Umkehrfunktion

Wenn du wissen willst, was eine Umkehrfunktion ist und wie du sie am einfachsten berechnen kannst, dann bist du hier genau richtig! Wir erklären es dir leicht verständlich an Hand mehrerer Beispiele.

Statt einen langen Text zu lesen, willst du lieber direkt sehen, was die Umkehrfunktion ausmacht? Dann schau dir am besten dieses kurze Video %Video verlinken an.

Inhaltsübersicht

Umkehrfunktion einfach erklärt
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Umkehrfunktion bilden
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Umkehrfunktion Eigenschaften
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Umkehrfunktion Beispiele
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Ableitung der Umkehrfunktion
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Umkehrfunktion einfach erklärt

Mit einer Umkehrfunktion kannst du – wie der Name schon sagt – eine Funktion umkehren, das heißt sie wieder rückgängig machen. Wenn du also eine Funktion f(x) = y gegeben hast, so gilt für die zugehörige Umkehrabbildung $f^{-1}(y) = x$ .

Du brauchst sie zum Beispiel bei der Berechnung von Rotationskörpern %Verlinken wenn verfügbar . Für die Rotation um die x-Achse verwendest du stets die Funktion f(x) , während du bei einer Drehung um die y-Achse zuerst $f^{-1}(x)$ bestimmen musst.

Merke: Für die Umkehrabbildung schreibt man immer $f^{-1}$ . Das hat aber nichts mit dem Kehrwert zu tun!

$f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}$ .

Umkehrfunktion bilden

Je nachdem, wie die ursprüngliche Funktion f(x) aussieht, ist die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ einfacher oder schwerer zu bestimmen. In diesem Kapitel zeigen wir dir ein allgemeines Schema zur Bestimmung der Umkehrabbildung und sagen dir, welche Kriterien erfüllt sein müssen, dass eine Umkehrabbildung existiert.

Umkehrfunktion berechnen: Schema

Um eine Umkehrfunktion zu berechnen, befolgst du im Wesentlichen immer die folgenden beiden Schritte:

Schritt 1: Löse die Funktion nach auf.
Schritt 2: Vertausche die beiden Variablen und .

Hinweis: Hier werden Definitions- und Wertemenge vertauscht!

Kriterien für die Existenz der Umkehrfunktion

Leider kann man eine Umkehrfunktion nicht für jede Funktion so einfach bestimmen. Dazu müssen verschiedene Kriterien erfüllt sein. $f^{-1}$ ist genau dann wohldefiniert, wenn jedes im Wertebereich %verlinken wenn verfügbar genau einem im Definitionsbereich entspricht. In der Mathematik nennt man solche Funktionen auch bijektiv .

%evtl hier Bild einfügen aus Video bijektiv Minute 4:08 von den beiden Mengen

Dieses Kriterium ist für lineare Funktionen beispielsweise immer erfüllt. Bei quadratischen Funktionen gilt es im Allgemeinen nicht, bei der Funktion f(x) = x^2 ist sowohl f(2) = 4 als auch f(-2) = 4 .

Tipp: Willst du schnell überprüfen, ob eine Funktion umkehrbar ist, oder nicht, dann betrachte am besten ihren Funktionsgraphen. Wenn jede waagerechte Gerade den Funktionsgraphen nur ein einziges Mal schneidet, kannst du problemlos die Umkehrfunktion berechnen! Falls du mehrere Schnittpunkte erhältst, musst du ggf. den Definitionsbereich einschränken.

Umkehrfunktion Eigenschaften

Die Umkehrfunktion hat verschiedene besondere Eigenschaften, die wir dir hier stichpunktartig zusammenfassen:

Die Umkehrabbildung von $f^{-1}$ ist wieder . Das bedeutet:

$\left(f^{-1} \right)^{-1} = f.$

ist $f: X \longrightarrow Y$ eine umkehrbare Funktion, dann ist für alle $x \in X$ und $y \in Y$ :

$f(f^{-1}(y)) = y$ und $f^{-1}(f(x))=x.$

Graphisch kann die Bestimmung der Umkehrfunktion als Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden.

Umkehrfunktion quadratische Funktion Wurzel Spiegelung an der Winkelhalbierenden — Umkehrfunktion graphisch: Spiegelung an der Winkelhalbierenden

Umkehrfunktion Beispiele

In diesem Abschnitt wollen wir die Umkehrabbildung konkret für einige Beispiele berechnen. Fangen wir mit den linearen Funktionen an.

Umkehrabbildung linearer Funktionen

Lineare Funktionen haben den Funktionsterm $f(x)= m \cdot x+t$ , dessen Graph eine Gerade mit Steigung und y-Achsenabschnitt darstellt. Hier kannst du die Umkehrfunktion immer direkt ausrechnen.

