Was ist der Unterschied zwischen Funktion, Funktionsgleichung und Funktionsgraph?

Der Unterschied ist: Eine Funktion beschreibt die Zuordnung von x-Werten zu y-Werten, eine Funktionsgleichung ist die konkrete Schreibweise hinter dem Gleichheitszeichen und ein Funktionsgraph ist die grafische Darstellung im Koordinatensystem. Zum Beispiel ist bei der Funktionsgleichung der Funktionsterm .

Wie erkenne ich am Graphen, ob es eine Gerade oder Parabel ist?

Am Graphen erkennst du eine Gerade daran, dass der Funktionsgraph eine gerade Linie ist und eine Parabel daran, dass der Funktionsgraph eine Parabelkurve bildet. Konkret: Ein Graph, der als Linie verläuft, gehört zu einer linearen Funktion und ein U-förmiger Graph gehört zu einer quadratischen Funktion.

Wie finde ich bei einer Geraden den y-Achsenabschnitt im Graphen?

Den y-Achsenabschnitt einer Geraden findest du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse abliest. Dieser Wert heißt in . Beispiel: Schneidet die Gerade die y-Achse bei , dann ist .

Wie berechne ich die Steigung mit einem Steigungsdreieck?

Die Steigung mit einem Steigungsdreieck berechnest du als Verhältnis von Höhenänderung zu Längenänderung, also . Dabei zählt , wie viele Kästchen es nach oben oder unten geht, und , wie viele Kästchen nach rechts oder links. Beispiel: und ergibt .

Wie stelle ich eine Parabelgleichung aus Scheitelpunkt und Punkt auf?

Eine Parabelgleichung aus Scheitelpunkt und Punkt stellst du mit der Scheitelpunktform auf, indem du und aus dem Scheitelpunkt einsetzt und dann mit dem weiteren Punkt nach auflöst. Beispiel: und führen zu und damit .

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Funktionsgleichung

Wichtige Inhalte in diesem Video

Funktionsgleichung einfach erklärt

(00:14)

Funktionsgleichung linearer Funktionen aufstellen

(00:50)

Funktionsgleichung quadratischer Funktionen aufstellen

(03:06)

Eine Funktionsgleichung kannst du auf verschiedene Arten bestimmen. Hier und im Video zeigen wir dir Möglichkeiten, wie du lineare und quadratische Funktionen aufstellen kannst.

Inhaltsübersicht

Funktionsgleichung einfach erklärt

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(00:14)

Eine Funktionsgleichung beschreibt eine konkrete mathematische Gleichung und ist das, was hinter dem Gleichheitszeichen steht. Ist f(x) = 2x + 3 deine Funktion, dann ist 2x + 3 die Funktionsgleichung.

Die Begriffe Funktion, Funktionsgleichung und Funktionsgraph werden in Mathe regelmäßig verwechselt. So kannst du sie einfach unterscheiden:

Die Funktion gibt dir an, wie jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet wird. Sie heißt f(x) und beschreibt eher ein allgemeines Konzept.
Eine Funktionsgleichung steht hinter dem Gleichheitszeichen. Bei ihr handelt es sich um die konkrete Schreibweise einer Funktion.
Der Funktionsgraph zeigt die Funktion grafisch im Koordinatensystem. Einen Beispielgraphen siehst du im Bild.

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Funktionsgraph einer linearen Funktion

Wie du die Funktionsgleichung von linearen und quadratischen Funktionen bestimmen kannst, erfährst du jetzt.

Funktionsgleichung linearer Funktionen aufstellen

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(00:50)

Lineare Funktionen kannst du auf verschiedene Arten aufstellen. Dafür notierst du immer zuerst die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden:

f(x) = m • x + t

Das m gibt dabei die Steigung der Gerade an und das t den y-Achsenabschnitt, also den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse.

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1. Funktionsgleichung am Graphen ablesen

Hast du den Graphen einer linearen Funktion gegeben, kannst du die Funktionsgleichung durch Ablesen in 4 Schritten bestimmen. Schau dir das an folgendem Beispiel an:

lineare Funktion Gerade Steigung Steigungsdreieck y-Achsenabschnitt, funktionsgleichung, funktionsgleichung lineare funktion, allgemeine funktionsgleichung, was ist eine funktionsgleichung, funktionsgleichungen aufstellen, funktionsgleichung beispiel, lineare funktionsgleichungen — Lineare Funktionsgleichung am Graphen ablesen

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben

f(x) = m • x + t

Schritt 2: y-Achsenabschnitt t ablesen

Der y-Achsenabschnitt ist nichts anderes, als die Stelle, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

t = −1

Schritt 3: Steigung m berechnen

Dafür zeichnest du am besten ein Steigungsdreieck ein. Dabei fragst du dich:

Δy Wie viele Kästchen gehst du nach oben/unten?
Δx Wie viele Kästchen gehst du nach rechts/links?

