Mathematische Grundlagen

Umkehrfunktion

In diesem Beitrag erfährst du, was eine Umkehrfunktion ist, wie man sie bildet und berechnet und wie du die Umkehrfunktion ableiten kannst.

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Inhaltsübersicht

Umkehrfunktion einfach erklärt

In der Mathematik triffst du immer auf Funktionen der Art y = f(x). Einfache Beispiele hierfür sind y=2x oder y=3x+2.

Umkehrfunktionen ordnen nun die Variablen x und y umgekehrt zu. Konkret bedeutet das, dass einfach nur der x Wert und der y Wert vertauscht werden müssen. Um die Umkehrfunktion zu bilden, nimmst du also deine ursprüngliche Funktion, löst diese nach x auf und vertauschst dann die Variablen x und y. Die eben genannte Funktion y=2x besitzt beispielsweise diese Umkehrfunktion y=\frac{1}{2}x bzw. f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x.

Die Umkehrfunktion einer Funktion f(x) wird allgemein als f^{-1} dargestellt. Die hochgestellte „minus 1“ kennzeichnet die fertige Umkehrfunktion

Umkehrfunktion bilden

Die Vorgehensweise zum Bilden der Umkehrfunktion ist dabei total simpel und immer gleich. Du musst nur dieses Kochrezept beachten:

Vorgehensweise

Schritt 1: Funktionsgleichung nach x auflösen

Schritt 2: Die Variablen x und y tauschen

Die Funktion y=3x+2 besitzt folglich die Umkehrfunktion f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} bzw. y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}.

Das Bilden der Umkehrfunktion ist absolut kein Hexenwerk. Das verdeutlicht dir die graphische Darstellung. Denn wie du in unserem Diagramm sehen kannst, ist der Graph der Umkehrfunktion einfach durch die Spiegelung der eigentlichen Funktion, an der Winkelhalbierenden entstanden.

Umkehrfunktion quadratische Funktion Wurzel Spiegelung an der Winkelhalbierenden
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Spiegelung an der Winkelhalbierenden

 

Allgemein kannst du dir diese Punkte zur Umkehrfunktion merken:

Merke
  • Eine Umkehrfunktion wird durch f^{-1}(x) gekennzeichnet.
  • Graphisch kann die Bestimmung der Umkehrfunktion als Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden.
  • Es werden x und y vertauscht, wobei sich auch die Definitions- und die Wertemenge vertauschen.

Umkehrfunktion berechnen

Sehen wir uns doch gleich mal ein paar Beispiele für Funktionen und ihre Umkehrfunktionen an.

Umkehrfunktion lineare Funktionen

Hier siehst du ein Beispiel für eine lineare Funktion.

f(x) = 0,5 \cdot x + 1

Um die Umkehrfunktion zu erhalten, löst du im ersten Schritt die Gleichung nach x auf. Dabei schreibst du statt f(x) einfach y.

y = 0,5 \cdot x+ 1\quad \quad \bigg| \quad - 1

y - 1 = 0,5\cdot x\quad \quad \quad \bigg| \quad  \div 0,5

\cfrac{y - 1}{0,5} = x

2 \cdot y - 2 = x

Jetzt musst du nur noch y statt x und x statt y schreiben und die beiden Seiten der Gleichung vertauschen.

y = 2x-2

Die Funktion f(x)=0,5x+1 hat also die Umkehrfunktion f^{-1}(x)=2x-2. Im Bild siehst du auch nochmal, wie der Graph an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.

Gerade lineare Funktion Umkehrfunktion Spiegelung Winkelhalbierende
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Lineare Funktion und ihre Umkehrabbildung

Umkehrfunktion quadratische Funktionen

Etwas komplizierter als bei den linearen Funktionen ist die Umkehrfunktion bei quadratischen Funktionen. Das liegt im Allgemeinen daran, dass hier für einen y-Wert immer zwei x-Werte infrage kommen. Das siehst du direkt an der waagerechten Geraden: 

Parabel
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Beispiel: Parabel

Hier siehst du, dass die waagerechte Gerade (lila) den Graphen der Funktion f(x) = \frac{1}{3}x^2 in zwei Punkten schneidet. Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, musst du daher den Definitionsbereich einschränken, also nur einen Teil der Funktion betrachten. In diesem Fall ist das am einfachsten, wenn du f(x) nur für positive x-Werte betrachtest.