Das zeigen wir dir zuerst konkret an einem Beispiel und dann allgemein:

Beispiel 1:

Sei $f(x) = 0,5 \cdot x + 1$ .

Diese Funktion lösen wir nun nach auf und erhalten:

$y = 0,5 \cdot x+ 1\quad \quad \bigg| \quad - 1$

$y - 1 = 0,5\cdot x\quad \quad \quad \bigg| \quad \div 0,5$

$\cfrac{y - 1}{0,5} = x$

$2 \cdot y - 2 = x$

Tausche nun und und erhalte die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)=2 \cdot x - 2$ .

Gerade lineare Funktion Umkehrfunktion Spiegelung Winkelhalbierende — Beispiel: Lineare Funktion und ihre Umkehrabbildung

Vorgehen allgemein:

Gesucht ist die Umkehrfunktion von $f(x) = m \cdot x +t$ .

Löse die Funktion nach auf:

$y = m \cdot x + t \quad \quad \bigg| \quad - t$

$y - t = m \cdot x\quad \quad \quad \bigg| \quad \div m$

$\cfrac{y - t}{m} = x .$

Tausche nun und und erhalte $f^{-1}(x)=\cfrac{x - t}{m}$ .

Merke: Die Umkehrabbildung $f^{-1}(x)$ einer linearen Funktion $f(x) = m \cdot x +t$ hat immer die Steigung $\cfrac{1}{m}$ und den y-Achsenabschnitt $\cfrac{t}{m}$ !

Umkehrfunktion quadratische Funktion

Etwas komplizierter als bei den linearen Funktionen ist die Berechnung bei quadratischen Funktionen. Das liegt im Allgemeinen daran, dass hier für einen y-Wert immer zwei x-Werte infrage kommen. Das siehst du direkt an der waagerechten Geraden:

Hier siehst du, dass die waagerechte Gerade (lila) den Graphen der Funktion $f(x) = \frac{1}{3}x^2$ in zwei Punkten schneidet. Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, musst du daher den Definitionsbereich einschränken. In diesem Fall ist das am einfachsten, wenn du f(x) nur für positive x-Werte betrachtest

$f(x) : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$

$y= \frac{1}{3}x^2.$

Jetzt können wir die Umkehrabbildung berechnen, indem wir nach auflösen:

$y= \frac{1}{3}x^2\quad \quad \bigg| \quad \cdot 3$

$3y = x^2 \quad \quad \bigg| \quad \sqrt{\quad}$

$+\sqrt{3y} = x$

Nun müssen wir nur noch und vertauschen und erhalten $f^{-1}(x) = \sqrt{3x}$ .

Parabel qadratische Funktion Umkehrfunktion Winkelhalbierende Wurzel — Beispiel: Quadratische Funktion

Willst du im Allgemeinen die Umkehrabbildung einer quadratischen Funktion bestimmen, musst du den Definitionsbereich stets individuell anpassen, je nachdem wie die Parabel im Koordinatensystem liegt.

Umkehrfunktion e^x und ln

Für die e-Funktion f(x) = e^x musst du die Umkehrfunktion gar nicht erst mit den zwei Schritten berechnen! Hier hast du sie direkt durch die ln-Funktion $f^{-1}(x) = \ln(x)$ gegeben. Das kommt daher, weil $\ln(x)$ gerade als natürlicher Logarithmus zur Basis definiert ist.

Für den Definitionsbereich und die Wertemenge der beiden Funktionen gilt dann

$e^x : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+$

$\ln(x) : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}.$

Das siehst du auch direkt an den Funktionsgraphen:

e Funktion ln Umkehrfunktion Spiegelung Wikelhalbierende — Beispiel: e-Funktion und ln(x)

Ableitung der Umkehrfunktion

Wenn du dich für die Ableitung interessierst, so wäre es doch sehr umständlich, wenn du zuerst explizit die Umkehrabbildung bestimmen müsstest, und im Anschluss daran auch noch ableiten. Schneller geht es mit der folgenden Formel:

Umkehrregel zum Ableiten %Kästchen

$\left(f^{-1}\right)'(x) = \cfrac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$

Diese Formel wollen wir anhand von obigem Beispiel zu den quadratischen Funktionen verifizieren. Für $f(x) = \frac{1}{3}x^2$ kennen wir bereits die Umkehrfunktion $f^{-1}(x) = +\sqrt{3x}$ . Leiten wir diese mit den bekannten Ableitungsregeln ab, dann erhalten wir $\left(f^{-1}\right)'(x)= \cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$ .

Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir $f^{-1}(x)$ und $f'(x)= \frac{2}{3}x$ in die obige Formel einsetzen:

$\left(f^{-1}\right)'(x)=\cfrac{1}{\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3x}} = \cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}.$

Analysis

Ableitung und Ableitungsregeln

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