Regelungstechnik

Sprungantwort

In diesem Artikel möchten wir dir einen Überblick über die Sprungantwort geben. Dazu gehen wir auf die Definition der Sprungantwort und Sprungfunktion im Zeit- und Bildbereich ein und zeigen dir die Berechnung am Beispiel eines PT1-Gliedes. Schau dir am besten direkt unser Video an, um eine Zusammenfassung der wichtigsten Punkte zu erhalten.

Inhaltsübersicht

Sprungantwort und Sprungfunktion

Sprungantwort
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Übersicht der Signalbezeichnungen im Zeit- und Bildbereich eines Systems

Die Systemantwort, also das Ausgangssignal xa(t) eines mit einem Sprung angeregten System, wird als Sprungantwort bezeichnet. Sie wird in der Regel mit h(t) abgekürzt

Das Sprungsignal kann dabei, durch die Sprungfunktion \sigma(t) bzw. den Einheitssprung 1(t) beschrieben werden. Wird das System mit dem Einheitssprung angeregt, so wird die Sprungantwort auch als Übergangsfunktion bezeichnet.

Das bedeutet in diesem Fall ist das Eingangssignal gleich der Sprungfunktion:

x_e=\sigma(t)

Sprungfunktion: Mathematische Definition im Zeitbereich

Darstellung der Sprungantwort im Zeitbereich
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Darstellung der Sprungantwort im Zeitbereich

Die Sprungfunktion oder auch Einheitssprungfunktion ist im Zeitbereich abschnittsweise definiert.

\sigma\left(t\right)=\begin {cases} 0 \,\textrm{f\"ur} \,t<0 \\1\,\textrm{f\"ur}\,t  \ge  0\end {cases}

Für Zeitpunkte t kleiner 0 ist sie 0.

Für Zeitpunkte t größer gleich 0 nimmt sie den Wert 1 an.

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Zusammenhang zwischen Impulsfunktion und Sprungfunktion im Zeitbereich

Eine weitere Möglichkeit die Sprungfunktion zu definieren, ist durch zur Hilfenahme der Impulsfunktion \delta(t) .

\int_{-\infty}^{t}{\delta(t})dt=\begin {cases} 0 \,\textrm{f\"ur} \,t<0 \\1\,\textrm{f\"ur}\,t  \ge  0\end {cases} = \sigma(t)

Die Sprungfunktion entspricht also dem Integral der Impulsfunktion.

Sprungfunktion im Bildbereich

Laplacetransformierte der Sprungfunktion

\mathcal{L}\left(\sigma\left(t\right)\right)=\int_{0}^{\infty}{1e^{-st}}dt = \lim\limits_{t_0\to\infty}\int_{0}^{t_0}{1e}^{-st}dt=\lim\limits_{t_0\to\infty}\(\ (-\frac{1}{s}\cdot e^{-st_0}+\frac{1}{s}\cdot e^{-s0})=\lim\limits_{t_0\to\infty}\--\frac{1}{se^{t_0}}+\frac{1}{s}=0+\frac{1}{s}=\frac{1}{s}

Zusammenhang zwischen Sprungfunktion und Impulsfunktion im Bildbereich

Eine Möglichkeit die Sprungfunktion im Bildbereich darzustellen, ist den Zusammenhang zur Impulsfunktion zu nutzen. Die Laplacetransformierte der Impulsfunktion \delta(t) ergibt sich als:

\mathcal{L}\left(\delta\left(t\right)\right)=1

Die Sprungfunktion erhalten wir aus der Impulsfunktion durch Integration. Das Integrieren im Zeitbereich entspricht der Multiplikation mit  \frac{1}{s}. Damit ergibt sich folgender Zusammenhang.

\mathcal{L}\left(\sigma(t\right))=\mathcal{L}\left(\delta\left(t\right)\right)\cdot\frac{1}{s}\ =\ 1\cdot\ \frac{1}{s}\ =\ \frac{1}{s}

 

Sprungantwort berechnen

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Sprungantwort berechnen: Ausgangs- und Eingangssignal

Das Ausgangssignal xa(t) eines mit einem Sprung angeregten Systems, wird als Sprungantwort bezeichnet. Handelt es sich bei dem Eingangsignal um einen Sprung der Höhe 1, so wird die Sprungantwort auch als Übergangsfunktion bezeichnet.