Die Steigung m berechnest du nun so:

$\definecolor{ao(english)}{rgb}{0.0, 0.5, 0.0}\textcolor{ao(english)}{m} = \cfrac{\definecolor{burntorange}{rgb}{0.6,0.2,0.0}\textcolor{burntorange}{\Delta y}}{\definecolor{olive}{rgb}{0.5, 0.5, 0.0}\textcolor{olive}{\Delta x}} = \cfrac{\definecolor{burntorange}{rgb}{0.6,0.2,0.0}\textcolor{burntorange}{1}}{\textcolor{olive}{2}}$ = 0,5

Schritt 4: Werte m = 0,5 und t = −1 in Funktionsgleichung einsetzen

f(x) = 0,5 • x − 1

2. Aufstellen mit Punkt und y-Achsenabschnitt

Du kannst auch die Funktionsgleichung aufstellen, wenn du nur den y-Achsenabschnitt gegeben hast. Dann brauchst du nur einen weiteren Punkt P (x|y), um die Geradengleichung zu bestimmen.

Wenn du beispielsweise die Gleichung der Geraden mit dem y-Achsenabschnitt t = 2 durch den Punkt P (2|8) bestimmen willst, gehst du nach fünf Schritten vor:

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben

f(x) = m • x + t

Schritt 2: y-Achsenabschnitt einsetzen

In unserem Beispiel ist das t = 2:

f(x) = m • x + 2

Schritt 3: x-Wert und y-Wert einsetzen

Als nächstes setzt du den x-Wert und den y-Wert des Punktes P (2|8) ein.

8 = m • 2 + 2

Schritt 4: Gleichung nach m auflösen

8 = m ⋅ 2 + 2 | – 2
6 = m ⋅ 2 | : 2
3 = m

Schritt 5: m und t in die Funktionsgleichung einsetzen

Zum Schluss setzt du nur noch die Steigung und den y-Achsenabschnitt in deine Funktionsgleichung ein und du erhältst dein Ergebnis:

f(x) = 3 • x + 2

3. Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmen

Du kannst die Gleichung einer linearen Funktion auch dann bestimmen, wenn du zwei Punkte gegeben hast. Dafür musst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen. Schau dir das für die Punkte P (-3|2) und Q (5|6) einmal genauer an:

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben

f(x) = m • x + t

Schritt 2: Beide Punkte in die Gleichung einsetzen und das Gleichungssystem aufstellen

(I) 6 = m • 5 + t
(II) 2 = m • (−3) + t

Schritt 3: Eine der Gleichungen nach t auflösen

In unserem Beispiel haben wir die Gleichung (I) nach t aufgelöst:

(I) 6 = m • 5 + t
(I‘) t = 6 − 5 • m

Setze sie dann in die andere Gleichung ein und berechne daraus m:

(I‘) in (II)

2 = (-3) • m + 6 – 5 • m
2 = -8 • m + 6 | – 6
-4 = -8 • m | : (-8)
m = 0,5

Schritt 4: m in (I) oder (II) einsetzen und nach t auflösen

In unserem Beispiel setzt du m = 0,5 in (II) ein und erhältst:

2 = 0,5 • (−3) + t
2 = −1,5 + t | + 1,5
3,5 = t

Schritt 5: m und t in Funktionsgleichung einsetzen

f(x) = 0,5 • x + 3,5

Übrigens: Du kannst eine lineare Funktionsgleichung aus zwei Punkten auch aufstellen, indem du aus den Differenzen der Punkte die Steigung m berechnest $\left(m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\right)$ . Dann setzt du m zusammen mit einem Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung y = m • x + t ein und löst nach t auf.

Damit kennst du jetzt alle Möglichkeiten, wie du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen kannst.

Funktionsgleichung quadratischer Funktionen aufstellen

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(03:06)

Häufig wird auch nach der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gefragt. Ihr Funktionsgraph ist immer eine Parabel. Die allgemeine Funktionsgleichung sieht so aus:

f(x) = ax² + bx + c

1. Parabelgleichung am Graphen ablesen

Wenn du nur den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion gegeben hast, bestimmst du die Funktionsgleichung am besten über die Scheitelpunktform. Schau dir zum Beispiel diesen Graphen an:

Nun gehst du so vor:

Schritt 1: Allgemeine Scheitelpunktform aufstellen

f(x) = a(x − d)²+ e

Schritt 2: Koordinaten des Scheitelpunkts einsetzen

Lese die Koordinaten des Scheitelpunktes ab und setzte sie in die Funktionsgleichung ein. In unserem Beispiel ist das der Punkt S (1|4,5). Es ist also e = 4,5 und d = 1. Damit ergibt sich:

f(x) = a(x − 1)²+ 4,5

Schritt 3: a bestimmen

Um a zu bestimmen brauchst du noch einen weiteren Punkt, den du gut ablesen kannst. Dafür eignet sich beispielsweise die Nullstelle x₂ = 4. Den Punkt P (4|0) setzt du nun in die Gleichung ein und formst nach a um.

