Regelungstechnik

Testfunktionen

Impulsfunktion, Sprungfunktion und Co. sind für Dich immer noch ein Mysterium? Dann bist du hier genau richtig, denn diese Testfunktionen erklären wir dir in diesem Beitrag.

Verschiedene Testfunktionen

Um herauszufinden wie die Ausgangsgröße einer Regelstrecke auf einen bestimmten Verlauf der Eingangsgröße reagiert, benutzt man zunächst Testfunktionen wie die Sprungfunktion, Impulsfunktion oder Rampenfunktion. Diese bilden simulierte Signale ab, aus denen man später auf das reale Verhalten eines Systems schließen kann!
Beginnen wir mit der Sprungfunktion. Diese verändert die Eingangsfunktion von Null auf einen konstanten Wert. Dafür definieren wir uns die dimensionslose Zeitfunktion, die Einheitssprungfunktion \sigma\left(t\right)

Sprungfunktion
Sprungfunktion

Bildfunktion der Einheitsfunktion

Die zweite Gleichung beschreibt die Bildfunktion der Einheitsfunktion. Das geschwungene „L“ kommt daher, dass die sogenannte LAPLACE-Transformation angewendet wurde, um diese Form zu erhalten. Was eine Bildfunktion ist und wie diese Transformation funktioniert, erfährst Du in unserem Video zur LAPLACE-Transformation.
Jetzt können wir die Sprungerregung u\left(t\right) definieren, bei der eine physikalische Größe wie zum Beispiel eine Spannung in einem elektrischen Netzwerk, von Null auf eine bestimmte Größe A, zum Beispiel 5 Volt, springt:

Sprungerregung und verschobene Sprungfunktion
Sprungerregung und verschobene Sprungfunktion

Setzt der Sprung jetzt allerdings nicht zum Zeitpunkt t=0 ein, sondern später, erhalten wir eine verschobene Sprungfunktion mit der Sprungstelle t_{0\ }
Du siehst, dass sich die Bildfunktion der Einheitssprungfunktion und der verschobenen Sprungfunktion nur durch den Faktor e^{-st_{0\ }} unterscheiden.
Aus den Einheitssprungfunktionen lässt sich jetzt die Impulsfunktion zusammensetzen:

Impulsfunktion
Impulsfunktion

Bleiben wir bei unserem Beispiel der Spannung in Volt, so ist der Impuls I ein Spannungsstoß. Der Impuls einer physikalischen Größe u\left(t\right) ist das Zeitintegral mit der Dimension „Größe Mal der Zeit“. In unserem Fall also Vs: Dabei nimmt unsere Spannung während eines kurzen Zeitraums \tau den Wert \frac{1}{\tau} an; davor und danach beträgt sie Null. Tau ist dabei so klein, dass sich das System währenddessen nicht verändert.
Multiplizieren wir unsere Impulsfunktion nun mit dem Impuls I, erhalten wir die Impulserregung!

I\ast\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}=\frac{1}{\tau}\ast\frac{1-e^{-s\tau}}{s}\ast\ I

DIRAC-Impuls

Spricht man über Systeme, die eine impulsförmige Erregung erfahren, so kann man sich das idealisierte Verhalten des DIRAC- Impulses zu Hilfe nehmen, den Du bereits im Video zum T- Glied und D-Glied kennengelernt hast. Dieser ist formal ein Rechteckimpuls, der jedoch die besondere Eigenschaft die Fläche Eins einzuschließen, besitzt. Auf diese Erregung antwortet das System nun mit einer sogenannten Impulsantwort. Du hast sie bestimmt schon einmal unter ihrem bekannteren Namen, der Gewichtsfunktion, kennengelernt.
Die Impulserregung kann Dir zum Beispiel dabei helfen, ein schwingfähiges System zu untersuchen. Oftmals ist es aber schwierig einen idealen Impuls zu erzeugen, der dem Verhalten des DIRAC-Stoßes möglichst nahekommt. Für diese Fälle benutzt Du die Sprungfunktion als Testfunktion.
Befinden wir uns in einer Situation, in der eine physikalische Größe einen bestimmten Anstiegsgradienten nicht überschreiten soll, wie etwa beim Erwärmen eines chemischen Gemisches, benutzen wir die Rampenfunktion:

Rampenfunktion
Rampenfunktion

Das Geheimnis um die wilden Zusammenhänge der Testfunktionen hat sich hiermit gelüftet und Du kannst mit Zuversicht in Deine Regelungstechnik-Zukunft blicken!

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