f(x) : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}

y= \frac{1}{3}x^2

Jetzt kannst du die Umkehrabbildung berechnen, indem du nach x auflöst.

y= \frac{1}{3}x^2\quad \quad \bigg| \quad \cdot 3

3y =  x^2 \quad \quad \bigg| \quad \sqrt{\quad}

+\sqrt{3y} = x

Weil du hier nur positive x-Werte betrachtet hast, kannst du bei der Wurzel auch nur positive Werte herausbekommen. Nun musst du nur noch x und y vertauschen und erhältst f^{-1}(x) = +\sqrt{3x}.

Parabel qadratische Funktion Umkehrfunktion Winkelhalbierende Wurzel
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Beispiel: Quadratische Funktion

Umkehrfunktion ex und ln 

Für die e-Funktion f(x) = e^x musst du die Umkehrfunktion gar nicht erst mit den zwei Schritten berechnen! Hier hast du sie direkt durch die ln-Funktion f^{-1}(x) = \ln(x) gegeben. Das kommt daher, weil \ln(x) gerade als natürlicher Logarithmus zur Basis e definiert ist. 

Für den Definitionsbereich und die Wertemenge der beiden Funktionen gilt dann

  e^x : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+

\ln(x) : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}.

Das siehst du auch direkt an den Funktionsgraphen: 

e Funktion ln Umkehrfunktion Spiegelung Wikelhalbierende
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Beispiel: e-Funktion und ln(x)

Ableitung der Umkehrfunktion

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gibt es eine Abkürzung. Wenn du die Ableitung der ursprünglichen Funktion schon berechnet hast, kannst du die Ableitung der Umkehrfunktion mit der Formel schnell berechnen.

Umkehrregel zum Ableiten %Kästchen

\left(f^{-1}\right)'(x) = \cfrac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}

Lass uns das doch gleich mal ausprobieren. Wir haben bereits die Umkehrfunktion f^{-1}(x) =+\sqrt{3x} zur Funktion f(x) = \frac{1}{3}x^2 berechnet.  Leitest du diese mit den bekannten Ableitungsregeln ab, dann erhältst du

\left(f^{-1}\right)'(x)= \cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}.

Dasselbe Ergebnis erhältst du, wenn du f^{-1}(x) und f'(x)= \frac{2}{3}x in die obige Formel einsetzt.

\left(f^{-1}\right)'(x)=\cfrac{1}{\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3x}} = \cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}

Umkehrfunktion Eigenschaften

Die Umkehrfunktion hat einige Eigenschaften, die für dich einmal nützlich sein könnten.

  • Die Umkehrabbildung von f^{-1} ist wieder f. Das bedeutet

\left(f^{-1} \right)^{-1} = f.

  • Wenn f: X \longrightarrow Y eine umkehrbare Funktion ist, dann ist für alle x \in X und y \in Y:

f(f^{-1}(y)) = y    und    f^{-1}(f(x))=x.

  • Graphisch kann die Bestimmung der Umkehrfunktion als Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden. 

Die Umkehrfunktion kannst du übrigens nur bilden, wenn es zu jedem y-Wert genau einen x-Wert gibt. Wenn also zwei x-Werte denselben Funktionswert haben, so wie bei f(x)=x^2, dann kannst du nur einen bestimmten Bereich für die Umkehrfunktion betrachten. 

Umkehrfunktion Anwendung

Die Umkehrabbildung brauchst du zum Beispiel bei der Berechnung von Rotationskörpern . Für die Rotation um die x-Achse verwendest du stets die Funktion f(x), während du bei einer Drehung um die y-Achse zuerst f^{-1}(x) bestimmen musst.

Aber auch in anderen Zusammenhängen kann es praktisch sein, wenn du mit der Umkehrfunktion bildest. Zum Beispiel wenn du weißt, wie hoch die Nachfrage für ein Produkt in Abhängigkeit vom Preis ist. Mit der Umkehrfunktion kannst du herausfinden, welchen Preis du ansetzen musst, um eine bestimme Nachfrage zu erzielen. 

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