Abgekürzt wird die Sprungantwort in der Regel mit h(t). Der allgemeine Zusammenhang zwischen Anregung X_e\left(s\right) (Eingangssignal) und Systemantwort X_a\left(s\right) (Ausgangssignal) ergibt sich im Bildbereich als:

X_a(s)\ =\ X_e(s)\cdot\ G(s)

G(s) entspricht hier der Übertragungsfunktion des Systems.

Für die Sprungantwort ergibt sich damit:

X_a(s)\ =\ \mathcal{L}\left(\sigma(t\right))\cdot\ G(s)\ =\ \frac{1}{s}\cdot\ G(s)

Sprungantwort PT1-System im Bildbereich

Die Sprungantwort eines PT1 Systems im Bildbereich ergibt sich als:

X_a\left(s\right)=\frac{1}{s}\cdot\ G_{PT1}\left(s\right)

mit der Übertragungsfunktion G_{PT1}(s)=\frac{K}{T\cdot s+1} eines PT1-Systems folgt:

X_a\left(s\right)=\frac{1}{s}\cdot\frac{K}{T\cdot s+1}=\ \frac{K}{Ts^2+s}

Anfangs -und Endwerte der Sprungantwort

Für die Ermittlung der Anfangs -und Endwerte im Bildbereich, wird der Endwertsatz der Laplacetransformation genutzt.

Für den Anfangswert (t\rightarrow0) ergibt sich:

\lim\limits_{t\to\infty}\ h(t)=\lim\limits_{s\to\infty}\ s\cdot{X_a\left(s\right)\ = \lim\limits_{s\to\infty}\frac{s\cdot K}{Ts^2+s}=\lim\limits_{s\to\infty}\frac{K}{Ts+1}=0

Für den Endwert (t\rightarrow\infty) folgt:

\lim\limits_{t\to\infty}\ h(t)=\lim\limits_{s\rightarrow0}\ s\cdot{X_a\left(s\right)\ \ =\lim\limits_{s\rightarrow0}\ \ \frac{s\cdot K}{Ts^2+s}=\lim\limits_{s\rightarrow0}\frac{K}{Ts+1}=K

Anfangs -und Endsteigung der Sprungantwort

Für die Ermittlung der Anfangs -und Endsteigung muss die betrachtete Funktion zunächst differenziert und anschließend der Endwertsatz der Laplacetransformation angewandt werden. Der Differenziation im Zeitbereich entspricht im Bildbereich einer Multiplikation mit s.

Für die Anfangssteigung (t\rightarrow0) ergibt sich daher:

\lim\limits_{t\rightarrow0}\ h(t)=\lim\limits_{s\rightarrow\infty}\ s\cdot{s\cdot X_a\left(s\right)\ \ =\lim\limits_{s\rightarrow\infty}\ \ \frac{s^2\cdot K}{Ts^2+s}=\frac{K}{T}

Für die Endsteigung (t\rightarrow\infty) folgt:

\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\ h(t)=\lim\limits_{s\rightarrow0}\ s\cdot s\cdot{X_a\left(s\right)\ \ =\lim\limits_{s\rightarrow0}\ \ \frac{s^2\cdot K}{Ts^2+s}=0

Sprungantwort PT1-System im Zeitbereich

PT1-System Sprungantwort berechnen

Um die Sprungantwort im Zeitbereich zu bestimmen, muss sie aus dem Bildbereich zurück transformiert werden.

{h\left(t\right)=x}_a\left(t\right)=\mathcal{L}^{-1}\left(X_a\left(s\right)\right)

Um nicht die aufwändige Laplacerücktransformation durchführen zu müssen, bietet es sich an, an dieser Stelle die Korrespondenztabellen für die Laplacerücktransformation zu nutzen. Da sich für X_a\left(s\right)=\frac{K}{Ts^2+s} kein Eintrag finden lässt, wird an hier die Partialbruchzerlegung genutzt, um Ausdrücke zu erhalten die in der Korrespondenztabelle enthalten sind.

Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich:

X_a\left(s\right)=\frac{K}{Ts^2+s}=\ \ \frac{K}{s}+\ \frac{-K}{s+\frac{1}{T}}

Für \frac{K}{s} und \frac{-K}{s+\frac{1}{T}} ergibt sich aus der Korrespondenztabelle:

Korrespondenztabelle der PT1-System Sprungantwort
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Korrespondenztabelle der PT1-System Sprungantwort

\mathcal{L}^{-1}\left(\ \frac{K}{s}\right)=\ K und \mathcal{L}^{-1}\left(\ \frac{-K}{s+\frac{1}{T}}\ \right)=-K\cdot\ e^\frac{-t}{T}

Daraus folgt für die Sprungantwort h(t):

{h\left(t\right)=x}_a\left(t\right)=\mathcal{L}^{-1}\left(X_a\left(s\right)\right)=\ \mathcal{L}^{-1}\left(\ \frac{K}{s}\right)+\mathcal{L}^{-1}\left(\ \frac{-K}{s+\frac{1}{T}}\ \right)

h\left(t\right)=K-K\cdot\ e^\frac{-t}{T}=\ K\cdot(1-e^\frac{-t}{T})

Graphische Darstellung der Sprungantwort eines PT1 Systems

Darstellung der Sprungantwort eines PT1-Systems im Zeitbereich
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Darstellung der Sprungantwort eines PT1-Systems im Zeitbereich

In der Graphischen Darstellung von h(t)=K\cdot(1-e^\frac{-t}{T}) ist zu erkennen, dass der Endwert der Sprungantwort dem Proportionalitätsfaktor K des PT1-Systems entspricht.

An dieser Stelle können die gewonnen Erkenntnisse aus der Endwertbestimmung im Bildbereich mit dem Graphen abgeglichen und die Übereinstimmung festgestellt werden.

Die Zeitkonstante T lässt sich durch den Schnittpunkt der Tangente im Angangspunkt mit K bestimmen. Das bedeutet also je größer T ist, desto langsamer nährt sich die Sprungantwort ihrem Endwert.

Darstellung der Sprungantwort eines PT1-Systems mit unterschiedlichen Zeitkonstanten
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Darstellung der Sprungantwort eines PT1-Systems mit unterschiedlichen Zeitkonstanten

Zusammenhang der Impulsfunktion, Sprungfunktion und Rampenfunktion

Zusammenhang der Impulsfunktion, Sprungfunktion und Rampenfunktion
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Zusammenhang der Impulsfunktion, Sprungfunktion und Rampenfunktion

Die Übersicht zeigt den Zusammenhang zwischen der Impulsfunktion, der Sprungfunktion und der Rampenfunktion. Im Zeitbereich sind die einzelnen Funktionen durch Integrieren bzw. Differenzieren ineinander zu überfuhren.

\int_{-\infty}^{t}{\delta(t})dt=\sigma(t) und \int_{-\infty}^{t}{\sigma(t})dt=x_{Rampe}(t)

Im Bildbereich entspricht die Integration einer Multiplikation mit \frac{1}{s}. Daher ergibt sich folgender Zusammenhang:

\mathcal{L}\left(\delta(t\right))\cdot\frac{1}{s}=\mathcal{L}\left(\sigma(t\right)) und \mathcal{L}\left(\sigma(t\right))\cdot\frac{1}{s}=\mathcal{L}(x_{Rampe}(t))

Diese Beziehungen lassen sich auch nutzen, um beispielsweise aus der Impulsantwort auf die Sprungantwort zu schließen. So ergibt sich die Sprungantwort H(s) eines Systems im Bildbereich aus der Multiplikation der Impulsantwort G(s) mit \frac{1}{s}.

G(s)\cdot\frac{1}{s}\ =\ H(s)

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