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PT1 Glied, Verzögerungsglied

In diesem Artikel möchten wir dir eine Zusammenfassung zum PT1-Glied geben. Wir erklären dir die Differenzialgleichung und Übertragungsfunktion die ein PT1 System beschreiben. Zusätzlich zeigen wir dir wie du die Sprungantwort bestimmst und das Bodediagramm zeichnest.

Schau dir am besten unser Video dazu an, in dem wir dir das wichtigste nochmal veranschaulichen.

Inhaltsübersicht

PT1-Glied einfach erklärt

Merke

Das PT1-Glied, auch als Verzögerungsglied 1. Ordnung bezeichnet, wird in der Regelungstechnik verwendet, um Systeme mit Verzögerungsverhalten zu beschreiben.

Es handelt sich dabei um ein Übertragungsglied, das sich aus proportionalen Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung zusammensetzt.

Systeme mit PT1 Verhalten werden auch als Systeme 1. Ordnung bezeichnet.

Differenzialgleichung des PT1 Glieds

Das PT1 Glied wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:

$x_a(t)+T\cdot\frac{{dx}_a}{dt}=\ K\cdot x_e(t)$

Dabei ist x_e(t) das Eingangssignal und x_a(t) das Ausgangssignal des PT1 System,
K ist der Proportionalitäts- bzw. Verstärkungsfaktor des Systems und T die Zeitkontante.

PT1 Glied Differenzialgleichung PT1 Glied dgl Verzögerungsglied — PT1 Glied Differenzialgleichung

Übertragungsfunktion des PT1 Glieds

Die oben genannte Differenzialgleichung lässt sich im Bildbereich folgendermaßen ausdrücken:

$X_a(s)+T\cdot X_a(s)\cdot s=\ K\cdot X_e(s)$

Durch umstellen ergibt sich die Übertragungsfunktion des PT1 Glieds als Verhältnis von Ein- und Ausgangssignal:

$G_{PT1}(s)=\frac{X_a(s)}{X_e(s)}=\frac{K}{T\cdot s+1}$

Sprungantwort eines PT1 Glieds im Bildbereich

Die Sprungantwort $X_a\left(s\right)$ eines PT1 Systems im Bildbereich ergibt sich durch Multiplikation der Übertragungsfunktion mit $\frac{1}{s}$ .

$X_a\left(s\right)=\frac{1}{s}\cdot G_{PT1}\left(s\right)$

$X_a\left(s\right)=\frac{1}{s}\cdot\frac{K}{T\cdot s+1}=\ \frac{K}{Ts^2+s}$

Die Ermittlung der Anfangs -und Endwerte kann unserem Artikel zur Sprungantwort entnommen werden.

Sprungantwort eines PT1 Glieds im Zeitbereich

PT1 Glied Blockschaltbild Sprungantwort — Sprungantwort PT1

Die Sprungantwort kann im Zeitbereich durch Rücktransformation aus dem Bildbereich ermittelt werden

$h\left(t\right)=x}_a\left(t\right)=\mathcal{L}^{-1}\left(X_a\left(s\right)\right)=\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{K}{Ts^2+s}\right)$

In diesem Fall bietet es sich an eine Korrespondenztabelle für die Rücktransformation zu nutzen, dafür muss der Ausdruck aber zunächst in seine Partialbrüche zerlegt werden:

$X_a\left(s\right)=\frac{K}{Ts^2+s}=\ \ \frac{K}{s}+\ \frac{-K}{s+\frac{1}{T}}$

Korrespondenztabelle PT1 Glied — Korrespondenztabelle zum PT1 System

$\mathcal{L}^{-1}\left(\ \frac{K}{s}\right)=\ K\ \ und\ \mathcal{L}^{-1}\left(\ \frac{-K}{s+\frac{1}{T}}\ \right)=-K\cdot e^\frac{-t}{T}$

$h\left(t\right)=K-K\cdot e^\frac{-t}{T}=\ K\cdot (1-e^\frac{-t}{T})$

Die im Bildbereich ermittelten Anfangs und Endwerte lassen sich an der grafischen Darstellung der Sprungantwort des PT1 Gliedes ablesen. Das bedeutet auch, dass sich aus der Sprungantwort die Systemparameter als der Proportionalitätsfaktor K und die Zeitkonstante T ermitteln lassen.

Bodediagramm des PT1 Glieds

Für die Darstellung im Bodediagramm ist es notwendig die Frequenzgangsfunktion des Systems zu ermitteln, dafür wird in der Übertragungsfunktion s durch $j\omega$ ersetzt:

$G_{PT1}(j\omega)=\frac{K}{T\cdot j\omega+1}$

PT1 Glied: Amplitudengang

Im Folgenden ist der Amplitudengang zweier PT1 Systeme in asymptotischer Näherung dargestellt.

Bodediagramm PT1 Glied — Bodediagramm

In Rot ist ein System mit der Übertragungsfunktion

$G_{PT1}\left(j\omega\right)=\frac{1}{1j\omega+1}=\frac{1}{j\omega+1}$

mit $K_1=1\ \ \ \ \ \ T_1=1\ \ \ \ \ \ \ \ \omega_{e1}=\frac{1}{T_1}=1$

Visualisiert. In Blau ein System mit K gleich 5 und T gleich 2.

$G_{PT1}(j\omega)=\frac{5}{2j\omega+1}$
mit $K_2=5\ \ \ \ \ \ T_2=2\ \ \ \ \ \ \ \ \omega_{e2}=\frac{1}{T_2}=0,5$

Für niedrige Frequenzen entspricht das Amplitudenverhältnis K. Ab Erreichen der Eckfrequenz nimmt das Amplitudenverhältnis mit einer Steigung von 1:1 ab. Aus dem Amplitudengang lässt sich darauf schließen, dass es sich bei einem PT1 System um ein System mit Tiefpassverhalten handelt.

PT1 Glied: Phasengang

Phasengang PT1 Glied — Phasengang

Im Phasengang markiert die Eckfrequenz den Punkt an dem die Phase -45 Grad beträgt. Ab diesem Punkt kann der Phasenverlauf mit einer Steigung von 45 Grad pro Dekade bis 0 bzw.- 90 Grad ergänzt werden. Ein PT1 Glied bewirkt also eine Phasenverschiebung von 0 Grad für Signale niedriger Frequenz und eine Phasenverschiebung von maximal -90 Grad für Signale hoher Frequenz.

zur Videoseite: PT1 Glied, Verzögerungsglied

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