Umkehrfunktion
In diesem Beitrag erfährst du, was eine Umkehrfunktion ist, wie man sie bildet und berechnet und wie du die Umkehrfunktion ableiten kannst.
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Umkehrfunktion einfach erklärt
In der Mathematik triffst du immer auf Funktionen der Art . Einfache Beispiele hierfür sind
oder
.
Umkehrfunktionen ordnen nun die Variablen x und y umgekehrt zu. Konkret bedeutet das, dass einfach nur der x Wert und der y Wert vertauscht werden müssen. Um die Umkehrfunktion zu bilden, nimmst du also deine ursprüngliche Funktion, löst diese nach x auf und vertauschst dann die Variablen x und y. Die eben genannte Funktion besitzt beispielsweise diese Umkehrfunktion
bzw.
.
Die Umkehrfunktion einer Funktion wird allgemein als
dargestellt. Die hochgestellte „minus 1“ kennzeichnet die fertige Umkehrfunktion.
Umkehrfunktion bilden
Die Vorgehensweise zum Bilden der Umkehrfunktion ist dabei total simpel und immer gleich. Du musst nur dieses Kochrezept beachten:
Schritt 1: Funktionsgleichung nach x auflösen
Schritt 2: Die Variablen x und y tauschen
Die Funktion besitzt folglich die Umkehrfunktion
bzw.
.
Das Bilden der Umkehrfunktion ist absolut kein Hexenwerk. Das verdeutlicht dir die graphische Darstellung. Denn wie du in unserem Diagramm sehen kannst, ist der Graph der Umkehrfunktion einfach durch die Spiegelung der eigentlichen Funktion, an der Winkelhalbierenden entstanden.
Allgemein kannst du dir diese Punkte zur Umkehrfunktion merken:
- Eine Umkehrfunktion wird durch
gekennzeichnet.
- Graphisch kann die Bestimmung der Umkehrfunktion als Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden.
- Es werden x und y vertauscht, wobei sich auch die Definitions- und die Wertemenge vertauschen.
Umkehrfunktion berechnen
Sehen wir uns doch gleich mal ein paar Beispiele für Funktionen und ihre Umkehrfunktionen an.
Umkehrfunktion lineare Funktionen
Hier siehst du ein Beispiel für eine lineare Funktion.
Um die Umkehrfunktion zu erhalten, löst du im ersten Schritt die Gleichung nach auf. Dabei schreibst du statt
einfach
.
Jetzt musst du nur noch statt
und
statt
schreiben und die beiden Seiten der Gleichung vertauschen.
Die Funktion hat also die Umkehrfunktion
. Im Bild siehst du auch nochmal, wie der Graph an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.
Umkehrfunktion quadratische Funktionen
Etwas komplizierter als bei den linearen Funktionen ist die Umkehrfunktion bei quadratischen Funktionen. Das liegt im Allgemeinen daran, dass hier für einen y-Wert immer zwei x-Werte infrage kommen. Das siehst du direkt an der waagerechten Geraden:
Hier siehst du, dass die waagerechte Gerade (lila) den Graphen der Funktion in zwei Punkten schneidet. Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, musst du daher den Definitionsbereich einschränken, also nur einen Teil der Funktion betrachten. In diesem Fall ist das am einfachsten, wenn du
nur für positive x-Werte betrachtest.
Jetzt kannst du die Umkehrabbildung berechnen, indem du nach auflöst.
Weil du hier nur positive x-Werte betrachtet hast, kannst du bei der Wurzel auch nur positive Werte herausbekommen. Nun musst du nur noch und
vertauschen und erhältst
.
Umkehrfunktion ex und ln
Für die e-Funktion musst du die Umkehrfunktion gar nicht erst mit den zwei Schritten berechnen! Hier hast du sie direkt durch die ln-Funktion
gegeben. Das kommt daher, weil
gerade als natürlicher Logarithmus zur Basis
definiert ist.
Für den Definitionsbereich und die Wertemenge der beiden Funktionen gilt dann
Das siehst du auch direkt an den Funktionsgraphen:
Ableitung der Umkehrfunktion
Für die Ableitung der Umkehrfunktion gibt es eine Abkürzung. Wenn du die Ableitung der ursprünglichen Funktion schon berechnet hast, kannst du die Ableitung der Umkehrfunktion mit der Formel schnell berechnen.

Lass uns das doch gleich mal ausprobieren. Wir haben bereits die Umkehrfunktion zur Funktion
berechnet. Leitest du diese mit den bekannten Ableitungsregeln
ab, dann erhältst du
.
Dasselbe Ergebnis erhältst du, wenn du und
in die obige Formel einsetzt.
Umkehrfunktion Eigenschaften
Die Umkehrfunktion hat einige Eigenschaften, die für dich einmal nützlich sein könnten.
- Die Umkehrabbildung von
ist wieder
. Das bedeutet
.
- Wenn
eine umkehrbare Funktion ist, dann ist für alle
und
:
und
- Graphisch kann die Bestimmung der Umkehrfunktion als Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden.
Die Umkehrfunktion kannst du übrigens nur bilden, wenn es zu jedem y-Wert genau einen x-Wert gibt. Wenn also zwei x-Werte denselben Funktionswert haben, so wie bei , dann kannst du nur einen bestimmten Bereich für die Umkehrfunktion betrachten.
Umkehrfunktion Anwendung
Die Umkehrabbildung brauchst du zum Beispiel bei der Berechnung von Rotationskörpern
. Für die Rotation um die x-Achse verwendest du stets die Funktion , während du bei einer Drehung um die y-Achse zuerst
bestimmen musst.
Aber auch in anderen Zusammenhängen kann es praktisch sein, wenn du mit der Umkehrfunktion bildest. Zum Beispiel wenn du weißt, wie hoch die Nachfrage für ein Produkt in Abhängigkeit vom Preis ist. Mit der Umkehrfunktion kannst du herausfinden, welchen Preis du ansetzen musst, um eine bestimme Nachfrage zu erzielen.