0 = a(4 – 1)² + 4,5
0 = 9a + 4,5 | – 4,5
-4,5 = 9a | : 9
-0,5 = a

Schritt 4: a in Funktionsgleichung einsetzen und ausmultiplizieren

Wenn du a eingesetzt hast, musst du deine Funktionsgleichung nur noch in die allgemeine Funktionsgleichung umformen.

f(x) = −0,5(x − 1)² + 4,5 = −0,5x²+x + 4

Übrigens: Wenn du nicht den Graphen, sondern einen Punkt und die Koordinaten des Scheitels gegeben hast, gehst du genauso wie eben vor und setzt die Koordinaten direkt ein.

2. Funktionsgleichung aus drei Punkten aufstellen

Um eine Parabel aus drei gegebenen Punkten zu errechnen, nutzt du die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c. Dann setzt du alle drei Punkte in je eine Gleichung ein. Dann erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das du auflösen kannst.

Betrachten wir beispielsweise die Parabel durch die drei Punkte A (0|4), B (2|-2) und C (7|0,5).

Um die Funktionsgleichung aus drei Punkten zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen

f(x) = ax² + bx + c

Schritt 2: Punkte A, B und C in jeweils eine Funktionsgleichung einsetzen

(I) 4 = a • 0²+ b • 0 + c
(II) −2 = a • 2²+ b • 2 + c
(III) 0,5 = a • 7²+ b • 7 + c

Schritt 3: Gleichungssystem auflösen

Löse das Gleichungssystem möglichst geschickt. In der Gleichung (I) fallen zum Beispiel die Werte a und b durch Multiplikation mit 0 direkt weg. Übrig bleibt nur noch 4 = c. Das setzt du nun in die beiden anderen Gleichungen ein:

(II) −2 = 4a + 2b + 4
(III) 0,5 = 49a + 7b + 4

Löst du die Gleichung (II) nach b auf und setzt sie in die dritte ein, kannst du so a ausrechnen:

(II‘) b = −3 − 2a
(III‘) 0,5 = 49a + 7 • (-3 – 2a) + 4
(III‘) 0,5 = 49a – 21 – 14a + 4
(III‘) 0,5 = 35a – 17
(III‘) 17,5 = 35a
(III‘) a = 0,5

Durch das Einsetzen von a = 0,5 in (II‘) ergibt sich dann b = −4.

Schritt 4: a, b und c in ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen

f(x) = 0,5x²− 4x+ 4

Funktionsgleichung — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen Funktion, Funktionsgleichung und Funktionsgraph?

Der Unterschied ist: Eine Funktion beschreibt die Zuordnung von x-Werten zu y-Werten, eine Funktionsgleichung ist die konkrete Schreibweise hinter dem Gleichheitszeichen und ein Funktionsgraph ist die grafische Darstellung im Koordinatensystem. Zum Beispiel ist bei der Funktionsgleichung der Funktionsterm .
Wie erkenne ich am Graphen, ob es eine Gerade oder Parabel ist?

Am Graphen erkennst du eine Gerade daran, dass der Funktionsgraph eine gerade Linie ist und eine Parabel daran, dass der Funktionsgraph eine Parabelkurve bildet. Konkret: Ein Graph, der als Linie verläuft, gehört zu einer linearen Funktion und ein U-förmiger Graph gehört zu einer quadratischen Funktion.
Wie finde ich bei einer Geraden den y-Achsenabschnitt im Graphen?

Den y-Achsenabschnitt einer Geraden findest du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse abliest. Dieser Wert heißt in $f(x)=m\cdot x+t$ . Beispiel: Schneidet die Gerade die y-Achse bei , dann ist .
Wie berechne ich die Steigung mit einem Steigungsdreieck?

Die Steigung mit einem Steigungsdreieck berechnest du als Verhältnis von Höhenänderung zu Längenänderung, also $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Dabei zählt $\Delta y$ , wie viele Kästchen es nach oben oder unten geht, und $\Delta x$ , wie viele Kästchen nach rechts oder links. Beispiel: $\Delta y=1$ und $\Delta x=2$ ergibt $m=\frac{1}{2}=0{,}5$ .
Wie stelle ich eine Parabelgleichung aus Scheitelpunkt und Punkt auf?

Eine Parabelgleichung aus Scheitelpunkt und Punkt stellst du mit der Scheitelpunktform auf, indem du und aus dem Scheitelpunkt einsetzt und dann mit dem weiteren Punkt nach auflöst. Beispiel: und führen zu $0=a(4-1)^2+4{,}5$ und damit .

Nullstellen berechnen

Jetzt hast du bereits verschiedene Verfahren zum Aufstellen von Funktionsgleichungen kennengelernt. Teilweise haben wir dafür auch Nullstellen genutzt. Wie du diese Nullstellen berechnest, erfährst du hier genauer.