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Du fragst dich, wie du Umkehrfunktionen bilden und ihre Graphen zeichnen kannst? Dann bist du bei unserem Beitrag %und Videogenau richtig! Hier erfährst du alles, was du wissen musst!

Umkehrfunktion einfach erklärt

Eine Umkehrfunktion f-1(x) ordnet die Variablen einer Funktion f(x) umgekehrt zu. Das bedeutet, dass du den x-Wert und den y-Wert deiner Funktion vertauschst.

Graphisch bedeutet die Umkehrfunktion, dass du deinen Graphen an der Winkelhalbierenden g(x) = x des ersten und dritten Quadranten spiegelst.

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Umkehrfunktion

Geht f(x) zum Beispiel durch den Punkt P (0|1), dann vertauschst du x und y und erhältst den gespiegelten Punkt P'(1|0). Dieser geht durch den Graphen der Umkehrfunktion f-1(x).

Du kannst die Umkehrfunktion nur bilden, wenn jedem y-Wert nur höchstens ein x-Wert zugeordnet wird. Zum Beispiel bei f(x) = 0,5x + 1 . Wird einem y-Wert mehr als ein x-Wert zugordnet, zum Beispiel bei der Funktion f(x) = \frac{1}{3}x^2 , dann schränkst du den Definitionsbereich ein.

Beim Umkehren von Funktionen vertauschen sich Definitions- und Wertebereich

Umkehrfunktion Aufgaben

Schauen wir uns nun an, wie du die Umkehrfunktion berechnen kannst.

Umkehrfunktion bestimmen – lineare Funktion

Verwenden wir direkt die lineare Funktion f(x) = 0,5x + 1. Um die Umkehrabbildung zu bestimmen, kannst du dich immer an diese Anleitung halten:

Vorgehensweise
  • Schritt 1: Funktionsgleichung nach x auflösen
  • Schritt 2: Die Variablen x und y vertauschen

Im ersten Schritt löst du die Gleichung nach x auf. Dazu schreibst du statt f(x) einfach y.

y = 0,5x + 1        | – 1

y – 1 = 0,5x         | • 2

2y – 2 = x

Jetzt musst du nur noch x und y vertauschen.

2x – 2 = y

y = 2x – 2

Die Funktion f(x) = 0,5x + 1 hat also die Umkehrabbildung f-1(x) = 2x -2.

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Umkehrfunktion lineare Funktion

Umkehrfunktion bestimmen – quadratische Funktion

Etwas komplizierter als bei den linearen Funktionen ist die Umkehrfunktion bei quadratischen Funktionen . Das liegt im Allgemeinen daran, dass hier für einen y-Wert immer zwei x-Werte infrage kommen. Das siehst du direkt an der waagerechten Geraden

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Quadratische Funktion

Hier siehst du, dass die orange Gerade den Graphen der Funktion \textcolor{blue}{f(x) = \frac{1}{3}x^2} in zwei Punkten schneidet. Um die Umkehrabbildung zu bestimmen, musst du daher den Definitionsbereich einschränken, also nur einen Teil der Funktion betrachten. In diesem Fall ist das am einfachsten, wenn du f(x) nur für positive x-Werte betrachtest.

f(x) : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}

y= \frac{1}{3}x^2

Jetzt kannst du die Umkehrabbildung berechnen, indem du nach x auflöst.

y= \frac{1}{3}x^2\quad \quad \bigg| \quad \cdot 3

3y =  x^2 \quad \quad \bigg| \quad \sqrt{\quad}

+\sqrt{3y} = x

Weil du hier nur positive x-Werte betrachtest, kannst du bei der Wurzel auch nur positive Werte herausbekommen. Nun musst du nur noch x und y vertauschen und erhältst \textcolor{violet}{f^{-1}(x) = +\sqrt{3x} }.

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Umkehrfunktion quadratische Funktion

Umkehrfunktion bestimmen – ganzrationale Funktion

Betrachte nun die ganzrationale Funktion f(x) = x3 – 1.

Löse die Gleichung im ersten Schritt nach x auf.

y = x3 – 1       | + 1

y + 1 = x3     | \sqrt[3]{}

\sqrt[3]{y + 1} = x

Jetzt kannst du x und y vertauschen.

y = \sqrt[3]{x+1}

Die Umkehrfunktion von f(x) = x3 – 1 ist f-1(x) = \textcolor{violet}{\sqrt[3]{x+1}}

Umkehrfunktion bestimmen – ex

Für die e-Funktion f(x) = ex musst du die Umkehrabbildung überhaupt nicht berechnen! Hier hast du sie direkt durch die ln-Funktion f-1(x) = ln(x) gegeben. Das kommt daher, weil ln(x) als natürlicher Logarithmus zur Basis e definiert ist. 

Für den Definitionsbereich und die Wertemenge der beiden Funktionen gilt dann:

  e^x : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+

\ln(x) : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}.

Das siehst du auch direkt an den Funktionsgraphen: 

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Umkehrfunktion e-Funktion

 

Ableitung der Umkehrfunktion

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gibt es eine Abkürzung:

Umkehrregel zum Ableiten

\left(f^{-1}\right)'(x) = \cfrac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}

Wir haben bereits die Umkehrabbildung f^{-1}(x) =+\sqrt{3x} zur Funktion f(x) = \frac{1}{3}x^2 berechnet. Leitest du diese mit den bekannten Ableitungsregeln ab, dann erhältst du

\left(f^{-1}\right)'(x)= \cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}.

Dasselbe Ergebnis erhältst du, wenn du f^{-1}(x) und f'(x)= \frac{2}{3}x in die Formel von oben einsetzt.

\left(f^{-1}\right)'(x)=\cfrac{1}{\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3x}} = \cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}

Arcustangens

Du kannst auch bei trigonometrischen Funktionen die Umkehrfunktionen bilden. So ist der Arcustangens zum Beispiel die Umkehrabbildung des Tangens. Wenn du wissen willst, was es damit genau auf sich hat, dann schau dir unbedingt unser Video dazu an!

Umkehrfunktion, Tangens, Arcustangens
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Zum Video: Rotationskörper

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