Regelungstechnik

Stabilitätskriterium nach Nyquist II

Dein Prof verlangt von dir, dass du Ortskurven zeichnest, aber alles was dir dazu einfällt sind Straßen und Autos? Wir verraten dir, was er wirklich von dir möchte!

Inhaltsübersicht

Das Nyquist-Kriterium und die Stabilitätsgrenze

Nachdem du bereits einiges zur Stabilität von Systemen erfahren hast, sehen wir uns jetzt eine weitere Darstellungsform dafür an.

Die Ortskurve ist ein Kurvenzug, der sich aus dem Frequenzgang „G von J Omega“ ergibt. Dargestellt wird sie in der komplexen Ebene. Du erhältst sie, wenn die Frequenz Omega zwischen Null und Unendlich variiert wird. Hast du den Frequenzgang G von J Omega eines Systems vorliegen, dann kannst du bereits aus der Gleichung herauslesen, wo du mit dem Zeichnen der Kurve anfängst und aufhörst.
Ist A Null ungleich Null, dann liegt der Startpunkt der Ortskurve auf der reellen Achse bei K gleich B Null durch A Null.

Ortskurve Stabilitätskriterium Nyquist
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Ortskurve

Roh-fach integrierend

Betragen A Null und alle weiteren A auch Null, dann nennt man das System Roh-fach integrierend. Hier beginnt die Ortskurve im Unendlichen mit dem Phasenwinkel „minus Roh mal Pi Halbe“.
Das Ende der Ortskurve läuft genau dann im Winkel „minus N minus M mal Pi Halbe“ in den Ursprung, sofern die Totzeit T_t Null beträgt. Besitzt dein System eine Totzeit und T_t ist größer Null, kann man keinen Eintrittswinkel berechnen und die Ortskurve läuft wie eine Spirale in den Ursprung hinein.

Roh-fach integrierend Stabilitätskriterium Nyquist
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Roh-fach integrierend

Falls dein System aus reinen Verzögerungsgliedern wie zum Beispiel den PTN-Gliedern besteht, dann sind Amplituden- und Phasenverlauf, die du bereits im Video zum BODE-Diagramm kennengelernt hast, monoton fallend. Für den Verlauf der Ortskurve bedeutet das, dass sie mit zunehmender Frequenz Omega immer weiter an den Ursprung heranläuft. Der Kurvenverlauf zeichnet sich dabei im Uhrzeigersinn um den Ursprung herum.
Anhand des Verlaufs der Ortskurve, kannst du ähnlich wie beim Pol-Nullstellen-Plan , eine Aussage über die Stabilität eines Systems treffen. Dazu sehen wir uns ein kleines Blockschaltbild an:

Blockschaltbild
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Blockschaltbild

Hier können wir recht einfach die Übertragungsfunktion bestimmen, indem wir Aus- und Eingang des Systems ins Verhältnis setzen. Wir erhalten „Y von S durch U von S gleich G Null von S durch Eins plus G Null von S“.
Es kommt das Nyquist-Kriterium ins Spiel, das uns mit Aussagen über die offene Kette, Auskunft über das rückgekoppelte System liefert.
Wir wissen bereits, dass ein System dann stabil ist, wenn die Pole S in seiner Übertragungsfunktion in der negativen Halbebene liegen. Die Lösungen der Pole errechnest du aus dem Nenner der Funktion, durch Nullsetzen.

Man sagt, dass die Pole des rückgekoppelten Systems immer links der sogenannten Stabilitätsgrenze J Omega liegen müssen.

Stabilitätsgrenze

Möchtest du „G Null von S“ so abbilden, dass daraus die Ortskurve entsteht, müssen all die Pole des rückgekoppelten Systems weiterhin in der linken Halbebene liegen.

Ortskurve rückgekoppelte Systeme Halbebene Stabilitätsgrenze
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Übertragen der Ortskurve

Sie werden alle im sogenannten kritischen Punkt bei minus Eins abgebildet. Die Stabilitätsgrenze J Omega entspricht jetzt mit „G Null von J Omega“ der Ortskurve zur Übertragungsfunktion der offenen Kette G Null. Du siehst, dass der kritische Punkt links der Ortskurve liegt.

Zusammenfassend gilt also für das Nyquist-Kriterium in Ortskurvendarstellung: Ist die Übertragungsfunktion G Null von S der offenen Kette stabil, dann ist das rückgekoppelte System auch stabil, wenn der kritische Punkt links der Ortskurve liegt!

Wenn du Beispiele zum Interpretieren von Ortskurven sehen möchtest und dein Wissen testen willst, dann bleib dran und schau dir unser Übungsvideo zum Stabilitätskriterium nach Nyquist an.

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