Analysis

Arcustangens

In diesem Artikel führen wir den Arcustangens (arctan) ein und behandeln diesen ausführlich. Dabei erläutern wir unter anderem die Eigenschaften des Arcustangens und nennen seine wichtigsten Funktionswerte. Außerdem zeigen wir, wie du diese auch näherungsweise berechnen kannst und die Funktion in einer Reihe entwickeln kannst. Zuletzt zeigen wir dir, wie die Stammfunktion und Ableitung des Arcustangens lauten.

Um dir das Thema noch anschaulicher vermitteln zu können, haben wir dazu auch extra ein Video für dich erstellt.

Inhaltsübersicht

Arcustangens einfach erklärt

Wenn du einen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen sollst, dann greifst du häufig auf den Sinus, den Cosinus oder auch den Tangens zurück. Der Tangens eines Winkels \alpha entspricht zum Beispiel der Länge seiner Gegenkathete geteilt durch die Länge seiner Ankathete.

\tan (\alpha)=\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}

Wenn du nun die eine Länge durch die andere teilst, erhältst du allerdings eine Zahl als Ergebnis und keinen Winkel. Diese Zahl entspricht dem Tangens des betrachteten Winkels. Wenn du die Zahl kennst und den Winkel dazu bestimmen willst, brauchst du die Umkehrfunktion des Tangens. Und genau diese Umkehrfunktion ist der Arcustangens. Man schreibt auch häufig Arkustangens oder kürzt die Funktion durch arctan bzw. arctan(x) ab. Da der Arkustangens die Umkehrfunktion des Tanges darstellt ist auch die Schreibweise \tan^{-1} gebräuchlich. Sie birgt allerdings die Gefahr mit dem Kehrwert des Tangens verwechselt zu werden. Der Arcustangens ordnet also jeder Zahl x einen Winkel zu. Wenn man diesen Winkel in die Tangensfunktion einsetzt, erhält man wieder die Zahl x.

Arcustangens als Umkehrfunktion

Allerdings gibt es noch eine kleine Schwierigkeit zu überwinden. Wir wollen dich darauf aufmerksam machen, dass die Tangensfunktion nicht injektiv  ist. Das heißt, dass ein und derselbe Funktionswert mehrmals angenommen wird. Zum Beispiel ist der Tangens von 45° gleich Eins, genauso wie der Tangens von 405°.

\tan(45^{\circ})=\tan(405^{\circ})=1

Die Tangensfunktion ist nämlich periodisch mit einer Periode von 180°. Das kannst du gut an ihrem Funktionsgraphen erkennen.

Tangenskurve, Tangens, Arcustangens
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Tangenskurve

Da die Tangensfunktion also nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv  und somit kann keine Umkehrfunktion angegeben werden. Denn es ist zum Beispiel nicht klar welchen Winkel die Umkehrfunktion der Zahl Eins zuordnen sollte. Den 45°-Winkel oder den 405°-Winkel? Der Tangens von beiden Winkeln ist ja dasselbe. Dieses Problem lässt sich allerdings leicht umgehen, indem wir die Tangensfunktion auf einen Bereich von 180° einschränken. In der Regel wählt man das folgende Intervall:

]-90^{\circ}, 90^{\circ}[ bzw. ]-\pi/2, \pi/2[

Am Funktionsgraphen des Tangens sieht man deutlich, dass auf diesem Bereich die Tangensfunktion sowohl injektiv, als auch surjektiv und somit bijektiv ist. Der Arkustangens stellt also die Umkehrfunktion des Tangens dar, der auf diesen Bereich eingeschränkt wurde. Den Graphen des Arkustangens erhält man, indem man den Graphen der Tangesfunktion an der Winkelhalbierenden spiegelt.

Tangens (blau) und Arcustangens (rot), Kurve, Winkelhalbierende
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Tangens (blau) und Arcustangens (rot)

Die Winkelhalbierende entspricht dem Graphen der Funktion f(x)=x. Auch für die Cotangensfunktion gibt es nur eine Umkehrfunktion, wenn man ihn auf ein passendes Intervall einschränkt. Man schränkt ihn auf den Bereich ]0^{\circ}, 180^{\circ}[ bzw. ]0, \pi[ ein und seine Umkehrfunktion nennt man Arcuscotangens.

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Eigenschaften des arctan

Am Funktionsgraphen des arctan lassen sich dann unter anderem folgende Eigenschaften der Funktion erkennen:

  Arkustangens
Definitionsmenge die ganzen reellen Zahlen
Bildmenge ]-90°,90°[
Monotonie streng monoton steigend
Symmetrien ungerade: arctan(-x)=-arctan(x)
Asymptoten -90° und 90°
Nullstellen x=0
Sprungstellen keine
Polstellen keine
Extrema keine
Wendepunkt (0,0)

Wichtige Funktionswerte des Arkustangens

Nützlich ist es auch, wenn man gängige Funktionswerte kennt. Hier sind ein paar davon zusammengefasst.

x arctan(x)
0 arctan(0)=0°
\frac{1}{3}\sqrt{3} \arctan(\frac{1}{3}\sqrt{3})=30^{\circ}
1 arctan(1)=45°
\sqrt{3} \arctan(\frac{1}{3}\sqrt{3})=60^{\circ}

Näherungsweise den arctan berechnen

Der Arkustangens kann näherungsweise mithilfe folgender Formel berechnet werden:

\arctan(x)\approx\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1+0,28x^2} & ,|x|<1\\ \frac{\pi}{2}-\frac{x}{x^2+0,28}& ,x>1\\ -\frac{\pi}{2}-\frac{x}{x^2+0,28}& ,x<-1\end{array}\right.

Reihenentwicklung

Entwickelt man den Arkustangens in einer Taylorreihe , so erhält man folgenden Ausdruck. 

\arctan(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+...

Ableitung arctan

Allgemein gilt für die Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion f Folgendes:

\left(f^{-1}\right)(x)'=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}

Somit erhält man für die arctan Ableitung also:

\left(\tan^{-1}\right)'(x)=\arctan '(x)=\cos ^2\left(\arctan(x)\right)

Die Ableitung des Arcustangens lässt sich aber auch noch in einer anderen Form darstellen:

\arctan '(x)=\cos ^2\left(\arctan(x)\right)=\frac{1}{1+x^2}

Stammfunktion

Des weiteren lässt sich zeigen, dass der Arcustangens die folgende Stammfunktion besitzt:

\int \arctan (x) \mathrm{d}x=x\cdot\arctan (x)-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)

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