und Übertragungsfunktionen leichter fällt, gibt es zum Abschluss noch eine Übersicht der wichtigsten Übertragungsglieder. Hier siehst du die zugehörigen Ortskurven mit Übertragungsfunktion, die auf deinem Formelblatt nicht fehlen sollten.

Formelsammlung
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Formelsammlung

So, jetzt bist Du am Ende dieser Regelungstechnik-Playlist angekommen und mit den wichtigsten Begriffen vertraut. Viel Spaß beim Durchstarten!

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